2021高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系教学案 理 新人教A版

9.4直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲考情考向分析1.能判断直线与圆的位置关系.2.能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的范围、最值、几何量的大小等.题型主要以选择、填空题为主，难度中等，但有时也会在解答题中出现.1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系.(最重要)dr相离.(2)代数法：2.圆与圆的位置关系设圆o1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，o2：(xa2)2(yb2)2r(r20)方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d|r1r2|(r1r2)无解概念方法微思考1.在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？提示应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条.2.用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系？提示不能，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况，当方程组无解时，两圆有外离和内含两种可能情况.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号内打“”或“”)(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.()(2)若两圆相切，则有且只有一条公切线.()(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.()(4)过圆o：x2y2r2上一点p(x0，y0)的圆的切线方程是x0xy0yr2.()题组二教材改编2.若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是()a.3，1 b.1，3c.3，1 d.(，31，)答案c解析由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为，即|a1|2，解得3a1.3.圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()a.内切b.相交c.外切d.外离答案b解析两圆圆心分别为(2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d.32d2，点a(3，5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x30，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y5k(x3)，即kxy53k0.又圆心为(1，2)，半径r2，而圆心到切线的距离d2，即|32k|2，k，故所求切线方程为5x12y450或x30.直线与圆的位置关系命题点1位置关系的判断例1已知点m(a，b)在圆o：x2y21外，则直线axby1与圆o的位置关系是()a.相切b.相交c.相离d.不确定答案b解析因为m(a，b)在圆o：x2y21外，所以a2b21，而圆心o到直线axby1的距离d0)相交，则r的取值范围是 ()a.0r1b.0r1答案d解析圆心到直线的距离d1，故r1.(2)已知圆x2y22x2ya0截直线xy20所得弦的长度为4，则实数a的值是()a.2b.4c.6d.8答案b解析由圆的方程x2y22x2ya0可得，圆心为(1，1)，半径r.圆心到直线xy20的距离为d，由r2d22，得2a24，所以a4.(3)(2019浙江)已知圆c的圆心坐标是(0，m)，半径长是r，若直线2xy30与圆c相切于点a(2，1)，则m_，r_.答案2解析根据题意画出图形，可知a(2，1)，c(0，m)，b(0，3)，kab2，kac，直线ac的方程为y1(x2)，令x0，得y2，圆心c(0，2)，m2.r|ac|.(4)从直线l：xy1上一点p向圆c：x2y24x4y70引切线，则切线长的最小值为_.答案解析方法一圆c的方程可化为(x2)2(y2)21，圆心为c(2，2)，半径r1.设直线l上任意一点p(x，y)，则由xy1，得y1x.则|pc|.设过点p的切线与圆相切于点q，则cqpq.故|pq|2|pc|2r2(2x22x13)12x22x1222，所以当x时，|pq|2取得最小值，最小值为，此时切线长为|pq|.方法二圆c的方程可化为(x2)2(y2)21，圆心为c(2，2)，半径r1.设过点p的切线与圆相切于点q，则cqpq.故|pq|.故当|pc|取得最小值时，切线长最小.显然，|pc|的最小值为圆心c到直线l的距离d，所以切线长的最小值为.圆与圆的位置关系例5已知两圆x2y22x6y10和x2y210x12ym0.求：(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？(3)求m45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.解两圆的标准方程分别为(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m，圆心分别为m(1，3)，n(5，6)，半径分别为和.(1)当两圆外切时，.解得m2510.(2)当两圆内切时，两圆圆心间距离等于两圆半径之差的绝对值.故有5，解得m2510.因为kmn，所以两圆公切线的斜率是.设切线方程为yxb，则有.解得b.容易验证，当b时，直线与圆x2y210x12ym0相交，舍去.故所求公切线方程为yx，即4x3y5130.(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x2y22x6y1)(x2y210x12y45)0，即4x3y230.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为22.思维升华(1)判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法.重视两圆内切的情况，作图观察.(2)两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.(3)两圆公共弦长的求法求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解.跟踪训练2(1)(2020石家庄模拟)圆c1：(x2)2(y2)24和圆c2：(x2)2(y5)216的位置关系是()a.外离b.相交c.内切d.外切答案b解析易得圆c1的圆心为c1(2，2)，半径r12，圆c2的圆心为c2(2，5)，半径r24，圆心距|c1c2|5r2r1，所以两圆相交.(2)若圆x2y2a2与圆x2y2ay60的公共弦长为2，则a_.答案2解析两圆作差得公共弦所在直线方程为a2ay60.原点到a2ay60的距离为d.公共弦长为2，a2()22，a24，a2.1.已知a，br，a2b20，则直线l：axby0与圆c：x2y2axby0的位置关系是()a.相交b.相切c.相离d.不能确定答案b解析圆c的方程可化为22，圆心c，半径r，圆心到直线axby0的距离为dr，所以直线与圆相切.2.直线l：mxy1m0与圆c：x2(y1)25的位置关系是()a.相交b.相切c.相离d.不确定答案a解析方法一由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离d10，a2，圆心到直线xy40的距离d2.则弦长为2215，故15a2.5.已知点p(a，b)(ab0)是圆x2y2r2内的一点，直线m是以p为中点的弦所在的直线，直线l的方程为axbyr2，那么()a.ml，且l与圆相交b.ml，且l与圆相切c.ml，且l与圆相离d.ml，且l与圆相离答案c解析点p(a，b)(ab0)在圆内，a2b2r，ml，l与圆相离.故选c.6.(2020广东华附、省实、广雅、深中四校联考)过点a(a，0)(a0)，且倾斜角为30的直线与圆o：x2y2r2(r0)相切于点b，且|ab|，则oab的面积是()a.b.c.1d.2答案b解析由切线的性质可得abo是以点b为直角顶点的直角三角形，在rtabo中，oab30，ab，则ob1，oa2，oab的面积是1.7.已知直线x2ya0与圆o：x2y22相交于a，b两点(o为坐标原点)，且aob为等腰直角三角形，则实数a的值为()a.或b.或c.d.答案b解析因为直线x2ya0与圆o：x2y22相交于a，b两点(o为坐标原点)，且aob为等腰直角三角形，所以o到直线ab的距离为1，由点到直线的距离公式可得1，所以a.8.(2020西南地区名师联盟调研)以点(2，1)为圆心且与直线3x4y50相切的圆的标准方程为_.答案(x2)2(y1)29解析圆心到直线的距离为3，则所求圆的标准方程为(x2)2(y1)29.9.(2020湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校联考)已知圆c经过直线xy20与圆x2y24的交点，且圆c的圆心在直线2xy30上，则圆c的方程为_.答案(x3)2(y3)234解析方法一联立方程解得交点坐标为a(2，0)，b(0，2).弦ab的垂直平分线方程为y1x1即xy0.由解得弦ab的垂直平分线过圆心，所以圆心坐标为(3，3)，半径r，故所求圆c的方程为(x3)2(y3)234.方法二设所求圆的方程为(x2y24)a(xy2)0，即x2y2axay42a0，圆心为，圆心在直线2xy30上，a30，a6.圆的方程为x2y26x6y160，即(x3)2(y3)234.10.若过点p(1，)作圆x2y21的两条切线，切点分别为a，b，则_.答案解析由题意，得圆心为o(0，0)，半径为1.如图所示，p(1，)，pbx轴，|pa|pb|.poa为直角三角形，其中|oa|1，|ap|，则|op|2，opa30，apb60.|cosapbcos60.11.(2019包头青山区模拟)已知圆c：x2y28y120，直线l：axy2a0.(1)当a为何值时，直线l与圆c相切；(2)当直线l与圆c相交于a，b两点，且|ab|2时，求直线l的方程.解(1)根据题意，圆c：x2y28y120，则圆c的标准方程为x2(y4)24，其圆心为(0，4)，半径r2，若直线l与圆c相切，则有2，解得a.(2)设圆心c到直线l的距离为d，则2d2r2，即2d24，解得d，则有d，解得a1或7，则直线l的方程为xy20或7xy140.12.已知一个圆与y轴相切，圆心在直线x3y0上，且在直线yx上截得的弦长为2，求该圆的方程.解方法一所求圆的圆心在直线x3y0上，设所求圆的圆心为(3a，a)，又所求圆与y轴相切，半径r3|a|，又所求圆在直线yx上截得的弦长为2，圆心(3a，a)到直线yx的距离d，d2()2r2，即2a279a2，a1.故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29，即x2y26x2y10或x2y26x2y10.方法二设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则圆心(a，b)到直线yx的距离为，r27，即2r2(ab)214.由于所求圆与y轴相切，r2a2，又所求圆的圆心在直线x3y0上，a3b0，联立，解得或故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29，即x2y26x2y10或x2y26x2y10.方法三设所求圆的方程为x2y2dxeyf0，则圆心坐标为，半径r.在圆的方程中，令x0，得y2eyf0.由于所求圆与y轴相切，0，则e24f.圆心到直线yx的距离为d，由已知得d2()2r2，即(de)2562(d2e24f).又圆心在直线x3y0上，d3e0.联立，解得或故所求圆的方程为x2y26x2y10或x2y26x2y10.13.(2019湖南师大附中月考)已知圆x2(y1)22上任一点p(x，y)，其坐标均使得不等式xym0恒成立，则实数m的取值范围是()a.1，) b.(，1c.3，) d.(，3答案a解析如图，圆应在直线xym0的右上方，圆心c(0，1)到直线l的距离为，切线l0应满足，|1m|2，m1或m3(舍去)，从而m1，m1.14.由直线yx1上的一点向圆(x3)2y21引切线，则切线长的最小值为_.答案解析设直线上一点p，切点为q，圆心为m，m的坐标为(3，0)，则|pq|即为切线长，|mq|为圆m的半径，长度为1，|pq|，要使|pq|最小，即求|pm|最小值，此题转化为求直线yx1上的点到圆心m的最小距离，设圆心到直线yx1的距离为d，则d2，|pm|的最小值为2，|pq|.15.已知圆o：x2y29，点p为直线x2y90上一动点，过点p向圆o引两条切线pa，pb，a，b为切点，则直线ab过定点()a.b.c.(1，2) d.(9，0)答案c解析因为p是直线x2y90上的任一点，所以设p(92m，m)，因为pa，pb为圆x2y29的两条切线，切点分别为a，b，所以oapa，obpb，则点a，b在以op为直径的圆(记为圆c)上，即ab是圆o和圆c的公共弦，易知圆c的方程是22，又x2y29，得，(2m9)xmy90，即公共弦ab所在直线的方程是(2m9)xmy90，即m(2xy)(9x9)0，由得x1，y2.所以直线ab恒过定点(1，2)，故选c.16.已知圆c经过(2，4)，(1，3)两点，圆心c在直线xy10上，过点a(0，1)且斜率为k的直线l与圆c相交于m，n两点.(1)求圆c的方程；(2)请问是否为定值，若是，求出该定值，若不是，