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核心素养测评八十 证明不等式的基本方法1.(10分)已知a,b都是正实数,且a+b=2,求证:a2a+1+b2b+11.【证明】因为a0,b0,a+b=2,所以a2a+1+b2b+1-1=a2(b+1)+b2(a+1)-(a+1)(b+1)(a+1)(b+1)=a2b+a2+b2a+b2-ab-a-b-1(a+1)(b+1)=a2+b2+ab(a+b)-ab-(a+b)-1(a+1)(b+1)=a2+b2+2ab-ab-3(a+1)(b+1)=(a+b)2-3-ab(a+1)(b+1)=1-ab(a+1)(b+1).因为a+b=22ab,所以ab1.所以1-ab(a+1)(b+1)0.所以a2a+1+b2b+11.2.(10分)(2020桂林模拟)已知正数a,b满足1a+14b=1.(1)证明:254(4a+b)ab.(2)若存在实数x,使得x+2-x-14=a+b,求a,b.【解析】(1)因为4a+b=(4a+b)1a+14b=4+ab+ba+144+2abba+14=254,254(4a+b)1,又1=1a+14b21a14bab1,所以254(4a+b)ab.(2)因为|x+2|-|x-14|(x+2)-(x-14)|=94,当且仅当x+20x-140,即x14时,等号成立;又a+b=(a+b)1a+14b=1+14+ba+a4b1+14+2baa4b=94,当且仅当ba=a4b即a=2b时,等号成立,所以a=2ba+b=94a=32,b=34.3.(10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若abcd,则a+bc+d.(2)a+bc+d是|a-b|c+d,只需证明(a+b)2(c+d)2,也就是证明a+b+2abc+d+2cd,只需证明abcd,即证abcd.由于abcd成立,因此a+bc+d.(2)若|a-b|c-d|,则(a-b)2(c-d)2,即(a+b)2-4abcd.由(1)得a+bc+d.若a+bc+d,则(a+b)2(c+d)2,所以a+b+2abc+d+2cd.因为a+b=c+d,所以abcd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|c+d是|a-b|2.当x2时,由f(x)=x-1-1,解得x0,此时x0;当x2时,由f(x)=3x-5-1,解得x43,显然不成立.故f(x)-1的解集为m=x|x0.(2)当xm时,f(x)=x-1,于是xf(x)2-x2f(x)=x(x-1)2-x2(x-1)=-x2+x=-x-122+14.令g(x)=-x-12
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