2021高考数学一轮复习 第十三章 系列4选讲 13.2 不等式选讲 第1课时 绝对值不等式教学案 理 新人教A版

第1课时绝对值不等式最新考纲考情考向分析1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|ab|a|b|(a，br)；|ac|ab|bc|(a，b，cr).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.本节题目常见的是解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点.求解的一般方法是去掉绝对值，也可以借助数形结合求解.在高考中主要以解答题的形式考查，难度为中、低档.1.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a0a0a0|x|a(，a)(a，)(，0)(0，)r(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc.|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想.利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想.通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.2.含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|a|b|ab|a|b|.(2)如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立.概念方法微思考1.绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什么？提示当a，b不共线时，|a|b|ab|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边.2.用“零点分段法”解含有n个绝对值的不等式时，需把数轴分成几段？提示一般地，n个绝对值对应n个零点，n个零点应把数轴分成(n1)段.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若|x|c的解集为r，则c0.()(2)不等式|x1|x2|b0时等号成立.()(4)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立.()题组二教材改编2.不等式3|52x|9的解集为()a.2,1)4,7) b.(2,1(4,7c.(2，14,7) d.(2,14,7)答案d解析由题意得即解得不等式的解集为(2,14,7).3.求不等式|x1|x5|2的解集.解(1)当x1时，原不等式可化为1x(5x)2，42，不等式恒成立，x1；(2)当1x5时，原不等式可化为x1(5x)2，x4，1x4；(3)当x5时，原不等式可化为x1(x5)2，该不等式不成立.综上，原不等式的解集为(，4).题组三易错自纠4.(2019天津市第一中学月考)设xr，则“x31”是“”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件答案b解析由x31可得x1，由可得0x1，所以“x31”是“2，则关于实数x的不等式|xa|xb|2的解集是.答案r解析|xa|xb|(xa)(xb)|ba|ab|.又|ab|2，|xa|xb|2恒成立，即该不等式的解集为r.绝对值不等式的解法例1已知函数f(x)|x1|2|xa|，a0.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形的面积大于6，求a的取值范围.解(1)当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x40，无解；当1x0，解得x0，解得1x1的解集为.(2)由题设可得，f(x)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为a，b(2a1,0)，c(a，a1)，abc的面积为(a1)2.由题设得(a1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，).思维升华解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式.(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式.(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.跟踪训练1(2019江苏)设xr，解不等式|x|2x1|2.解当x2，解得x2，即x时，原不等式可化为x2x12，解得x1.综上，原不等式的解集为.利用绝对值不等式的性质求最值例2(1)对任意x，yr，求|x1|x|y1|y1|的最小值；(2)对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，求|x2y1|的最大值.解(1)x，yr，|x1|x|(x1)x|1，当且仅当0x1时等号成立，|y1|y1|(y1)(y1)|2，当且仅当1y1时等号成立，|x1|x|y1|y1|123，当且仅当0x1，1y1同时成立时等号成立.|x1|x|y1|y1|的最小值为3.(2)|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值为5.思维升华求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种(1)利用绝对值的几何意义.(2)利用绝对值三角不等式，即|a|b|ab|a|b|.(3)利用零点分区间法，转化为分段函数求最值.跟踪训练2已知a和b是任意非零实数.(1)求的最小值；(2)若不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成立，求实数x的取值范围.解(1)4，当且仅当(2ab)(2ab)0时等号成立，的最小值为4.(2)若不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成立，即|2x|2x|恒成立，故|2x|2x|min.由(1)可知，的最小值为4，x的取值范围即为不等式|2x|2x|4的解集.解不等式得2x2，故实数x的取值范围为2,2.绝对值不等式的综合应用例3(2019全国)已知f(x)|xa|x|x2|(xa).(1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2)若x(，1)时，f(x)0，求a的取值范围.解(1)当a1时，f(x)|x1|x|x2|(x1).当x1时，f(x)2(x1)20；当x1时，f(x)0.所以，不等式f(x)0的解集为(，1).(2)因为f(a)0，所以a1.当a1，x(，1)时，f(x)(ax)x(2x)(xa)2(ax)(x1)1的解集；(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立，求a的取值范围.解(1)当a1时，f(x)|x1|x1|，即f(x)故不等式f(x)1的解集为.(2)当x(0,1)时，|x1|ax1|x成立等价于当x(0,1)时，|ax1|0，则|ax1|1的解集为，所以1，故0a2.综上，a的取值范围为(0,2.1.对于任意实数a，b，已知|ab|1，|2a1|1，且恒有|4a3b2|m，求实数m的取值范围.解因为|ab|1，|2a1|1，所以|3a3b|3，所以|4a3b2|3a3b|36，即|4a3b2|的最大值为6，所以m|4a3b2|max6.即实数m的取值范围为6，).2.(2020河南省八市重点高中联考)已知函数f(x)|2x3|xa|(ar).(1)当a1时，解不等式f(x)2；(2)若关于x的不等式f(x)|x3|的解集包含3,5，求a的取值范围.解(1)当a1时，不等式f(x)2，即|2x3|x1|2，所以或或解得x6或x0，所以不等式f(x)2的解集为(，60，).(2)关于x的不等式f(x)|x3|的解集包含3,5，即|2x3|x3|xa|在3,5上恒成立，即x6|xa|在3,5上恒成立，即6a2x6在x3,5上恒成立，解得6a12，a的取值范围是6,12.3.(2019安徽定远中学模拟)已知函数f(x)|x|xa|.(1)当a2时，求不等式f(x)4的解集；(2)若f(x)1对任意xr成立，求实数a的取值范围.解(1)当a2时，不等式f(x)4可化为|x|x2|4.讨论：当x0时，不等式等价于x(x2)1，所以1x0；当0x2时，不等式等价于x(x2)4，所以22时，不等式等价于x(x2)4，所以x3，所以2x3.综上，当a2时，不等式f(x)4的解集为x|1x时，函数h(x)f(x)|2x1|存在零点，求实数a的取值范围.解(1)由函数f(x)向左平移m个单位长度可知，函数g(x)|xma|，要使g(x)f(x)1恒成立，则f(x)g(x)1，即|xa|xma|1恒成立，因为|xa|xma|xa(xma)|m|，所以只需|m|1，即实数m的最大值为1.(2)当a时，函数h(x)|xa|2x1|若函数h(x)存在零点，则满足函数h(x)minha0，即因为函数yx与函数y的图象有且只有一个交点，所以实数a的取值范围为.5.设f(x)|x1|2x1|.(1)求不等式f(x)x2的解集；(2)若不等式满足f(