2021高考数学一轮复习 第十章 计数原理 10.3 二项式定理教学案 理 新人教A版

10.3二项式定理最新考纲考情考向分析会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.以理解和应用二项式定理为主，常考查二项展开式，通项公式以及二项式系数的性质，赋值法求系数的和也是考查的热点.本节内容在高考中以选择题、填空题的形式进行考查，难度中档.1.二项式定理二项式定理(ab)ncancan1b1cankbkcbn(nn*)二项展开式的通项公式tk1cankbk，它表示第k1项二项式系数二项展开式中各项的系数c，c，c2.二项式系数的性质(1)c1，c1，ccc.cc(0mn).(2)二项式系数先增后减中间项最大.当n为偶数时，第1项的二项式系数最大，最大值为，当n为奇数时，第项和第项的二项式系数最大，最大值为或.(3)各二项式系数和：cccc2n，cccccc2n1.概念方法微思考1.(ab)n与(ba)n的展开式有何区别与联系？提示(ab)n的展开式与(ba)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同.2.二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？提示不一定最大，当二项式中a，b的系数为1时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)cankbk是(ab)n的展开式的第k项.()(2)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.()(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.()(4)(ab)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.()题组二教材改编2.(12x)5的展开式中，x2的系数等于()a.80b.40c.20d.10答案b解析tk1c(2x)kc2kxk，当k2时，x2的系数为c2240.3.若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为()a.10b.20c.30d.120答案b解析二项式系数之和2n64，所以n6，tk1cx6kkcx62k，当62k0，即当k3时为常数项，t4c20.4.若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a2a4的值为()a.9b.8c.7d.6答案b解析令x1，则a0a1a2a3a40，令x1，则a0a1a2a3a416，两式相加得a0a2a48.题组三易错自纠5.(xy)n的二项展开式中，第m项的系数是()a.cb.cc.cd.(1)m1c答案d解析(xy)n二项展开式第m项的通项公式为tmc(y)m1xnm1，所以系数为c(1)m1.6.在n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为_.答案1解析因为所有二项式系数的和是32，所以2n32，解得n5.在5中，令x1可得展开式中各项系数的和为(21)51.多项展开式的特定项命题点1二项展开式问题例1(1)(2019天津)8的展开式中的常数项为_.答案28解析二项展开式的通项tk1c(2x)8kkk28kcx84k，令84k0可得k2，故常数项为226c28.(2)(2019浙江)在二项式(x)9的展开式中，常数项是_，系数为有理数的项的个数是_.答案165解析该二项展开式的第k1项为tk1c()9kxk，当k0时，第1项为常数项，所以常数项为()916；当k1,3,5,7,9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.命题点2两个多项式积的展开式问题例2(1)(2019全国)(12x2)(1x)4的展开式中x3的系数为()a.12b.16c.20d.24答案a解析展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为c2c4812.(2)(2017全国)(1x)6的展开式中x2的系数为()a.15b.20c.30d.35答案c解析因为(1x)6的通项为cxk，所以(1x)6的展开式中含x2的项为1cx2和cx4.因为cc2c230，所以(1x)6的展开式中x2的系数为30.故选c.命题点3三项展开式问题例3(1)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()a.10b.20c.30d.60答案c解析方法一利用二项展开式的通项公式求解.(x2xy)5(x2x)y5，含y2的项为t3c(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的项为cx4xcx5.所以x5y2的系数为cc30.故选c.方法二利用排列组合知识求解.(x2xy)5为5个x2xy之积，其中有两个因式取y，剩余的三个因式中两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为ccc30.故选c.(2)(2020合肥检测)5展开式中的常数项为()a.1b.11c.19d.51答案b解析55展开式的通项为tk1c5k当k5时，常数项为c1，当k3时，常数项为cc20，当k1时，常数项为cc30.综上所述，常数项为1203011.思维升华(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k1，代回通项公式即可.(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决.跟踪训练1(1)(x2x1)(x1)4的展开式中，x3的系数为()a.3b.2c.1d.4答案b解析(x1)4的通项为tk1cx4k(1)k，(x2x1)(x1)4的展开式中，x3的系数为c(1)3c(1)2c(1)2，故选b.(2)(xa)10的展开式中，x7项的系数为15，则a_.(用数字填写答案)答案解析通项为tk1cx10kak，令10k7，k3，x7项的系数为ca315，a3，a.(3)(12x3x2)5展开式中x5的系数为_.答案92解析方法一(12x3x2)5(12x)3x25c(12x)5c(12x)4(3x2)c(12x)3(3x2)2c(3x2)5，所以x5的系数为cc25cc23(3)cc2(3)292.方法二(12x3x2)5(1x)5(13x)5，所以x5的系数为cc35c(1)c34c(1)2c33c(1)3c32c(1)4c31c(1)5c3092.二项式系数的和与各项系数的和问题命题点1二项式系数和与系数和例4(1)(2019郑州一中测试)若二项式n的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为()a.1b.1c.27d.27答案a解析依题意得2n8，解得n3.取x1得，该二项展开式每一项的系数之和为(12)31.(2)(2019宣城调研)若(2x)7a0a1(1x)a2(1x)2a7(1x)7，则a0a1a2a6的值为()a.1b.2c.129d.2188答案c解析令x0得a0a1a2a727128，又(2x)73(x1)7，则a7(1x)7c30(x1)7，解得a71.故a0a1a2a6128a71281129.命题点2二项式系数的最值问题例5(2019马鞍山模拟)二项式n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为()a.3b.5c.6d.7答案d解析根据n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n20，n的展开式的通项为tk1c(x)20kk()20kc，要使x的指数是整数，需k是3的倍数，k0,3,6,9,12,15,18，x的指数是整数的项共有7项.思维升华(1)形如(axb)n，(ax3bxc)m(a，b，cr)的式子求其展开式的各项系数之和，常采用赋值法，只需令x1即可.(2)当n为偶数时，展开式中第1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为或.跟踪训练2(1)(2019山西八校联考)已知(1x)n的展开式中第5项和第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()a.29b.210c.211d.212答案a解析由题意知cc，由组合数性质得n10，则奇数项的二项式系数和为2n129.(2)(2019合肥质检)已知m是常数，若(mx1)5a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa0且a1a2a3a4a533，则m_.答案3解析当x0时，(1)51a0.当x1时，(m1)5a0a1a2a3a4a533132，则m12，m3.(3)已知m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a7b，则m等于()a.5b.6c.7d.8答案b解析由题意可知，ac，bc，13a7b，137，即，解得m6.1.(2020湖北龙泉中学、钟祥一中、京山一中，沙洋中学联考)在6的展开式中，常数项为()a.240b.60c.60d.240答案d解析6的二项展开式的通项为tk1c(x2)6kkc(2)kx123k，令123k0得k4，即常数项为t5c(2)4240.2.(2020秦皇岛模拟)5的展开式中x3项的系数为()a.80b.80c.40d.48答案b解析5的展开式的通项公式为tk1c(2x)5kk(1)k25kcx52k，令52k3，得k1.于是展开式中x3项的系数为(1)251c80，故选b.3.(2019十堰调研)若n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于()a.3b.4c.5d.6答案c解析n展开式的通项为c(x6)nkc，k0,1,2，n，则依题设，由6nk0，得nk，n的最小值等于5.4.(2020广州海珠区模拟)(xy)(2xy)6的展开式中x4y3的系数为()a.80b.40c.40d.80答案d解析(2xy)6的展开式的通项公式为tk1c(2x)6k(y)k，当k2时，t3240x4y2，当k3时，t4160x3y3，故x4y3的系数为24016080，故选d.5.(2019江淮十校考前最后一卷)已知(x1)(2xa)5的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含x3项的系数是()a.40b.20c.20d.40答案d解析令x1，可得(x1)(2xa)5的展开式中各项系数和为2(2a)52.a1.二项式(2x1)5的展开式的通项为tk1c(2x)5k(1)k25k(1)kcx5k，所以(x1)(2x1)5的展开式中含x3项的系数为22(1)3c23(1)2c40.6.(2020安徽安庆期末)在二项式n的展开式中恰好第五项的二项式系数最大，则展开式中含有x2项的系数是()a.35b.35c.56d.56答案c解析由于第五项的二项式系数最大，所以n8.所以二项式8展开式的通项公式为tk1cx8k(x1)k(1)kcx82k，令82k2，得k3，故展开式中含有x2项的系数是(1)3c56.7.(13x)n的展开式中x5与x6的系数相等，则x4的二项式系数为()a.21b.35c.45d.28答案b解析tk1c(3x)k3kcxk，由已知得35c36c，即c3c，n7，因此，x4的二项式系数为c35，故选b.8.(2019郑州质检)在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为321，则x2的系数为()a.50b.70c.90d.120答案c解析令x1，则n4n，所以n的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以2n32，解得n5.二项展开式的通项tk1cx5kkc3k，令5k2，得k2，所以x2的系数为c3290.9.(2020焦作期中)(x)6的展开式中，含x5项的系数为_.答案15解析展开式的通项公式为tk1c(1)k，令65，得k2，故含x5的系数为c15.10.(2019晋城模拟)(23x)2(1x)7的展开式中，x3的系数为_.答案455解析依题意，x3的系数为4c(1)312c(1)29c(1)455.11.已知(2x1)5(a0)，若其展开式中各项的系数和为81，则a_，展开式中常数项为_.答案10解析在(2x1)5中，令x1，得(a1)3581，解得a，所以(2x1)5的展开式中的常数项为c2x10.12.(2019怀化模拟)若在n的二项展开式中，第3项和第4项的二项式系数相等且最大，则n的展开式中的常数项为_.答案120解析由n的二项展开式中二项式系数的最大项是第3项和第4项，则展开式共6项，即n615，又n展开式的通项为tk1c(2x)5kk25kcx52k，则n的展开式中的常数项为22c223c120.13.已知(xcos1)5的展开式中x2的系数与4的展开式中x3的系数相等，且(0，)，则等于()a.b.或c.d.或答案b解析由二项式定理知(xcos1)5的展开式中x2的系数为ccos2，4的展开式中x3的系数为c，所以ccos2c，解得cos2，解得cos，又(0，)，所以或，故选b.14.5的展开式中常数项是_.答案1683解析5表示五个相乘，则展开式中的常数项由三种情况产生，第一种是从五个中分别抽取2x,2x，3，则此时的常数项为cc22(3)360，第二种情况是从五个中都抽取3，则此时的常数项为(3)5243，第三种情况是从五个中分别抽取2x，3，3，3，则此时的常数项为cc21(3)31 080，则展开式中常数项为3602431 0801 683.15.(2019衡水中学调研卷)设a，b，m为整数(m0)，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为ab(modm).若acc2c22c220，ab(mod10)，则b的值可以是()a.2018b.20