2021高考数学一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其分布 12.3 离散型随机变量的分布列、均值与方差课件 理 新人教A版

12.3离散型随机变量的分布列、均值与方差,.,1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列.2.了解超几何分布，并能进行简单应用.3.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题.,最新考纲,以理解离散型随机变量及其分布列的概念为主，经常以频率分布直方图为载体，结合频率与概率，考查离散型随机变量、离散型随机变量分布列的求法.在高考中以解答题的形式进行考查，难度多为中档.,考情考向分析,课时精练,内容索引,index,回扣基础知识训练基础题目,基础落实,1.离散型随机变量的分布列(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.所有取值可以的随机变量称为离散型随机变量.(2)一般地，若离散型随机变量x可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，x取每一个值xi(i1,2，n)的概率p(xxi)pi，则称表,知识梳理,一一列出,为离散型随机变量x的概率分布列，简称为x的分布列，具有如下性质：pi0，i1,2，n；.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的_.,之和,概率,其中0p1，则称离散型随机变量x服从.其中pp(x1)称为成功概率.,2.两点分布如果随机变量x的分布列为,两点分布,(1)均值称e(x)为随机变量x的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的.,3.离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量x的分布列为,x1p1x2p2xipixnpn,平均水平,(2)方差称d(x)为随机变量x的方差，它刻画了随机变量x与其均值e(x)的平均偏离程度，并称其算术平方根为随机变量x的标准差.4.均值与方差的性质(1)e(axb).(2)d(axb).(a，b为常数),ae(x)b,a2d(x),5.超几何分布一般地，在含有m件次品的n件产品中，任取n件，其中恰有x件次品，则p(xk)_(k0,1,2，m)，即,其中mminm，n，且nn，mn，n，m，nn*.如果一个随机变量x的分布列具有上表的形式，则称随机变量x服从超几何分布.,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.()(2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()(3)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定.()(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.(),基础自测,题组一思考辨析,2.设随机变量x的分布列如下：,题组二教材改编,则p为,设y2x3，则e(y)的值为a.b.4c.1d.1,3.已知x的分布列为,4.有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数x的所有可能取值是_.,解析因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数x的可能取值为0,1,2,3.,0,1,2,3,题组三易错自纠,5.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是a.至少取到1个白球b.至多取到1个白球c.取到白球的个数d.取到的球的个数,解析选项a，b表述的都是随机事件；选项d是确定的值2，并不随机；选项c是随机变量，可能取值为0,1,2.,6.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数x是一个随机变量，则p(x4)的值为_.,解析由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，,典题深度剖析重点多维探究,题型突破,分布列的求法,题型一,师生共研,例1甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为记甲同学三个项目中通过考试的个数为x，求随机变量x的分布列.,解随机变量x的所有可能取值为0,1,2,3.,随机变量x的分布列为,求离散型随机变量x的分布列的步骤(1)理解x的意义，写出x的所有可能取值.(2)求x取每个值的概率.(3)写出x的分布列.求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识.,思维升华,siweishenghua,跟踪训练1在一次购物抽奖活动中，假设某10张劵中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；,解该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率,(2)该顾客获得的奖品总价值x元的分布列.,解依题意可知，x的所有可能取值为0,10,20,50,60，,所以x的分布列为,例2某投资公司在2019年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.,均值与方差,题型二,师生共研,解若按“项目一”投资，设获利为x1万元，则x1的分布列为,若按“项目二”投资，设获利为x2万元，则x2的分布列为,35000，,e(x1)e(x2)，d(x1)d(x2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.,离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略(1)求离散型随机变量的均值与方差.可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解.(2)由已知均值或方差求参数值.可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值.(3)由已知条件，作出对两种方案的判断.可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断.,思维升华,siweishenghua,跟踪训练2为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；,解两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，,则两人所付费用相同的概率为,(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的分布列与均值e()，方差d().,解的所有可能取值为0,40,80,120,160，则,所以的分布列为,超几何分布,题型三,师生共研,例3pm2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物.根据现行国家标准gb30952012，pm2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2018年全年每天的pm2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值的频数分布如下表所示：,(1)从这10天的pm2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；,解记“从这10天的pm2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件a，,(2)从这10天的数据中任取3天数据，记表示抽到pm2.5监测数据超标的天数，求的分布列.,解由条件知，服从超几何分布，其中n10，m3，n3，且随机变量的可能取值为0,1,2,3.,故的分布列为,(1)超几何分布的两个特点超几何分布是不放回抽样问题.随机变量为抽到的某类个体的个数.(2)超几何分布的应用条件两类不同的物品(或人、事).已知各类对象的个数.从中抽取若干个个体.,思维升华,siweishenghua,跟踪训练3某项大型赛事需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，在8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动.若所选3名学生中的女生人数为x，求x的分布列及均值.,解因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生，所以x的分布列服从参数n8，m3，n3的超几何分布.,所以x的分布列为,课时精练,c.,基础保分练,1.下列表中能成为随机变量x的分布列的是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,a.,b.,d.,2.若离散型随机变量x的分布列为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,则x的均值e(x)等于,3.设随机变量x的分布列为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,则p(|x3|1)等于,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,则e(5x4)等于a.15b.11c.2.2d.2.3,解析e(x)10.420.340.32.2，e(5x4)5e(x)411415.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.随机变量x的分布列为,则当p(xa)0.8时，实数a的取值范围是a.(，2b.1,2c.(1,2d.(1,2),5.若随机变量x的分布列为,解析由随机变量x的分布列知，p(x1)0.1，p(x0)0.3，p(x1)0.5，p(x2)0.8，则当p(x0，当x(400,600时，f(x)g(x)(18004x)(21004x)300g(y)，故x(400,600时，f(x)3720元，故小王应选择做饿了么外卖配送员.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,则当a在(0,1)内增大时，a.d(x)增大b.d(x)减小c.d(x)先增大后减小d.d(x)先减小后增大,15.(2019浙江)设0a1.随机变量x的分布列是,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以当a在(0,1)内增大时，d(x)先减小后增大.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.(2019全国)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为x.(1)求x的分布列；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解x的所有可能取值为1,0,1.p(x1)(1)，p(x0)(1)(1)，p(x1)(1).所以x的分布列为,(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i0,1，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p00，p81，piapi1bpicpi1(i1,2，7)，其中ap(x1)，bp(x0)，cp(x1).假设0.5，0.8.证明：pi1pi(i0,1,2，7)为等比数列；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,证明由(1)得a0.4，b0.5，c0.1.因此pi0.4pi10.5pi0.1pi1，故0.1(pi1pi)0.4(pipi1)，即pi1pi4(pipi1).又因为p1p0p10，所以pi