七年级数学下册 第六章 二元一次方程组 6.3 二元一次方程组的应用 关于二元一次方程组的应用素材 （新版）冀教版

一阶方程二元系统的应用一、应用问题的观察和分析用二元一阶方程解决相关应用问题时，要观察和分析应用问题，并特别注意以下三点：(1)问题中的未知数是什么(包括明显的未知数和隐藏的未知数)？(2)问题中未知内容和已知内容之间有哪些平等关系(包括显性平等关系和隐性平等关系)？问题中有几个未知数，所以我们通常必须找出几个相等的关系。(3)建立了哪些未知数，哪些等式关系可以更方便地用集合未知数的代数表达式来表示其余的未知数？(使用剩余的等价关系列出等式。)二、应用问题的常见类型及其基本数量关系正确列出方程是弄清各类应用问题之间基本数量关系的关键。常见的应用问题类型及其基本关系如下：1.旅行问题：基本关系是：速度时间=距离2.工程问题：基本关系是：工作效率工作时间=总工作量计划数量的超额百分比=超额数量计划数量实际完成百分比=实际数量3.百分比浓度问题：基本关系是：溶液百分比浓度=溶质4.混合物问题：基本关系是：各种混合物的重量之和=混合后的总重量混合前纯物质的重量=混合后纯物质的重量混合物的重量包含纯物质的百分比=纯物质的重量5.导航问题：基本关系是：静水速度水速度=下游速度静态水速度-水速度=反向水速度6.对于数字问题，应该注意数字和每个数字中数字之间的关系。7.对于双比率问题，我们应该注意一些基本的关系术语，如：双、分、大、小等。三、样本分析如何分析应用程序问题：示例1:一家公司外出参观。如果每辆车里有45个人，那么15个人就没有座位了。如果每辆车有60人，就会有一辆车空着。需要多少辆车，单位里有多少人？思考如下：(1)主题中的已知条件是什么？(2)“有人没有座位”是什么意思？“免费座位”是什么意思？3.根据以上分析，已知的“每辆车45人，15人无座”是什么意思？什么可以理解为“每辆车有60个人，只有一辆车是空的”？解决方案：单位里有x辆车和y个人。根据问题的含义，有为了解决这个方程组，我们必须这个单位有5辆车和240人。例2:如果一辆汽车以每小时45公里的速度从甲地行驶到乙地，它将会延迟0.5小时。如果你每小时行驶50公里，你可以提前0.5小时到达。找出甲和乙之间的距离以及计划的旅行时间。思考问题：(1)距离、速度和时间之间的关系是什么？(2)本主题中“延迟”和“提前”的标准是什么？(3)根据上述分析，对于“如果一辆汽车以每小时45公里的速度行驶，到达目的地将会延迟0.5小时”这一已知条件，可以理解什么？已知条件“如果你以每小时50公里的速度行驶，你可以提前0.5小时到达目的地”是什么意思？解决方案：假设a和b之间的距离是x公里，计划的驾驶时间是y小时。根据问题的意思，你可以得到为了解决这个方程组，我们必须甲：甲和乙的距离是450公里，计划的锻炼时间是9.5小时。例3:甲和乙从相距36公里的两个地方开始，同时面对对方。他们在4小时30分钟后见面。如果乙走了2个小时，然后甲又开始了，那么甲在3小时40分钟内遇到乙，找出甲和乙的速度.分析：这个问题是旅游问题中的一个相遇问题。这个问题有两个未知量：a和b的速度有两种等价关系：(1)甲乙双方4.5小时行程=36公里；(2)11/3小时的行程和17/3小时的行程=36公里。解决方案：假设a和b的速度分别是x公里/小时和y公里/小时。根据问题的含义，我们必须通过整理方程式，我们可以得到要解这个方程组，我们必须。a:a和b的速度分别是14/3公里/小时和10/3公里/小时。例4:甲和乙走在周长400米的圆形跑道上。如果他们同时从同一个地方往回走，他们将在两分钟后见面。如果他们同时从同一个地方朝同一个方向走，他们将在20分钟后见面。假设a更快，找出两者的步行速度。(仅列出方程式，未找到)分析：这个问题是圆线上的相遇和追求。有两个未知的数字：分别是a和b的速度。有两种平等的关系，即(1)向后：a和b两次相遇的总和=400米；(2)朝同一个方向走：两次相遇的距离是400米。解决方案：让我们把一个人的速度设置为每分钟x米，把b个人的速度设置为每分钟y米。根据问题的意思，我们可以得到例5:一家纸厂加工两种无盖长方体盒，a型和b型，如图(1)所示。两种纸板，正方形和长方形，是用边角料裁出来的。矩形的宽度等于正方形的边长，如图(2)所示。现在，150块方形纸板和300块矩形纸板都被用来制作这两种盒子。有多少个可以分别做成a型和b型的小盒子？解决方案：方法(1)a型有x个小盒子，b型有y个小盒子。根据主题列出方程式解决方案如下：答：你可以做30个a型小盒子和60个b型小盒子。解决方案：方法(2)如果用x方纸板做一个a型的小盒子，用y方纸板做一个b型的小盒子，那么就可以做x个a型的小盒子和y/2个b型的小盒子。根据主题列出方程式：解决方案如下：答：你可以做30个a型小盒子和60个b型小盒子。四、如何设定未知解决方程应用问题的第一步是建立未知数。有许多方法可以设置未知的数字。有时，所需数量可以直接设置为未知数，有时它应该间接设置为未知数，有时需要添加辅助未知数。那么，如何巧妙地设置未知数，以达到快速解决问题的目的呢？让需求数量直接未知。例1:甲和乙相距20公里。甲和乙同时面对着对方，两小时后他们在路上相遇。然后甲回到甲，乙继续前进。当甲返回甲时，乙离甲有2公里。找出甲和乙的速度分析：这个问题是直线上的相遇和追求。有两个未知数：a和b的速度，它们有两个相等的关系。解决方案：假设人a的速度是x公里每小时，人b的速度是y公里每小时。根据问题，我们可以得到为了解决这个方程组，我们必须合理选择，间接人民币许多学生在解决应用问题时，只考虑问题的要求，从而设置了未知数。这种方法有时很难找到已知量和未知量之间的相等关系。因此，我们应该根据问题的情况，选择与所需的未知量相关的一定量作为未知量，从而找到符合问题含义的等价关系，从而达到解决问题的目的。集而不求，善用辅量当应用问题涉及的量很多，且量之间的关系不明显时，可以适当增加辅助未知数。目的不是具体找出它们的值，而是把它们作为沟通量之间关系的桥梁，并为方程(组)的形成创造条件。在解决问题的过程中，需要消除辅助未知数，以便找出所需未知数的值。一艘客轮逆水航行。班轮上的一名乘客掉了一件物品，漂浮在水面上。乘客找到它后，船立即掉头去追它。众所周知，这艘船从掉头到赶上需要5分钟。乘客被问及多少分钟后他找到了丢失的物品。在解决问题x分钟后，发现了一些东西。船的静水速度是v1，水的速度是v2，这是从这个问题推导出来的。(x+5)v2+x(v1-v2)=5(v1+v2)，xv2 5v2+xv1-xv2=5v1 5v2，xv1=5v1，v10,x=5.5分钟后，乘客们找到了他们的行李。注意：这里的辅助未知数是v1和v2。例2:当一艘船发现一个漏洞时，一些水已经进入，水流被淹没了注：y，z，a这里有辅助未知数，但不求。例3:甲班和乙班有83人，乙班和丙班有86人，丙班和丁班有88人。甲班和丁班有多少人？(首届“华金杯”初中数学邀请赛)解决方法：根据问题设置a、b、c、d类，每个类有若干个a.b.c.d(1)-(2) (3) a d=85。甲：甲班和丁班有85人。例4:一艘小船顺流而下，从a码头到b码头需要一个小时，而逆流而上需要b小时，所以顺流而下的木块需要_ _ _ _小时。解决方案：根据主题，两个码头之间的距离为南公里，船只在静水中的速度为x公里/小时，水流的速度为y公里/小时。也就是说，从(1)-(2)答：木块顺流而下需要2ab/(b-a)小时。例5:有一个牧场每天草长得很均匀(每天草的生长量是相等的)。如果有24头牛被放牧，这些草将在6天内被吃掉；如果21头牛被放牧，8天内草将被吃掉，每头牛所吃的草的数量将相等：(1)如果你放牧16头牛，你能吃多少天的草？(2)为了使牧场永不枯竭，我们最多应该放牧多少头牛？解决方法：(1)将该牧场的原草量设为a，日生长量设为b，