七年级数学下册 第九章《三角形》9.2 三角形的内角和外角 三角形三心共线的证明素材 （新版）冀教版_第1页
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三角形三心共线的证明题 求证：任意三角形的垂心h，重心g和外心o三点共线这道题乍一看较为棘手，一般的学生不知如何下手，若把命题改为“abc内接于圆o，h为垂心求证h到该三角形任意顶点的距离等于o到这个顶点所对的边距离的两倍”证起来就轻松多了下面先简单证明这个命题证明：如图1(仅以锐角三角形为例)，o是abc的外心，h是垂心，ombc于m，即证ah=2om，连bo且延长交圆o于d，则dc=2om bd是直径即 ah=2om这就为我们证明前者奠定了基础，于是就有三角形三心共线的第一种证法证法1 在图2中，h、o分别为abc的垂心和外心，中线am交ho于g， ahom，且ah=2om ag=2gm，即g就是重心g，故h、g、o三心共线证法2 如图3，作ombc，ofab，垂足分别为m、f，则m是bc的中点，f是ab的中点， fmac，且ac=2fm of、ce均垂直于ab，且fmac 1=2，同理3=4，从而有omfhac ac2fm， ah=2mo am与oh的交点必为重心g，故h、g、o三心共线证法3 在图4中，abc的两条高ad.be相交于h(垂心)，边ac和边cb上的中垂线on、om相交于o(外心)，m、n分别在cb.ac上，则am与on于x，ad交on于q，连og和hg，可证xogyhg nxgbygoxg=hyg(两线平行，内错角相等)由、知xogyhg得ogx=hgy，可得h、g、o三点在一条直线即任意三角形的垂心、重心、外心共线在上述三种证法中，证法1和证法2的
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