2021高考数学一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其分布 高考专题突破六 高考中的概率与统计问题教学案 理 新人教A版

高考专题突破六高考中的概率与统计问题概率与统计的综合应用例1(2020汉中模拟)槟榔原产于马来西亚，在中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区.槟榔是重要的中药材，在南方一些少数民族还将果实作为一种咀嚼嗜好品，但其被世界卫生组织国际癌症研究机构列为致癌物清单类致癌物.云南某民族中学为了解a，b两个少数民族班的学生咀嚼槟榔的情况，分别从这两个班中随机抽取5名学生进行调查，将他们平均每周咀嚼槟榔的颗数作为样本，绘制成如图所示的茎叶图(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字).(1)你能否估计哪个班的学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多？(2)在被抽取的10名学生中，从平均每周咀嚼槟榔的颗数不低于20颗的学生中随机抽取3名学生，求抽取b班学生人数x的分布列和均值.解(1)a班样本数据的平均值为(911142031)17，由此估计a班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数为17，b班样本数据的平均值为(1112212526)19，由此估计b班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数为19，故估计b班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多.(2)平均每周咀嚼槟榔的颗数不低于20颗的学生中，a班有2人，b班有3人，共有5人，x的可能取值为1,2,3，p(x1)，p(x2)，p(x3)，x的分布列为x123pe(x)123.思维升华概率与统计作为考查学生应用意识的重要载体，已成为近几年高考一大亮点和热点.它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性.跟踪训练1(2020西安八校联考)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间55,65)，65,75)，75,85内的频率之比为421.(1)求这些产品的质量指标值落在区间75,85内的频率；(2)若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于45,75)内的产品件数为x，求x的分布列与均值.解(1)设落在区间75,85内的频率为x，则落在区间55,65)，65,75)内的频率分别为4x和2x，依题意得(0.0040.0120.0190.030)104x2xx1，解得x0.05.所以落在区间75,85内的频率为0.05.(2)从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以x服从二项分布b(n，p)，其中n3.由(1)得，落在区间45,75)内的频率为0.30.20.10.6，将频率视为概率得p0.6.因为x的所有可能取值为0,1,2,3，则p(x0)c0.600.430.064，p(x1)c0.610.420.288，p(x2)c0.620.410.432，p(x3)c0.630.400.216，所以x的分布列为x0123p0.0640.2880.4320.216所以x的均值为e(x)00.06410.28820.43230.2161.8.(或直接根据二项分布的均值公式得到e(x)np30.61.8)概率与统计案例的综合应用例2(2020华中师大附中模拟)中国大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中开设大学先修课程已有两年，两年共招收学生2000人，其中有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人，学习先修课程的优等生有60人.这两年学习先修课程的学生都参加了考试，并且都参加了某高校的自主招生考试(满分100分)，结果如表所示：分数a95a10085a9575a8560a75a6.635，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.(2)p0.90.80.60.50.40.6.设通过某高校自主招生考试的人数为，则b，p(xk)ck150k，k0,1,2，150，所以e()15090.思维升华概率与统计案例的综合应用常涉及相互独立事件同时发生的概率、独立重复实验、超几何分布、二项分布、独立性检验、线性回归等知识，考查学生的阅读理解能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识.跟踪训练2(2019洛阳模拟)某商场营销人员进行某商品m市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到下表：返还点数t12345销量(百件)/天0.50.611.41.7(1)经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品销量y(百件)与返还点数t之间的相关关系，请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程t，并预测若返还6个点时该商品每天的销量；(2)若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：返还点数预期值区间1,3)3,5)5,7)7,9)9,11)11,13频数206060302010求这200位拟购买该商品的消费者对返还点数的心理预期值x的样本平均数及中位数的估计值(同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1)；将对返还点数的心理预期值在1,3)和11,13的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中“欲望膨胀型”消费者的人数为随机变量x，求x的分布列及均值.参考公式及数据：，；iyi18.8.解(1)由题意知3，1.04，122232425255，0.32，1.040.3230.08，则y关于t的线性回归方程为0.32t0.08，当t6时，2.00，即返还6个点时该商品每天销量约为200件.(2)根据题意，这200位拟购买该商品的消费者对返还点数的心理预期值x的样本平均数为20.140.360.380.15100.1120.056，中位数的估计值为5255.7.抽取的6名消费者中“欲望紧缩型”消费者人数为64，“欲望膨胀型”消费者人数为62.故x的所有可能取值为0,1,2.p(x2)，p(x1)，p(x0)，故随机变量x的分布列为x012pe(x)2101.均值与方差在决策中的应用例3(2018全国)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有新产品做检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0p0；当p(0.1,1)时，f(p)400，故应该对余下的产品做检验.思维升华随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量偏离均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要依据，一般先比较均值，若均值相同，再由方差来决定.跟踪训练3(2020100所名校最新冲刺卷)某中学是走读中学，为了让学生更有效率的利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班.在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下22列联表：非优良优良总计未设立自习室251540设立自习室103040总计354580(1)能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效？(2)设从该班第一次月考的所有数学成绩中任取两个，取到成绩优良数为x；从该班第二次月考的所有数学成绩中任取两个，取到成绩优良数为y，求x与y的均值并比较大小，请解释所得结论的实际含义.下面的临界值表供参考：p(k2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：k2，其中nabcd)解(1)k211.437.879，所以能在犯错的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效.(2)x的所有可能取值为0,1,2，则p(x0)，p(x1)，p(x2)，x012p所以e(x)012.y的所有可能取值为0,1,2，则p(y0)，p(y1)，p(y2)，y012p所以e(y)012，即e(x)y，如图所示，由几何概型得p(a).即甲比乙跳得远的概率为.2.为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取50人，从女生中随机抽取70人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表：优秀非优秀总计男生153550女生304070总计4575120(1)试判断能否有90%的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关？(2)为了宣传消防知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法，随机选出6人组成宣传小组现从这6人中随机抽取2人到校外宣传，求到校外宣传的同学中男生人数x的分布列和均值附：k2.p(k2k0)0.250.150.100.050.0250.010k01.3232.0722.7063.8415.0246.635解(1)因为k2.057，且2.057e(y)，东方商店一次性购进32份食品时得到的利润更大.4.某婴幼儿游泳馆为了吸引顾客，推出优惠活动，即对首次消费的顾客按80元收费，并注册成为会员，对会员消费的不同次数给予相应的优惠，标准如下：消费次数第1次第2次第3次不少于4次收费比例10.950.900.85该游泳馆从注册的会员中，随机抽取了100位会员统计他们的消费次数，得到数据如下：消费次数1次2次3次不少于4次频数6025105假设每位顾客游泳1次，游泳馆的成本为30元根据所给数据，回答下列问题：(1)估计该游泳馆1位会员至少消费2次的概率；(2)某会员消费4次，求这4次消费中，游泳馆获得的平均利润；(3)假设每个会员最多消费4次，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，从该游泳馆的会员中随机抽取2位，记游泳馆从这2位会员的消费中获得的平均利润之差的绝对值为x，求x的分布列和均值e(x)解(1)2510540，即随机抽取的100位会员中，至少消费2次的会员有40位，所以估计该游泳馆1位会员至少消费2次的概率p.(2)第1次消费时，803050(元)，所以游泳馆获得的利润为50元，第2次消费时，800.953046(元)，所以游泳馆获得的利润为46元，第3次消费时，800.903042(元)，所以游泳馆获得的利润为42元，第4次消费时，800.853038(元)，所以游泳馆获得的利润为38元，因为44(元)，所以这4次消费中，游泳馆获得的平均利润为44元(3)若会员消费1次，p1，则平均利润为50元，其概率为；若会员消费2次，48(元)，p2，则平均利润为48元，其概率为；若会员消费3次，46(元)，p3，则平均利润为46元，其概率为；若会员消费4次，44(元)，p4，则平均利润为44元，其概率为.由题意知，x的所有可能取值为0,2,4,6.且p(x0)，p(x2)2，p(x4)2，p(x6)2.x的分布列为x0246pe(x)0246.5.(2019衡水中学押题卷)为了解2019届高三毕业学生的复习备考情况，某省甲、乙两市组织了一次大联考.为比较两市本届高三毕业学生的数学优秀率，某教研机构从甲、乙两市参加大联考的数学高分段(数学成绩不低于100分)的学生中各随机抽取了100名学生，统计其数学成绩，得到甲市数学高分段学生成绩的频率分布直方图如图所示，乙市数学高分段学生成绩的频数分布表如下表所示(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，将频率视为概率).分数段100，110)110，120)120，130)130，140)140，150频数152540155(1)现计算得甲市数学高分段学生成绩的平均分为123分，乙市数学高分段学生成绩的方差为111，试利用统计知识判断甲、乙两市哪一个市2019届高三毕业学生数学高分段成绩更突出；(2)由频率分布直方图可以认为，甲市这次大联考的数学高分段学生成绩z(单位：分)近似地服从正态分布n(，2)，其中近似为样本平均数，试利用该正态分布模型解决下列问题.若甲市恰有2万名学生这次大联考的数学成绩不低于100分，试估计甲市这次大联考的数学成绩z高于142.6分的学生人数；现从甲市这次大联考的数学成绩不低于100分的学生中随机抽取1000人，若抽到k人的数学成绩在区间(123,142.6内的可能性最大，试求整数k的值.附：若xn(，2)，则p(x)0.6827，p(2x2)0.