七年级数学下册 第九章《三角形》9.1 三角形的边 三大几何作图问题素材 （新版）冀教版

三大几何作图问题三大几何作图问题是：倍立方、化圆为方和三等分任意角由于限制了只能使用直尺和圆规，使问题变得难以解决并富有理论魁力，刺激了许多学者投身研究早期对化圆为方作出贡献的有安纳萨戈拉斯（anaxagoras，约500b.c.428b.c.），希波克拉底（hippocrates of chios，前5世纪下半叶）、安蒂丰（antiphon，约480b.c.411b.c.）和希比亚斯（hippias of elis，400b.c.左右）等人；从事倍立方问题研究的学者也很多，欧托基奥斯（eutocius，约480？）曾记载了柏拉图、埃拉托塞尼（eratosthenes，约276b.c.195b.c.）、阿波罗尼奥斯（apollonius，约262b.c.190b.c.）和帕波斯（pappus，约300350）等人共12种作图方法：尼科米迪斯（nicomedes，约250b.c.左右）、帕波斯等人则给出了三等分角的方法当然所有这些研究都无法严格遵守尺规作图的限制，但它们却引出了大量的新发现（如圆锥曲线、许多三、四次曲线和某些超越曲线等），对整个希腊几何产生巨大影响三大作图问题自智人学派提出之时起，历经二千余年，最终被证明不可能只用直尺、圆规求解（1837年旺策尔p.l.wantze1首先证明了倍立方和三等分任意角不可能只用尺规作图；1882年林德曼c.l.f.lindemann证明了的超越性，从而确立了尺规化圆为方的不可能）关于三大几何作图问题的起源和古代探讨，在智人学派之后一些希腊学者的著述中留有记载，这些分散片断的记载，成为了解早期希腊数学的珍贵资料以下选录部分内容，各节作者与出处将随文注明倍立方a赛翁论倍立方问题的可能起源于埃拉托塞尼在其题为柏拉图的著作中写道：当先知得到神的谕示向提洛岛的人们宣布，为了止息瘟疫，他们必须建造一个祭坛，体积是现有那个祭坛的两倍时，工匠们试图弄清怎样才能造成一个立体，使其体积为另一个立体的两倍，为此他们陷入深深的困惑之中，于是他们就这个问题去请教柏拉图柏拉图告诉他们，先知发布这个谕示，并不是因为他想得到一个体积加倍的祭坛，而是因为他希望通过派给他们这项工作，来责罚希腊人对于数学的忽视和对几何学的轻视b普罗克洛斯论希波克拉底对这一问题的简化“简化”是将一个问题或定理转化成另一个已知的或已构造出的问题或定理，使得原命题清晰明了例如，为解决倍立方问题，几何学家们转而探究另一问题，即依赖于找到两个比例中项从那以后，他们致力于如何找到两条已知线段间连比例中的两个中项的探索据说最先有效地简化这些困难作图的是希俄斯的希波克拉底民他还化月牙形为方，并作出许多几何学上的其他发现说到作图，如果曾经有过这方面的天才的话，这个人就是希波克拉底历史上传说，古代的一位悲剧诗人描述了弥诺斯为格劳科斯修坟，当弥诺斯发现坟墓的每一边都是一百尺时，他说：“你们设计显然这是一个错误因为如果边长加倍，表面积变成原来的四倍，体积变成八倍当今的几何学家们也在探索将已知立方体的体积加倍而不改变其形状的途径这个问题以二倍立方体著称，即已知一个立方体，他们想办法将其变为两倍”当长期以来所有的探索都徒劳无功时，希俄斯的希波克拉底最先发现，如果能找到一个方法，作出已知的两条线段间连比例中的两个比例中项，其中长线段是短线段的两倍，立方体就变成两倍这样他的难点被分解成另一个不太复杂的问题“后来传说，某些提洛岛的人为遵循先知的谕示，想办法将一个祭坛加倍，他们陷入了同样的困境于是他们派代表去请求学园中柏拉图学派的几何学家帮他们找到解法这些几何学家们积极地着手解决这个问题，求两条已知线段间顺个比例中项据说塔林敦的阿尔希塔斯应用半圆柱体得到一种解法，而欧多克索斯用了所谓的“曲线”所有解决这一问题的人在寻找演绎的证明方面是成功的，但除门奈赫莫斯（尽管他只是很勉强地做到），他们都不能用行之有效的方法证明这个作图小现在我发现了一种简单方法，通过应用一种器具，不仅能得到两线段问的两个比例中项，而且能得到所需要的许多比例中项应用这一发现，我们能够将任何表面是平行四边形的已知立体化成立方体，或者将其从一种形状变成另一种形状，而且也可以作出一个与已知立体形状相同，但体积大一些的立体，也就是保持相似性化圆为方a安蒂丰化圆为方安蒂丰画了一个圆，并作一个能够内接于它的多边形我们假设这个内接图形是正方形然后他将正方形的每边分成两部分，从分点向圆周作垂线，显然这些垂线平分圆周上的相应弧段接着他从垂线与圆周的交点向正方形边的端点连线，于是得到四个以线段（即正方形的边）为底的三角形，整个内接的图形现在成为八边形他以同样的方法重复这一过程，得到的内接图形为十六边形他一再地重复这一过程，随着圆面积的逐渐穷竭，一个多边形将内接于圆，由于其边极微小，将与圆重合正如我们从原本中所知，既然通常我们能够作出一个等于任何已知多边形的正方形，那么注意到与圆重合的多边形与圆相等，事实上我们就作出了等于一个圆的正方形b布里松化圆为方他作一个正方形外切于圆，作另一个正方形内接于圆，在这两个正方形之间作第三个正方形然后他说这两个正方形（即内接和外切正方形）之间的圆及中间的正方形都小于外部的正方形且大于内部的正方形，他认为分别比相同的量大和小的两个量相等因此他说圆被化成正方形三等分角帕波斯论三等分一个角的方法当早期的几何学家们用平面方法探究上述关于角的问题时他们无法解决它，因为这个问题从性质来看是一个立体问题，由于他们还不熟悉圆锥曲线，因此陷于困惑但是他们后来借助于圆锥曲线用以下描述的斜伸法将角三等分用斜伸法解已知一个直角平行四边形ab，延长b，使之满足作出ae，使得线段ez等于已知线段假设已经作出这些，并作h，hz平行于ez，e由于ze已知且等于h，所以h也已知.已知，所以h位于在适当位置给定的圆周上由于b，包含的矩形已知且等于bz，e包含的矩形已知，即bz，zh包含的矩形已知，故h位于一双曲线上但它也位于在适当位置给定的圆周上，所以h已知证明了这一点后，用下述方法三等分已知直线角首先设ab是一个锐角，从直线ab上任一点作垂线a，并作平行四边形z，延长za至e，由于z是一个直角的平行四边形，在ea，a间作线段e，使之趋于b且等于ab的两倍上面已经证明这是可能的，我认为eb是已知角ab的三分之一因为设e被h平分，连接ah，则三条线段h，ha，he相等，所以e是ah的两倍但它也是ab的两倍，所以ba等于ah，角ab等于角ah由于ah等于ae，即b的两倍，所以ab等于b的两倍如果我们平分角ab，那么就三等分了角ab用圆锥曲线的直接解法这种立体轨迹提供了另一种三分已知弧的方法，不必用到斜线设过a，的直线在适当的位置给定，从已知点a，作折线ab，使得角ab是角ab的2倍，我认为b位于一双曲线上因为设b垂直于a并且截取e等于，当连接be时，它将与ae相等设ez等于e，所以z=3.现在置h等于af/3，所以点h将给定，剩下部分az等于3*h.由于be*be-ez*ezb*b，且be*be一ez*ez=a*az，所以a*az=b*b，即3*a*h=b*b，所以b位于以ah为横轴，