2014年数学建模国家一等奖优秀论文

精选的文库-创意平面折叠桌摘要信息现在，由于住宅空间的紧张，越来越多的折叠式家具出现了。某公司为了满足市场的要求，设计了折叠桌。以该折叠桌为背景提出的三个问题通过几何知识、非线性约束优化模型等方法成功解决。这三个问题提供了折叠表动态过程的描述方程，以及在给定条件下如何选择最佳设计处理参数、任何形式的表边缘线等的设计。对问题1，根据木板大小、木棍宽度，首先确定了19根树根，接着根据桌子前后对称的结构，以桌子的四分之一为研究对象，利用与空间几何相关的知识关系推导出了几何模型。接着利用MATLAB软件对折叠桌的动态变化过程进行了编程。接着求出了折叠桌各木条相对角度、各木条长度、各木条槽长度等资料。相关结果见表1。然后设置相应的3d坐标系，查找表拐角的每个端点坐标，绘制表拐角边线图形，使用MATLAB工具箱查找表拐角边线的函数关系，并分析管接头效果(请参阅表3)。对于问题2，如果已知折叠桌高、桌直径，则综合考虑桌稳定性、加工方便性、至少3个因素，使用材料力学和其他相关知识对折叠桌进行应力分析，确定坚固性、加工方便性、至少3个因素之间的相互约束关系，建立非线性优化模型。使用Lingo软件编程找到70厘米高、桌子直径80厘米、平面尺寸172.24cm80cm3cm、桌子腿铰链46.13cm、每个木条的插槽长度(请参见表3)、最长的木条(桌脚)和水平角度71.934。在问题3中，假设曲线相对于任意桌面边缘线(f(x)对称(否则无法保证表的稳定性)，如果在平行于桥面长方向的方向上沿着同一点切削对称轴的n等轴，则此类点可以是从铰点到木板竖直线的距离(相对于木板长方向)。然后，修改问题2设置的优化模型，并对lingo软件进行编程，以获得最佳设计加工参数(板尺寸、钢筋位置、槽口长度等)。最后，根据生成的模型，设计表格边缘线为椭圆的折叠桌，并提供八个动态变更进程图(见图10)和相应的设计进程参数(见表5)。最后，对已建立的模型和解决方案的优缺点进行了客观评价，并给出了改进方法。关键词：折叠桌曲线拟合非线性优化模型的应力分析-第一，再次说明问题1.1简介创意平板折叠桌的重点是表现木材产品的优雅和设计者想强调的自动化和功能性。以增加有效的使用面积。设计者以矩形木板的宽度为直径截断了圆形，将木板剩馀面积不同的木块切成了几个长度不同的木块，每个木块的长度是从木板到圆上一点的距离，每个用两根钢筋穿过两边的木块，用户只要抬起木板的两侧，就能在重力作用下自动上升的效果，相互对称的树干看起来像下垂的桌布，精细的制作工艺安排了质朴的木材，这种工艺品是工业革命时期的机器1.2提出问题围绕创意扁平折叠桌的动态变化过程、设计和加工参数，本文依次提出以下问题：(1)给出了矩形平板尺寸(120厘米50厘米3厘米)，每个木条宽度(2.5厘米)，连接桌脚木条的钢筋位置，以及折叠后桌子的高度(53厘米)。必须创建描述此折叠桌动态变化过程的模型，以提供此折叠桌的设计加工参数和桌腿边缘线的数学说明。(2)折叠桌要产品坚固，加工方便，材料最小化。针对指定折叠桌高和圆台直径的设计要求，介绍了矩形平板材料(如平面尺寸、钢筋位置、槽口长度等)和折叠桌的最佳设计处理参数。确定表高70 cm、表直径80 cm的最佳设计工艺参数。(3)根据客户任意设置的折叠桌高度、桌边线的形状大小和桌腿边线的大致形状，提供所需平整材料的形状大小和实际优化设计处理参数的软件设计数学模型，可以根据客户创建和创建的模型，提供多种设计的创意平坦折叠桌。需要相应的设计加工参数，并至少绘制8个动态变更进程的示意图。一、模型假设(1)忽略实际加工误差对设计的影响。(2)木条和圆台的交点小，可以忽略。(3)钢筋的强度大到不弯曲。(4)假设地面是平的。三、符号说明符号意义d条形宽度(厘米)x接缝宽l木板长度(厘米)w木板宽度(厘米)n第n棵树t颈线根数L1木板上第一根木条的长度(厘米)Ln从木板开始的第n条木条的长度(厘米)h表格高度(厘米)r表格半径(cm)r表格直径(cm)H0表格厚度(cm)安从第n条木条到树边缘的距离(以厘米为单位)Cn从第n个木条顶点位置到圆形面轴的径向距离(以厘米为单位)alpha n第n条木条和水平面的角度(以度为单位)Kcaolongn第n个木条插槽长度(厘米)四、问题分析4.1问题分析标题中，需要创建描述折叠式表动态变化图的模型。折叠表的特定形式无法在折叠表的特定时间点描述，因此，可以将折叠表的动态变化描述为每个木雕的角度变化。首先，知道折叠桌左右对称，利用几何知识，可以求出木杆四分之一的角度变化。最后，根据初始瞬间和最终形式两种状态发现桌腿木条槽的长度。4.2问题2分析标题应从折叠桌的坚固性好，加工方便，木材的至少三个角度确定设计加工参数。我们可以在应力和支撑面积上考虑坚固性，在槽口长度上加工方便，在木板长度上可以将木材考虑到最低限度。彼此之间的相互制约。确定最佳设计加工参数，建立非线性编程模型，并使用lingo软件解决最佳设计加工参数(板尺寸、钢筋位置、槽口长度等)。其中，合力方向(斜坡上)和最长木条(桌子腿)的角度方向是最小目标函数，木条的许用应力小于木条的许用应力，支承区域大于桌面区域，木条的槽口长度小于木条本身的长度，这是一个限制。4.3问题3分析从标题创建软件意味着客户通过提供折叠桌高、桌边缘线的形状尺寸和桌腿边缘线的大致形状，将此信息输入客户所需的表中。解决最佳设计加工参数时，获得创造性平面折叠桌，该工作台边缘线造型(椭圆、交叉圆等)、桌腿边缘线造型、折叠桌高度、应用第二个问题的非线性编程模型、绘制折叠桌剖面图的MATLAB软件。问题3流程图：已知的f(x)、g(x)、h、walpha nd、n、xCnFn五、构建和解决模式5.1构建和解决问题1的模型5.1.1准备模型(1)符号说明为了查找每个树条带角度关系，引入了以下符号：Ln:从木板外面开始，第n个木条长度(厘米)An:从第n条树条到树边的距离Cn:第n条木条是从桌面铰接点到桌面轴的距离Cn:第n个木条和第n-1个木条桌面铰接点与桌面轴的距离差n:第n根木条和桌面的角度(2)树木条数的确定按照标题，长方型的板大小，宽度50厘米，每条木条宽度2.5厘米，知道木条数越多，桌子就越不容易解开，即稳定性越好，最大根数为502.5=20，考虑到木条之间的间距和刀片的厚度，确定为19个。此时狭缝宽度x为：x=；x=2.518=0.139厘米(3)模型近似从实物上可以看出，桌面不是标准的圆面，圆面边是考虑到锯齿长度和圆半径的差异，圆是通过木条中点的圆，在示意图和实际计算中，使用木条端点的中点作为桌面接触点。另外，折叠桌要以节约材料为设计原则，根据木板的大小，桌面要尽量扩大。在这里，我们以木板宽度为桌子直径。5.1.2构建模型为了便于理解，创建折叠表的最长双脚(未折叠板的同一面上最长的木条)图，如图1所示。a点d点L1H-3alpha 1e点c点b市ia图1折叠了桌子的两个最长脚部分其中，a点是从最长的木条一端到水平平面的距离，如果表的实际高度为3厘米，则a点到水平平面的距离减去3厘米BC=l12-(h-3)2其中L1等于57厘米。这是因为电路板厚度为3厘米，L1 AD de=l=120cm厘米，所以AD厚度是原来的两倍已知L1为57厘米。记忆l=BC创建平面俯视图，如下图2所示第n棵树An-1 anN-1号木条Cn-1图2平面图第n根木条和木板边缘之间的距离an必须包含(n-1)条带宽度、(n-1)根条带长度和本身的一半长度。0.5(1)An=n-1x n-1d D2 (n=2，3，10)在几何关系中应用勾股定理，可以得到：0.5(2)Cn=(w2)2-(w2-an)20.5(3)第n个木条和第n-1个木条顶点位置到圆形面轴的半径距离差：Cn=cn1-cn第n棵树条长度ln:0.5(4)Ln=L2-cn为了解决条形旋转角度n，沿钢筋角度创建折叠椅子示意图，如图3所示。C1C2C3alpha 1alpha 2alpha 30.50.5h图3折叠桌示意图上面用图表知道1=arctan0.5hl 2=arctan 0.5 HL-C1 3=arctan 0.5 HL-C1-C2.同样，得到了每个木条的旋转角度n递归公式。(5)n=arctann2l-1n(cn 1-cn)(如图3所示，l-1n(cn 1-cn)可以是负值，alpha n是钝角。）开槽长度0.5(6)kcaolongn=0.5(h-h0)sinalpha n-(0.5 l 1-1n-1n)综合上述分析，可创建以下几何模型：0.5(7)n=arctan N2 l -1ncn 1-cn kcaolongn=0.5h-h0s inn-(0.5l 1-1n-1n)ln=L2-cn5.1.3解决模型(1)动态变更进程动态变化过程：由于不知道力的大小，因此折叠桌与时间的关系不确定，在桌子上折叠完成后，可以从任意角度确定桌角的位置(请参阅程序附录problem1_3.m)，例如，如果最长的木条旋转到60、65、70，则程序仅知道每个木条相对于表1旋转的角度，如表1所示。表1最长的木棒旋转60、65、70时每个木棒的旋转角度(2)长槽长度、木条长度、旋转角度根据上面设置的模型，使用MATLAB软件以编程方式计算每个木条长度、旋转角度、长槽长度的结果，如下表2所示。表2木条长度、旋转角度、长槽长度如表1所示，第一个木条插槽的长度为0厘米，符合实际。如图4所示，绘制木条长度，然后绘制凹槽长度，如图5所示。图4木条长度也是图5插槽长度条形图(3)桌腿边缘线的说明为了说明桌腿边缘线，可以用MATLAB绘制，因此首先创建三维坐标系。此坐标系使用一个桌角作为坐标原点，将两个桌角(平面状态下的另一个侧木条)连接到x轴，将两个桌角(平面状态下的同一个侧木条)连接到y轴和z轴，如图6所示yzozzzxz图6坐标图A.确定x坐标考虑到编程的必要性，这里以数组形式直接表示木桌腿x坐标。X=x1，x2，x19由于每个木条的长度与x轴垂直(如坐标的红线所示)，因此您可以获得：X1=0X2=x1d xX3=x2d x.0.5(8)Xn=xn-1 d x (n=2，3，19)B.确定y坐标将桌子投影到xoy平面上，可以根据几何关系获得木桌腿的y坐标Y=y1，y2，y190.5(9)其中：yn=0.5l cosn-ln cosn-0.5(h-h0)tannC.确定z坐标将桌子投影到zoy平面上，可以根据几何体关系获得木桌腿z坐标Z=Z1，z2，z190.5(10)其中：Zn=(h-h0)-LNS in n (n=2，3，19)综合以上分析，使用MATLAB编程(请参见problem1_3.m)查看图7:图7表边缘线要更准确地说明表边线，可调用MATLAB拟合工具箱，使用多项式管接头获取表边线函数和拟合形状，如图8所示。图8表边线函数和管接头图形拟合函数：Linear model Poly33:F (x，y)=p00p 10 * x P01 * y P20 * x 2 p11 * x * y p02 * y 2 p30 * x 3 p21 * x 2 * yP12 * x * y 2 p03 * y 3Coefficients(具有95% c