七年级数学下册 第十一章《因式分解》11.1 因式分解 因式分解教学中要重视数学思想方法的渗透与提炼素材 （新版）冀教版

因式分解教学中要重视数学思想方法的渗透与提炼中学数学内容(基本要求)的整体结构有两根强有力的支柱，即数学知识与数学思想方法数学思想方法产生数学知识，数学知识又蕴藏着思想方法，二者好比鸟之双翼，须臾不离，缺一不可从教育的角度来看，数学的思想方法比数学知识更为重要，这是因为知识的记忆是暂时的，思想与方法的掌握是永久的；知识只能使学生受益于一时，思想与方法将使学生受益于终生日本学者米山国藏指出：“无论是对于科学工作者，技术人员还是数学教育工作者，最重要的是数学的精神、思想和方法，而数学的知识只是第二位的”世界著名数学家波利亚在60年代曾作过统计，普通中学的学生毕业后在其工作中需要用到数学的(包括数学家在内)约占全部学生的30%，而其余的70%则几乎用不到任何具体的数学知识正是基于这样的分析，波利亚认为：“一个教师，他若要同样地去教他所有的学生未来用数学和不用数学的人，那么他在教解题时应当教三分之一的数学和三分之二的常识(即是指一般性的思想方法或思维模式)”这就是说，数学教学必须重视数学思想方法的教学自从把数学思想方法纳入基础知识范畴以后，如何在教学中贯彻数学的思想方法，这已成为人们普遍关注的问题本文归纳了用十字相乘法进行分解因式教学中应注意的几种数学思想方法供参考1观察、试验的思想方法在数学中，观察、试验是一种基本的研究方法，它可以用来引导数学发现、启迪问题解决的思路用十字相乘法进行分解因式不像整式乘法那样可按法则计算，而是需要根据所给多项式的特点进行观察，试验才能解决例如，无论是简单的二次三项式a2-7a-18的因式分解，还是复杂的二元二次多项式3x2+5xy-2y2+x+9y-4的分解因式，都需要进行细心的观察、多次的试验，将二次项系数(或二次项)与常数项各自分解为二数(或两个多项式)的合理乘积，使得交叉相乘后相加的和必须是一次项系数(或一次项)，来达到分解因式的目的因此，要把观察、试验的思想方法贯穿于整块内容教学的全过程，经过反复运用观察、试验的方法，使学生从感性认识上升到理性认识2变量思维变量与常量既是对立的，又是统一的辩证地看待字母它具有常量与变量的双重身份，常给我们研究问题带来很大的方便对简的二次三项式用十字相乘法进行分解因式后，引导学生将这些等式里的字母看作变量，进行变量代换，能为解一些复杂的因式分解问题提示一种可行的思路例如，用十字相乘法对二次三项式a2-7a-18分解因式后，引导学生将等式a2-7a-18=(a-9)(a+2)中的字母a进行变量变换，即将a变为x2，得x4-7x2-18=(x2-9)(x2+2)；将a变为x2-3x，得(x2-3x)2-7(x2-3x)-18=(x2-3x-9)(x2-3x+2)通过变元，把字母变成多项式，反过来，如果将某些多项式看作一个字母，利用换元法进行因式分解，那么学生的思维就自然而流畅了3整体思想有些多项式，表面上看较复杂，若能注意到题目中的整体所在，利用整体思想去把握，则能化繁为简，化难为易整体思想的教学可按以下两步进行：（1）通过换元明确整体思想例1 分解因式：(x2+x)2-14(x2+x)+24在变量思想的指导下，学生很快地想到用换元法对例1进行分解因式，即设x2+x=u，则原式=u2-14u+24=(u-2)(u-12)=(x2+x-2)(x2+x-12)=(x+2)(x-1)(x+4)(x-3)在此基础上，引导学生抓住换元法的特点是把x2+x看作一个整体，使学生明确整体思想（2）通过解题发展整体思想例2 分解因式：(x2-3x+2)(x2-3x-4)-72在整体思想的指导下，学生也很容易地得到以下的几种解题方案方案1：将x2-3x看作一个整体，则原式=(x2-3x)2-2(x2-3x)-80=(x-5)(x+2)(x2-3x+8)方案2：将x2-3x+2看作一个整体，则原式=(x2-3x+2)2-6(x2-3x+2)-72=(x-5)(x+2)(x2-3x+8)方案3：将x2-3x-4看作一个整体，则原式=(x2-3x-4+6)(x2-3x-4)-72=(x2-3x-4)2+6(x2-3x-4)-72=(x-5)(x+2)(x2-3x+8)以上两例，正是由于整体思想，使得繁与简、新与旧达到和谐的统一4类比思想数学问题的相似性在数学中普遍存在根据多项式与多项式之间的异同点，抓住其本质特征，运用类比思想去处理，则能将生疏的问题转化为熟悉的问题例3 分解因式：(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15本题教学若直接给出“原式=(x2+8x+7)(x2+8x+15)+15那就失去了一次培养学生发现能力的机会教学中，引导学生将例2与例3的结构进行类比即如下框图：发现：（1）后面方框内都是常数；（2）前面方框内都是x的4次式于是猜想：可将乘积(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)转化为二个二次三项式(它们的一次项和二次项相同)的乘积有了猜想的结论，明确了解题的方向，再引导学生观察系数特点，就会较快地发现：(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)15=(x2+8x+7)(x2+8x+15)+15，从而转化为已解过的问题初中数学内容蕴含着丰富的数学思想方法，教材中，有些数学思想方法比较明显，便于我们在教学中渗透与提高，有些