山东省邹城市2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）

20182019学年度第二学期期中考试高一数学试题第i卷（选择题60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若，且，则是（ ）a. 第一象限角b. 第二象限角c. 第三象限角d. 第四象限角【答案】c【解析】，则的终边在三、四象限；则的终边在三、一象限，同时满足，则的终边在三象限。2.已知，则（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】分析】利用三角函数诱导公式，直接计算出结果.【详解】依题意cos32=sin=34.故选c.【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，属于基础题.3.已知向量a，b满足|a|=1,，ab=3，则a(2a+b)=（ ）a. 3b. 2c. 0d. -1【答案】d【解析】【分析】利用向量运算的分配律和数量积，计算出表达式的结果.【详解】依题意a2a+b=2a2+ab=2+3=1，故选d.【点睛】本小题主要考查向量运算的乘法分配律，考查数量积的运算，属于基础题.4.已知a与b均为单位向量，若|a2b|=3，则向量a与b的夹角大小是（ ）a. 60b. 45c. 30d. 以上都不对【答案】a【解析】【分析】对|a-2b|=3两边平方，化简后利用向量数量积的公式求得两个向量的夹角.【详解】对|a-2b|=3两边平方得a24ab+4b2=3，即14cosa,b+4=3,cosa,b=12，a,b=60，故选a.【点睛】本小题主要考查向量模的运算，考查向量的数量积运算和夹角的求法，属于基础题.5.下列函数中最小正周期为且图象关于直线x=3对称的是（ ）a. y=2sin2x-6b. y=2sin2x-3c. y=2sin2x+3d. y=2sinx2+3【答案】a【解析】【分析】根据函数的周期和对称轴对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】由于函数的最小正周期为，=2，由此排除d选项.将x=3代入a选项，y=2，故x=3是函数的对称轴，符合题意. 将x=3代入b选项，y=3，故x=3不是函数的对称轴，排除b选项. 将x=3代入c选项，y=0，故x=3不是函数的对称轴，排除c选项.故本小题选a.【点睛】本小题主要考查三角函数周期性的知识，考查三角函数对称轴的特点，属于基础题.6.分析下列四个命题并给出判断，其中正确的命题个数是（ ）若a/b，则a=b； 若|a|=|b|，则a=b；若|a|=|b|，则a/b： 若a=b，则|a|=|b|.a. 0b. 1c. 2d. 3【答案】b【解析】【分析】根据向量相等及共线的定义对四个命题逐一分析判断，由此得出正确命题个数.【详解】对于，当两个向量平行时，大小和方向可能不相等，即两个向量不一定相等，故错误.对于，两个向量模相等，方向不一定相同，故错误.对于，两个向量模相等，不一定共线，也可能垂直或者其它的情况，故错误.对于，如果两个向量相等，则大小和方向都相同，故命题正确.综上所述，共有1个命题为真命题，故选b.【点睛】本小题主要考查平面向量相等、共线等知识的理解，属于基础题.7.要得到函数f(x)=sin2x (xr)的图象，只需将函数g(x)=sin2x-6 (xr)的图象（ ）a. 向右平移6个单位b. 向右平移12个单位c. 向左平移6个单位d. 向左平移12个单位【答案】d【解析】【分析】根据三角函数图像变换的知识，直接选出正确选项.【详解】依题意gx=sin2x12，故向左平移12个单位得到sin2x+1212=sin2x，故选d.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换的知识，属于基础题.8.已知向量a=(2,2).b=(0,2)，c=(k,2)，若(a+2b)与互相垂直，则实数k=（ ）a. -2b. 2c. -1d. 1【答案】b【解析】【分析】先求得a+2b的坐标，然后利用两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得k的值.【详解】依题意a+2b=2,2，由于(a+2b)与互相垂直，故a+2bc=2,2k,2=2k22=0，解得k=2，故选b.【点睛】本小题主要考查平面向量坐标运算，考查两个向量垂直的坐标表示，属于基础题.9.设函数f(x)=asin2x+bcos2x+4，其中a、b、均为非零的常数，若f(1981)=3，则f(2019)的值是（ ）a. 5b. 3c. 1d. 不确定【答案】a【解析】【分析】化简f1981=3的表达式，将所得结果代入f2019的表达式中，由此求得f2019的值.【详解】由于f1981=3，故f1981=asin990+2+bcos990+2+4 =asin2+bcos2+4 acosbsin+4=3，所以acosbsin=1.f2019=asin1009+2+bcos1009+2+4 =asin2+cos2+4 =acos+bsin+4 =1+4=5.【点睛】本小题主要考查三角函数的诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10.九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作之一，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=12 弦矢+矢2，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23，半径等于6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约为（ ）a. 16平方米b. 18平方米c. 20平方米d. 22平方米【答案】c【解析】【分析】根据弧田面积公式，代入数据，计算出弧田面积.【详解】由于圆心角为23，故圆心到弦的距离为d=12r=3，弦长为2r2d2=26232=63，所以弧田面积为12633+3220平方米.故选c.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查弧田面积计算，属于基础题.11.已知函数f(x)=3cos2xsin2x+3，则函数（ ）a. f(x)的最小正周期为，最大值为5b. f(x)的最小正周期为，最大值为6c. f(x)的最小正周期为2，最大值为5d. f(x)的最小正周期为2，最大值为6【答案】b【解析】【分析】利用降次公式化简fx，由此求出函数的最小正周期和最大值.【详解】依题意fx=31+cos2x21cos2x2+3=2cos2x+4，故最小正周期为t=22=，最大值为2+4=6，所以本小题选b.【点睛】本小题主要考查降次公式，考查三角函数的最小正周期，考查三角函数的最大值的求法，属于基础题.12.如图，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点o且三组对边分别平行.点a，b是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点p在“六芒星”上（内部以及边界），若op=xoa+yob，则x+y的取值范围是（ ）a. 4,4b. 21,21c. 5,5d. 6,6【答案】c【解析】如图建立平面直角坐标系， 令正三角形边长为3，则ob=i,oa=32i+32j，可得i=ob,j=233oa+3ob，由图知当p在c点时有，op=3j=2oa+3ob，此时x+y有最大值5，同理在与c相对的下顶点时有op=3j=2oa3ob，此时x+y有最小值5故本题答案选c第卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.若角的终边经过点p(x,3)，且cos=12，则实数x=_.【答案】3.【解析】【分析】根据三角函数的定义，利用cos=-12列方程，解方程求得x的值.【详解】根据三角函数的定义，有cos=xx2+32=12x0，0，0）的部分图象如图所示，则f12=_.【答案】22.【解析】【分析】先根据图像求得fx的解析式，然后求得f12的值.【详解】由图像可知a=2，t2=51212=2,t=,=2，故fx=2sin2x+，有图像可知f12=2sin6+=2，sin6+=1,0，故=23.即fx=2sin2x+23.所以f12=2sin212+23=2sin56=22.【点睛】本小题考查根据三角函数图像求三角函数解析式，考查三角函数求值，属于基础题.16.在abc中，点d在bc上，且dc=2bd，ab:ad:ac=3:k:1，则实数k的取值范围是_.【答案】53,73【解析】不妨设ab=3，ac=1，ad=k，dc=2ab，从而2bd=dc，即acad=2adab，从而ad=23ab+13ac，ad2=49ab2+19ac2 +49abac，k2=4+19+129cos，又1cos1，从而259k2499，即53k0）n=(1,1)，记函数f(x)为向量m在向量n上的投影，且x=4是函数f(x)的图象距离y轴最近的一条对称轴.（i）求函数f(x)的表达式：（ii）若cos=45，32,2，求f+12的值.【答案】()f(x)=2sinx+4；() 4335.【解析】【分析】（i）根据向量投影的计算公式，求得fx的表达式，并利用辅助角公式合二为一，根据三角函数对称轴的概念，求得的值，由此求得三角函数的解析式.（ii）根据cos的值和的取值范围没去的sin的值.代入f+4的表达式，由此计算出f+4的值.【详解】（i）由题意，得f(x)=|m|cosm,n =mn|n|=2(sinx+cosx)=2sinx+4，由于“x=4是函数f(x)的图象距离y轴最近的一条对称轴”，所以4+4=2，得=1.所以f(x)=2sinx+4.（）因为cos=45，32,2，所以sin=-1-cos2 =-1-452=-35由（i），得f+12 =2sin+12+4 =2sin+3=2sincos3+cossin3=2-3512+4532 =43-35【点睛】本小题主要考查向量投影的计算，考查三角函数对称轴，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，属于基础题.20.已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x2.（i）求函数f(x)的单调递增区间；（）当x4,34时，求函数f(x)的最大值和最小值.【答案】()k38,k+8，kz；()函数f(x)的最大值是1，最小值是2.【解析】【分析】（i）利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式，化简fx的解析式，然后利用正弦型函数的单调增区间的求法，求得函数的单调递增区间.（ii）根据x的取值范围，求得2x+4的取值范围，由此求得函数f(x)的最大值和最小值.【详解】（i）易得f(x)=2sinxcosx+cos2x =sin2x+cos2x=2sin2x+4令2k-22x+42k+2，kz，所以k-38xk+8，kz.故所求函数f(x)的单调递增区间为k-38,k+8，kz.（）因为x4,34，所以342x+474，所以-1sin2x+422，所以-22sin2x+41，即-2f(x)1.故当x4,34时，函数f(x)的最大值是1，最小值是-2.【点睛】本小题主要考查同角三角函数基本关系式、二倍角公式和辅助角公式，考查三角函数单调区间和值域的计算，属于中档题.21.已知函数，f(x)=asin(x+)（a0，0，-22）在一个周期内图象如图所示.（i）求函数f(x)的解析式；（）设0x，且方程f(x)=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围以及这两个根的和.【答案】()f(x)=2sin2x+6.()见解析.【解析】【分析】（i）根据三角函数的图像的最高点，求得a的值，根据三角函数的周期，求得的值，根据函数图像上的特殊点，求得的值，由此求得函数的解析式.（ii）画出函数f(x)=2sin2x+6的图像与函数g(x)=m的图像，根据图像求得m的的取值范围.根据对称性求得两根的和.【详解】（i）由题设图象，易得a=2，34t=1112-6=912，所以t=，所以=2t=2.所以f(x)=2sin(2x+).因为函数f(x)的图象经过点6,2，所以2sin26+=2，即sin3+=1.又因为-22，所以-63+56，所以3+=2，所以=6.故所求函数f(x)的解析式为f(x)=2sin2x+6.（）由题意，知方程f(x)=m有两个不同的实数根等价于函数f(x)=2sin2x+6的图象与g(x)=m的图象有两个不同的交点.因为0x，易画出函数f(x)=2sin2x+6的图象与函数g(x)=m的图象（如图所示）.依据图象可知：当-2m1或1m2时，直线g(x)=m与曲线f(x)=2sin2x+6有两个不同的交点，即方程f(x)=m有两个不同的实数根，故所求实数m的取值范围为(-2,1)(1,2).当-2m1时，g(x)与f(x)的图象有两交点且关于直线x=23对称，设此时方程f(x)=m两个不同的实数根分别为x1，x2，所以当x1+x22=23，即x1+x2=43当1m2时，g(x)与f(x)的图象有两交点且关于直线x=6对称，设此时方程f(x)=m两个不同的实数根分别为x3，x4，所以x3+x42=6，即x3+x4=3综上，当-2m1时，所求方程的两根之和为43当-2m1时，所求方程的两根之和为3.【点睛】本小题主要考查已知三角函数图像求三角函数解析式，考查零点问题，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.22.已的向量a=cosx2,sinx2，b