陕西省榆林市第二中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）

榆林市第二中学2019-2020学年度第一学期期中考试高二年级理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知等差数列的前n项和为，则a. 140b. 70c. 154d. 77【答案】d【解析】【分析】利用等差数列的前n项和公式，及等差数列的性质，即可求出结果.【详解】等差数列的前n项和为，.故选d.【点睛】本题考查等差数列的前n项和的求法和等差数列的性质，属于基础题.2.已知数列an的前项和，则这个数列的通项公式为（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】当时，由求得；当时，由求得；验证后可知数列为分段数列，从而得到结果.【详解】当时，当时，不满足 故选：【点睛】本题考查根据与关系求解数列的通项公式；易错点是忽略验证时，是否满足时的通项公式，造成求解错误.3.等差数列an的前n项和为sn，且s1020，s2015，则s30（ ）a. 10b. c. d. 25【答案】c【解析】【分析】根据等差数列片段和性质可知，成等差数列，利用等差中项定义可构造方程求得结果.【详解】由题意知：，成等差数列，即，解得：故选：【点睛】本题考查等差数列片段和性质的应用，属于基础题.4.已知数列满足，则（ ）a. 1024b. 2048c. 1023d. 2047【答案】c【解析】【分析】根据叠加法求结果.【详解】因为，所以，因此，选c.【点睛】本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.5.在中，角a、b、c所对的边分别为a、b、c，且若，则的形状是（）a. 等腰三角形b. 直角三角形c. 等边三角形d. 等腰直角三角形【答案】c【解析】【分析】直接利用余弦定理的应用求出a的值，进一步利用正弦定理得到：bc，最后判断出三角形的形状【详解】在abc中，角a、b、c所对的边分别为a、b、c，且b2+c2a2+bc则：，由于：0a，故：a由于：sinbsincsin2a，利用正弦定理得：bca2，所以：b2+c22bc0，故：bc，所以：abc为等边三角形故选：c【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型6.在中，若 ，则=（ ）a. 1b. 2 c. 3d. 4【答案】a【解析】余弦定理将各值代入得解得或(舍去)选a.7.已知锐角三角形的三边长分别为3,4，则的取值范围为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】分两种情况来考虑：当为最大边时，设所对的角为由锐角，根据余弦定理可得：，可知只要即可，可解得：当不是最大边时，则为最大边，同理只要保证所对的角为锐角就可以了，则有，可解得综上可知的取值范围为故答案选点睛：分类讨论，因为不知道边长与4的大小所以要讨论，这里要运用余弦定理，因为余弦值在锐角时是正数，在钝角时是负数，这种情况不采用正弦值，当遇到角在第一象限或第四象限时可以用正弦。8.在abc中，内角a，b，c所对的边分别是a，b，c，若c2=（ab）2+6，c=，则abc的面积是（ ）a. b. c. d. 3【答案】a【解析】试题分析：根据余弦定理，得，即，又，即，两式相减，得，所以的面积为，故选a考点：余弦定理；三角形的面积公式9.若ab0，则下列不等式关系中，不能成立的是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根据的单调性，可知成立，不成立；根据和的单调性，可知成立.【详解】在上单调递减 ，成立又 ，不成立在上单调递增 ，成立在上单调递减 ，成立故选：【点睛】本题考查利用函数单调性比较大小的问题，关键是能够建立起合适的函数模型，根据自变量的大小关系，结合单调性得到结果.10.若直线过点，则的最小值等于（）a. 2b. 3c. 4d. 5【答案】c【解析】试题分析：直线（，）过点，则，当且仅当时取等号故答案为：c考点：基本不等式.【此处有视频，请去附件查看】11.在数列中，已知，则其通项公式为等于（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根据题意可直接构造一个新数列成等比数列，求出新数列的通项公式，然后求出的通项公式。【详解】因为，所以，由题意得，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，故选a。【点睛】本题考查新数列的构造，利用构造一个新等比数列，求出新数列的通项公式，从而求出所求数列的通向公式。12.在中，角，所对的边分别是，.若，则的形状是（ ）a. 等腰三角形b. 直角三角形c. 等腰直角三角形d. 等腰三角形或直角三角形【答案】d【解析】【分析】先根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式以及二倍角公式化简得角关系，最后根据角的关系确定三角形形状.【详解】因为，所以，所以，从而.因为，,所以或，即或，故是等腰三角形或直角三角形.选d.【点睛】本题考查正弦定理、两角和正弦公式以及二倍角公式，考查基本分析求解能力，属中档题.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列an中，若是等差数列，则_【答案】0【解析】【分析】设的公差为，根据等差数列通项公式可求得；再利用可构造方程求得结果.【详解】设的公差为，则，解得：故答案为：【点睛】本题考查数列中的项的求解，关键是能够灵活应用等差数列的通项公式求得等差数列中的项，进而求得所求数列中的项.14.abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，若的面积为，则角b= _,【答案】【解析】【分析】由题意结合面积公式和余弦定理首先求得的值，然后确定b的大小即可.【详解】由题意可得：，即，则：.【点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.15.若不等式的解集是，则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】根据的解集求出的关系，再化简不等式，求出它的解集即可【详解】的解集为（-1，2），则，且对应方程的为-1和2，且，不等式可化为，即，解得或故答案为：（-，-2）（1，+）【点睛】本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系，属于基础题16.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y-3x最大值是_【答案】4【解析】【分析】由约束条件得到可行域，将问题转化为在轴截距最大值的求解，通过平移可确定过时截距最大，代入求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：目标函数可化为，则最大值即为在轴截距最大值由平移可知，当过时，截距最大又 故答案为：【点睛】本题考查线性规划中的最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在轴截距的最值的求解问题，属于常考题型.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（1）已知，求的最大值；（2）已知，且，求的最小值【答案】（1）-1（2）【解析】【分析】（1）利用构造法转化为符合基本不等式的形式，再求解最值即可；（2）利用“”的代换，转化表达式，构造出符合基本不等式的形式，进而求解最小值即可【详解】（1） （当且仅当，即时取等号），即最大值为（2） ，（当且仅当，即时取等号），即的最小值为【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够通过构造、灵活应用“”的代换，将所求式子转化为符合基本不等式的形式，属于基础题.18.已知公差不为0的等差数列an满足，且是，的等比中项.（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，运用等比数列中项性质和等差数列通项公式，构造关于的方程可求得，进而得到所求通项；（2）求得所求数列的通项，由裂项相消求和，化简可得结果【详解】（1）设等差数列的公差为是的等比中项 ，又，解得：（2）由（1）得：【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、裂项相消法求解数列的前项和的问题；关键是能够通过数列的通项公式进行准确的裂项，进而前后相消求得结果，属于常考题型.19.已知a，b，c分别是内角a，b，c的对边，且满足（1）求角a的大小；（2）若，求的面积【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由可得，由余弦定理可得，结合范围，即可求得的值；(2)由及正弦定理可得，又，由余弦定理可解得的值，利用三角形面积公式即可得结果.【详解】（1），可得：，由余弦定理可得：， 又，（2）由及正弦定理可得：，由余弦定理可得：，解得：，【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数以及三角形面积公式的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.20.已知函数（1）当 时，解不等式；（2）若关于x的不等式的解集为，求实数的取值范围【答案】（）或；（）【解析】【分析】当时，根据二次不等式的求法，即可求解； 因为不等式的解集为r，可得恒成立，结合二次函数的性质，即可求解【详解】当时，由可得，解可得，或，故不等式的解集为或不等式的解集为r，所以恒成立，时，恒成立，符合题意，时，根据二次函数的性质可知，解可得，综上可得，实数m的取值范围【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解及二次函数的恒成立问题，其中解答中合理应用一元二次不等式和二次函数关系是解答的关键，同时解题中要注意分类讨论思想的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题21.已知为的三个内角，且其对边分别为，若（1）求角的值；（2）若，求的面积【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）先由正弦定理得,再根据特殊角三角函数值得角的值；（2）根据余弦定理得bc=4，再根据三角形面积公式得结果.详解：（1）acosc+ccosa=-2bcosa，由正弦定理可得：sinacosc+sinccosa=-2sinbcosa，化为：sin（a+c）=sinb=2sinbcosa，sinb0，可得cosa=，a（0，），a=；（2）由，b+c=4，结合余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosa，12=（b+c）2-2bc-2bccos，即有12=16-bc，化bc=4故abc的面积为s=bcsina=4sin=点睛：运用余弦定理时，要注意整体思想的运用：如,或.22.设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为已知，（1）求数列，通项公式；（2）当时，记，求数列的前项和【答案】(1)见解析 (2) 【解析】【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）