人人文库网 > 教育资料 > 中学教育 > （讲练测）2019-2020学年九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程（含解析）（打包4套）（新版）新人教版
讲练测2019_2020学年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程讲练含解析新版新人教版20200406128.docx
（讲练测）2019-2020学年九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程（含解析）（打包4套）（新版）新人教版
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（讲练测）2019-2020学年九年级数学上册
第二十一章
一元二次方程（含解析）（打包4套）（新版）新人教版
讲练测
2019
2020
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九年级
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专题02 21.1-21.2一元二次方程及其解测试卷一、单选题1下列方程中，是一元二次方程的为( )abcd【答案】b【解析】a. ，当a=0时，不是一元二次方程，故不符合题意；b. ，是一元二次方程，符合题意；c. ，不是整式方程，故不符合题意；d. ，整理得：2+x=0，不是一元二次方程，故不符合题意，故选b.2一元二次方程的一次项系数为（ ）a1bc2d-2【答案】d【解析】解:一元二次方程,则它的一次项系数为-2,所以d选项是正确的.3方程的解是（ ）abcd【答案】c【解析】解：可得 故选c.4方程x（x-1）=2的两根为（ ）ax1=0，x2=1bx1=0，x2=-1cx1=1，x2=2dx1=-1，x2=2【答案】d【解析】方程移项并化简得xx2=0，a=1，b=1，c=2=1+8=90x= 解得x1=-1，x2=2.故选d5关于x的方程(x+a) =b(b0)的根是（ ）ax=-abx=a+c当b0时，x=-ad当a0时，x=a【答案】a【解析】b0，两边直接开平方,得：x+a=，x=-a，故选：a6用配方法解一元二次方程x28x30时,可将方程化为（ ）a(x8)213b(x4)213c(x4)213d(x4)219【答案】c【解析】x28x30,x28x=-3，x28x+16=-3+16，(x4)213，故选c.7若关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值是（ ）a4b5c6d7【答案】b【解析】根据题意得a-60且=（-2）2-4（a-6）30，解得a 且a6，所以整数a的最大值为5.故选b.8关于一元二次方程根的情况描述正确的是（ ）a有两个相等的实数根b没有实数根c有两个不相等的实数根d不能确定【答案】a【解析】解： 原方程有两个相等的实数根。故答案为：a9下列方程有两个相等的实数根的是( )abcd【答案】b【解析】a、=b2 -4ac=1+24=250，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；b、=b2 -4ac=36-36=0，方程有两个相等的实数根，符合题意；c、=b2 -4ac=25-40=-150，方程有两个不相等的实数根，不符合题意，故选b.10已知关于x的一元二次方程x2+mx80的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（）a4， 2b4，2c4，2d4，2【答案】a【解析】设另一个实数根为x1，则有2+x1=-m，2x1=-8，解得：x1=-4，m=2，故选a.11若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）abcd【答案】b【解析】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故选：b12已知是方程的一个根，则（ ）abcd【答案】d【解析】把n代入方程得到，故3（）-7=3-7=-4，故选d.13若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程可能是（ ）ax2-3x+2=0bx2+3x+2=0cx2+3x-2=0dx2-2x+3=0【答案】a【解析】解：x1=1，x2=2，x1+x2=3，x1x2=2，以x1，x2为根的一元二次方程可为x2-3x+2=0故选：a14在用配方法解下列方程时，配方错误的是( )abcd【答案】b【解析】a. ，故此选项错误b. ，故此选项正确c. ，故此选项错误d. ，故此选项错误15一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一根，则此三角形的周长是（）a16b12c14d12或16【答案】a【解析】解方程，得：或，若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16，故选：a16如果4a2b+c0，则方程ax2+bx+c0（a0）必有一根是（）a0b1c2d2【答案】c【解析】解：当x2时，4a2b+c0，所以若4a2b+c0，则方程ax2+bx+c0（a0）必有一根是x2故选：c二、填空题17若分式的值为，则的值等于_【答案】【解析】， 由得：，或，由得：，综上，故答案是：-1.18若关于的一元二次方程的常数项为，则的值是_【答案】【解析】关于的一元二次方程的常数项为，故有，解得m=4或m=-1,又因为原方程是关于x的一元二次方程，故m+10，m1综上，m=4，故填419将方程配方成的形式，则_，_.【答案】5 , 9. 【解析】方程左右两边同时加9，得即，即a=-5,b=920你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程即为例加以说明数学家赵爽（公元34世纪）在其所著的勾股圆方图注中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程的正确构图是_（只填序号）【答案】【解析】解：即，构造如图中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得故答案为：三、解答题21选用适当的方法解下列方程（1）x4x3 =0 （2）3x-7x-6 =0 （3）【答案】（1）x=2+ ，x=2；（2）x= ，x=3；（3）x=3，x=1【解析】(1)x4x3=0，移项得：x4x=3，配方得：x4x+4=7，即(x2) =7，可得x2=，x=2+ ，x=2；(2)3x7x6=0，因式分解得：(3x+2)(x3)=0，可得3x+2=0或x3=0，解得：x= ，x=3；(3)(x3) +2x(x3)=0，因式分解得：(x3)(x3)+2x=0，即(x3)(3x3)=0，可得x3=0或3x3=0，解得：x=3，x=122先化简，再求值：，其中x满足方程x2-2x-3=0【答案】【解析】解：原式= = =；当x2-2x-3=0时，解得：x=3或x=-1（不合题意，舍去）当x=3时，原式=；23已知1是方程x22x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c的值。【答案】方程的另一个根是1+，c的值为2【解析】设方程的另一个根为x ，且x=1 .x+ x =2.x=2(1)=1+又x x =c.c=(1)(1+)=2.方程的另一个根是1+，c的值为2.24如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根【答案】见解析【解析】证明：根据题意，得：a+c=b，即ab+c=0；当x=1时,ax2+bx+c=a(1) 2+b(1)+c=ab+c=0，1必是关于x的一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根。25三角形两边长分别是6和8，第三边长是x2-16x+60=0的一个实数根，求该三角形的第三条边长和周长。【答案】该三角形第三条边长为10或6.当第三边长为10时，周长为24；当第三边长为6时，周长为20【解析】x216x+60=0，x216x+82=4，(x8) 2=4x8=2x=10, x=6，当x=10时，6+810，三角形周长为6+8+10=24.当x=6时，6+68，三角形周长为6+6+8=20.答：该三角形第三条边长为10或6.当第三边长为10时，周长为24；当第三边长为6时，周长为209专题01 21.1-21.2一元二次方程及其解法讲、练一、知识点1. 一元二次方程的相关概念(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程(2)一般形式：ax2bxc0(a0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n0)的方程，可直接开平方求解.( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.( 3 )公式法:一元二次方程 ax2bxc0的求根公式为x=（b2-4ac0）.配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法先用其他，再用公式3.根的判别式(1)当0时，原方程有两个不相等的实数根(2)当=0时，原方程有两个相等的实数根(3)当0 这个方程有两个不相等的实数根.故选：a.7已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为_【答案】13【解析】方程5x2+mx6=0的一个根是x=3，59+3m6=0解得：m=13.故答案为：13.8如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=_，x2=_【答案】9 -9 【解析】 x2 81，又 (9) 2 81，x9故答案为：9，-99如果是一元二次方程的一个根,则常数的值为_.【答案】-10.【解析】把代入可得解得：x=-10故答案为：-1010方程中，二次项系数是_,一次项系数是_,常数项是_.【答案】6 -7 -4 【解析】方程整理得：6x 7x4=0，其中二次项系数是6，一次项系数为7，常数项为4，故答案为： 6，7，411已知关于的一元二次方程的一根为，则的值为_【答案】【解析】把x=0代入方程得m2-4=0m1=2，m2=-2，一元二次方程的二次项系数不为0，m+20，即m-2，m=2故答案为：212方程（2x-1）（x+1）=1化成一般形式是_，其中二次项系数是_，一次项系数是_。【答案】2x+x2=0 2 1 【解析】(2x1)(x+1)=1可化为：2x+2xx1=1，移项合并同类项得：2x+x2=0.二次项系数是2，一次项系数是1.13关于x的方程（m-1）x2+（m+1）x+3m-1=0，当m_时,是一元一次方程;当m_时,是一元二次方程.【答案】=1 1 【解析】当关于x的方程(m1)x2+(m+1)x+3m1=0是一元一次方程时， ，解得m=1；当关于x的方程(m1)x2+(m+1)x+3m1=0是一元二次方程时，m10，m1，故答案为：=1；1.14-2x2 +x-2 = -2 (x _)2 + （_）；【答案】- - 【解析】-2x2 +x-2 = -2 (x2 x)2=2(x ) 2，即2x2+ x2=2(x) 2+().故答案是：;15一元二次方程x2-ax+6=0, 配方后为(x-3)2=3, 则a=_.【答案】6【解析】根据题意，(x3) 2=3可变为：x2-6x+6=0，和已知一元二次方程x2-ax+6=0比较知a=6.16若一元二次方程（为常数）有两个相等的实数根，则_.【答案】2【解析】方程有两个相等的实数根，=b41=b4=0，解得：b=2.故答案为：217解下列方程：（1）（x2）2=16 （2）x24x3=0 （配方法） （3）（x1）（x + 2）= 2（x + 2）【答案】(1) x1=6,x2=-2;(2) x1=-2+,x2=-2-;(3) x1=-2,x2=3【解析】（1）（x2）2=16 x-2= x1=6,x2=-2（2）x24x3=0 x24x+43=0+4(x+2)23=0+4(x+2)2=7x+2= x1=-2+,x2=-2-（3）（x1）（x + 2）= 2（x + 2）（x1）（x + 2）- 2（x + 2）=0 (x+2)(x-1-2)=0x1=-2,x2=318已知关于的二次方程.（1）证明：不论为何值时，方程总有实数根；（2）当为何整数时，方程有两个不相等的非负整数根.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】解：（1）证明：，不论为何值时，.方程总有实数根；（2）解方程，得，方程有两个不相等的非负整数根，整数.19按要求解下列方程：（1）（因式分解法）；（2）（用配方法）.【答案】（1），；（2），.【解析】（1），或.，.（2），.20已知关于x的一元二次方程（m为常数）（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是2，求m的值及方程的另一个根。【答案】(1)见解析；(2) 即m的值为0，方程的另一个根为0.【解析】(1)证明：=(m+2)241m=m2+4，无论m为何值时m20，m2+440，即0，所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根.(2)设方程的另一个根为t，根据题意得2+t= ,2t=m，解得t=0，所以m=0，即m的值为0，方程的另一个根为0.11专题04 21.3实际问题与一元二次方程测试卷一、单选题1一个菱形的边长是方程的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为（）a48b24c24或40d48或80【答案】b【解析】解：，所以，菱形一条对角线长为8，菱形的边长为5，菱形的另一条对角线为，菱形的面积故选：b2为了美化校园环境，加大校园绿化投资某区前年用于绿化的投资为18万元，今年用于绿化的投资为33万元，设这两年用于绿化投资的年平均增长率为x，则（）a18（1+2x）33b18（1+x2）33c18（1+x）233d18（1+x）+18（1+x）233【答案】c【解析】由题意可得，18（1+x）233，故选：c3扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度设花带的宽度为，则可列方程为（）abcd【答案】d【解析】设花带的宽度为，则可列方程为，故选：d4若等腰三角形的三边长均满足方程x27x+100，则此三角形的周长为（）a9b12c9或12d不能确定【答案】b【解析】解：（x2）（x5）0，x20或x50，所以x12，x25，因为2+245，所以等腰三角形的三边长分别为5，5，2，所以等腰三角形的周长为12故选：b5把一根长9m的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m长的钢管有a根，则a的值可能有（）a3种b4种c5种d9种【答案】b【解析】解：设的钢管根，根据题意得：，、均为整数，故选：b6方程的整数解有（ ）a3组b4组c5组d6组【答案】d【解析】解： x是整数解x=-1，y2-4y+4=0，解得y=2；x=0，y2-3y=0，解得y=0或y=3；x=1，y2-2y-2=0，y没有整数解；x=2，y2-y-2=0，解得y=-1或y=2；x=3，y2=0，解得y=0.故选：d.7某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）abcd【答案】c【解析】设这种植物每个支干长出个小分支，依题意，得：，解得： （舍去），故选：c8某学校拟建一间矩形活动室，一面靠墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27m，建成后的活动室面积为75m2，求矩形活动室的长和宽，若设矩形宽为x，根据题意可列方程为( )ax(273x)75bx(3x27)75cx(303x)75dx(3x30)75【答案】c【解析】解：设矩形宽为xm，则矩形的长为(303x)m，根据题意得：x(303x)75故选：c9一水果商某次按一定价格购进一批苹果，销售过程中有20%的苹果正常损耗.则该水果商按一定售价卖完苹果正好不亏不赚，则售价应该在定价基础上加价(本题不考虑税收等其他因素)( )a50%b40%c25%d20%【答案】c【解析】设水果购进的价格为a，售价应该在定价基础上加价为x，根据题意得：a(1+x)(120%)=a，解得：x=0.25=25%，故选c.10某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）abcd【答案】d【解析】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x根据题意列方程得：故选：d11我国古代伟大的数学家刘微将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示若a3，b4，则该三角形的面积为（）a10b12cd【答案】b【解析】解：设小正方形的边长为x，a3，b4，ab3+47，在rtabc中，ac2+bc2ab2，即（3+x）2+（x+4）272，整理得，x2+7x120，而长方形面积为x2+7x+1212+1224该三角形的面积为12，故选：b12如图是某公司今年15月份的收入统计表（有污染，若2月份，3月份的增长率相同，设它们的增长率为x，根据表中信息，可列方程为（）月份12345收入/万元145a（1+x）241b（1+x）24c（1+2x）27d（1+x）（1+2x）4【答案】b【解析】解：设2月份，3月份的增长率为x，依题意有1（1+x）24，即（1+x）24故选：b13一个长30cm，宽20cm的长方形纸板，将四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形后，剩余部分刚好围成一个底面积为200cm2的无盖长方体盒子，根据题意可列方程（ ）a(30x)(20x)200b(302x)(202x)200c30204x2200d30204x2(30+20)x200【答案】b【解析】解：由题意可得，（30-2x）（20-2x）=200，故选：b14宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房.如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当房价定为元时，宾馆当天的利润为10890元.则有( )abcd【答案】c【解析】房价定为元，由题意得，故选c.15某班一物理科代表在老师的培训后学会了某个物理实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个实验；若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为( )ax+(x+1)x36b1+x+(1+x)x36c1+x+x236dx+(x+1)236【答案】b【解析】设1人每次都能教会x名同学，根据题意得：1+x+(x+1)x36故选：b16用总长10m的铝合金材料做一个如图所示的窗框（不计损耗），窗框的上部是等腰直角三角形，下部是两个全等的矩形，窗框的总面积为3m2（材料的厚度忽略不计）若设等腰直角三角形的斜边长为xm，下列方程符合题意的是（）abc=3d=3【答案】d【解析】设等腰直角三角形的斜边长为xm，则等腰直角三角形的直角边长为xm，下部两个全等矩形合成的大矩形的长为xm，宽为，依题意，得：x+（x）23，即=3故选：d二、填空题17一条长64cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形若两个正方形的面积和等于160cm，则两个正方形的边长分别为_【答案】12cm和4cm【解析】设一个正方形的边长为xcm正方形的四边相等此正方形的周长是4xcm,另一个正方形的边长是cm根据题意得x2+2=160解得x1=12；x2=4.当x=12时, =4；当x=4时, =12，所以另一个正方形的边长为4或12.答：两个正方形的边长为12厘米和4厘米，故答案为：12厘米和4厘米.18一个两位数，它的个位数与十位数的和是12，而这两个数的积比这个两位数少16 ，这个两位数是_。【答案】48【解析】设十位数字为x，则个位数字为12xx(12x)=10x+(12x)16解得x1=4,x2=1(不合题意,舍去) 12x=8两位数是410+8=48.故答案为48.19如图，将正方形abcd剪成左图所示的四块，恰好能拼成右图所示的矩形若ec1，则be_【答案】1+52 【解析】设beb，eca，依题意得(a+b)2b(b+a+b)，而a1，b2b10，b152，而b不能为负，beb1+52，故答案为：1+5220一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？若设降价x元，可列方程_【答案】【解析】设衬衫的单价应下降x元，由题意得：（20+2x）（40-x）=1200，故答案为：三、解答题21某农机厂四月份生产某型号农机台，第二季度（包括四、五、六三个月）共生产该型号农机台.求该农机厂五、六月份平均增长率.【答案】五、六月份平均增长率为.【解析】解：设五、六月份平均增长率为.根据题意得，解得，（不符合题意舍去）答：五、六月份平均增长率为.22如图所示，甲、乙两块边长为a米（a1）的正方形田地，甲地修了两条互相垂直的宽为1米的通道，乙地正中间修了边长为1米的蓄水池，甲乙两田地的剩余地方全部种植小麦，一年后收获小麦m千克（m0）（1）甲地的小麦种植面积为 平方米，乙地的小麦种植面积为 平方米；（2）甲乙两地小麦种植面积较小的是 地；（3）若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，求a的值【答案】（1）（a1）2，（a21）；（2）甲；（3）a的值为99【解析】解：（1）甲地的小麦种植面积为：（a1）2（平方米）；乙地的小麦种植面积a212a21（平方米）故答案为：（a1）2，（a21）；（2）（a1）2（a21）a22a+1a2+12a+22（a1），又a1，a10，2（a1）0，（a1）2a21，甲乙两地小麦种植面积较小的是甲地故答案为甲；（3）高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，整理，得a2100a+990，解得a11（舍去），a299，经检验，a99是原方程的根故所求a的值为9923公司年使用自主研发生产的“”系列甲、乙、丙三类芯片共万块，生产了万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多万块这些“”芯片解决了该公司年生产的全部手机所需芯片的（1）求年甲类芯片的产量；（2）公司计划年生产的手机全部使用自主研发的“”系列芯片从年起逐年扩大“”芯片的产量，年、年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比小，丙类芯片的产量每年按相同的数量递增.年到年，丙类芯片三年的总产量达到亿块这样，年的公司的手机产量比年全年的手机产量多，求丙类芯片年的产量及的值【答案】（1）万块；（2）丙类芯片年的产量为万块，【解析】（1）设年甲类芯片的产量为万块，由题意得：，解得：；答：年甲类芯片的产量为万块；（2）年万块丙类芯片的产量为万块，设丙类芯片的产量每年增加的数量为万块，则，解得：，丙类芯片年的产量为万块，年公司手机产量为万部，设，化简得：，解得：，或（舍去），；答：丙类芯片年的产量为万块，24某淘宝网店销售台灯，每个台灯售价为60元，每星期可卖出300个，为了促销，该网店决定降价销售市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30个已知该款台灯每个成本为40元，（1）若每个台灯降x元(),则每星期能卖出 个台灯，每个台灯的利润是 元 （2）在顾客得实惠的前提下，该淘宝网店还想获得6480元的利润，应将每件的售价定为多少元？【答案】（1）(300+30x) ，(20-x) ；（2）定价为52元.【解析】（1）每降价1元，每星期可多卖30个每个台灯降x元(),则可多卖出30x个，每星期能卖出（300+30x）个台灯，降价前每个台灯的利润为：60-40=20元，由于每个台灯降价x元，所以降价后每个台灯的利润为：（20-x）元；（2）设每个台灯降x元，根据题意得，(20-x)(300+30x)=6480,解得x=8,x=2(舍去）定价为52元答：在顾客得实惠的前提下，该淘宝网店还想获得6480元的利润，应将每件的售价定为52元25在rtabc中，b=900，ac=100cm, a=600,点d从点c出发沿ca方向以4cm/s的速度向点a匀速运动，同时点e从点a出发沿ab方向以2cm/s的速度向点b匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点d、e运动的时间是t秒（0t25）过点d作dfbc于点f，连结de、ef。（1）四边形aefd能够成为菱形吗？若能，求相应的t值，若不能，请说明理由。（2）当t为何值时，def为直角三角形？请说明理由。【答案】（1）能，10；（2） 或12,理由见解析.【解析】解：（1）能，在rtabc中，c=90a=30，ab=ac=60=30cm。cd=4t，ae=2t，又在rtcdf中，c=30，df=cd=2t。df=ae。dfab，df=ae，四边形aefd是平行四边形。当ad=ae时，四边形aefd是菱形，即604t=2t，解得：t=10。当t=10时，aefd是菱形。（2）若def为直角三角形，有两种情况：如图1，edf=90，debc，则ad=2ae，即604t=22t，解得：t= 。如图2，def=90，deac，则ae=2ad，即 2t =260-8t，解得：t=12。综上所述，当t= 或12时，def为直角三角形26某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费（1）该小区每月可收取物管费90 000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？（2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次括动为提离大家的积扱性，6月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一经调査与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加，每户物管费将会减少；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加，每户物管费将会减少这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少，求的值【答案】（1）该小区有250套80平方米住宅；（2）的值为50.【解析】（1）解：设该小区有x套80平方米住宅，则50平方米住宅有2x套.由题意得知：解得答：该小区有250套80平方米住宅.（2）参与活动一：50平方米住宅每户所交物管费为100元，有套参与活动一，80平方米住宅每户所交物管费为160元，有套参与活动二，参与活动二：50平方米住宅每户所交物管费为元，有套参与活动一；80平方米住宅每户所交物管费为元，有50套参与活动二；由题意得：令.化简得：.解得：（舍去）， （舍去）答：的值为50.15专题03 21.3实际问题与一元二次方程讲、练一、知识点列一元二次方程解应用题（1）解题步骤：审题； 设未知数； 列一元二次方程；解一元二次方程；检验根是否有意义；作答（2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.平均增长率（降低率）问题：公式：ba(1x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本100%；（期末必考一道大题）传播、比赛问题：面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.二、标准例题：例1：在一幅长，宽的硅藻泥风景画的四周，增添一宽度相同的装饰纹边，制成一幅客厅装饰画，使得硅藻泥风景画的面积是整个客厅装饰画面积的78%.设装饰纹边的宽度为，则可列方程为（ ）abcd【答案】c【解析】解：设装饰纹边的宽度为xcm，则装饰画的长为（2002x）cm、宽为（1602x）cm，根据题意得：（2002x）（1602x）78%200160故选：c总结：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键例2：要在一个长为40m,宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道,剩余的地方种植花草.如图所示,要使种植花草的面积为864m2,那么小道的宽度应是_m.【答案】2【解析】解：设小道的宽为x米，依题意得(40-2x)(26-x)=864，解之得x1=44（舍去）,x2=2.故答案为：2.总结：本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据种植花草的面积为864m2找到正确的等量关系并列出方程.例3：某地2017年为做好“旧械改造工程”。投入资金万元用于拆迁安置，并规划投入资金按相同幅度逐年增加，预计到2019年年底投入资金比2017上基础上增加万元.（1）从2017年到2019年，该地投入拆迁安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2019年拆迁安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于万元用于优先搬迁租房奖励，规定前户（含第户）每户每天奖励元，户以后每户每天奖励5元.按每户租房元计算，求2019年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.【答案】（1）从2015年到2017年，地投入异地安置资金的年平均增长率为；（2）2017年该地至少有户享受到优先搬迁租房奖励.【解析】解：（1）设该地投入拆迁安置资金的年平均增长率为，根据题意得：，解得：，（含去）.答：从2015年到2017年，地投入异地安置资金的年平均增长率为.（2）设2017年该地有户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意得：解得：答：2017年该地至少有户享受到优先搬迁租房奖励例4：随着旅游旺季的到来，某旅行社为吸引市民组团取旅游，推出了如下收费标准：某单位组织员工旅游，共支付给该旅行社费用元，请问该单位这次共有多少员工取旅游？【答案】单位这次共有名员工去旅游【解析】解：设该单位这次共有名员工去旅游旅游的员工人数一定超过人根据题意得整理得，解得当时，不合题意应舍去当时，符合题意答：该单位这次共有名员工去旅游.例5：已知:如图，在中，cm，cm.直线 从点出发，以2 cm/s的速度向点方向运动，并始终与平行，与线段交于点.同时，点从点出发，以1cm/s的速度沿向点运动，设运动时间为(s) () .(1)当为何值时，四边形是矩形?(2)当面积是的面积的5倍时，求出的值;【答案】（1）；（2）。【解析】解：（1）在中， ，当时，四边形pecf是矩形， 解得 （2）由题意 整理得，解得，面积是的面积的5倍。三、练习1某商场将每件进价为20元的玩具以30元的价格出售时，每天可售出300件.经调查当单价每涨l元时，每天少售出10件.若商场想每天获得3750元利润，设每件玩具涨元，可列方程为：.对所列方程中出现的代数式，下列说法错误的是（ ）a表示涨价后玩具的单价b表示涨价后少售出玩具的数量c表示涨价后销售玩具的数量d表示涨价后的每件玩具的单价【答案】d【解析】解：设涨价x元，根据题意可得：a、（30x）表示涨价后玩具的单价，a选项正确；b、10x表示涨价后少售出玩具的数量，b选项正确；c、（30010x）表示涨价后销售玩具的数量，c选项正确；d、（30x20）表示涨价后的每件玩具的利润，故d选项错误，故选：d2某水果种植基地年产量为吨，截止到年底，三年总产量达到吨，求三年中该基地水果产量的年平均增长率.设水果产量的年平均年增长率为，则可列方程为（ ）abcd【答案】c【解析】已设这个百分数为x故选c3要组织一次羽毛球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为( )abcd【答案】b【解析】赛程计划安排天，每天安排场比赛，共66=36场比赛，设比赛组织者应邀请x队参赛，2队之间只有1场比赛，可列方程为：x(x-1)=36.故选b.4如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的矩形abcd上，修建三条同样宽的通道，使其中两条与ab平行，另一条与ad平行，其余部分种花草要使每一块花草的面积都为78m2 ， 那么通道的宽应设计成_m【答案】2【解析】设通道的宽为x，将6块草坪平移为一个长方形，则它的长为(302x)m，宽为(20x)m，根据长方形面积公式列方程得到（302x）（20x）786，解得x2或33，因为通道的宽不能大于长方形的宽，所以x2，通道的宽为2m.故答案是2.5现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递公司今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，该公司每月的投递总件数的平均增长率为_【答案】10%【解析】解：设该公司每月的投递总件数的平均增长率为x， 根据题意得：10（1+x）2=12.1， 解得：x1=0.1=10%，x2=-2.1（不合题意，舍去） 答：该公司每月的投递总件数的平均增长率为10% 故答案为：10%6某中学组织初二学生开展篮球比赛，以班为单位单循环形式（每两班之间赛一场），现计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？设有x个班级参赛，根据题意，可列方程为_【答案】【解析】有x个班级参赛，根据题意，得=15，故答案为：=15.7今年本市蜜桔大丰收，某水果商销售一种蜜桔，成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量（千克）与销售价（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求与之间的函数关系式；（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？【答案】（1）；（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元.【解析】（1）设与之间的函数关系式，把，代入得：，解得：，与之间的函数关系式；（2）根据题意得：，整理得：，解得：，（不合题意，舍去）.答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元.8如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用20m长的篱笆围成一个面积为50m2矩形场地，求矩形的宽bc【答案】5m【解析】解：设矩形的宽bc=xm.则ab=(20-2x)m，根据题意得： x(20-2x)=50，解得：，答：矩形的宽为5m.9某地区年投入教育经费万元，年投入教育经费万元（1）求年至年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计年该地区将投入教育经费多少万元【答案】（1）10%；（2）3327.5万【解析】设增长率为x,根据题意2016年为2500(1+x)万元,2017年为2500(1+x) 万元。则2500(1+x) =3025，解得x=0.1=10%,或x=2.1(不合题意舍去).答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%.(2)3025(1+10%)=3327.5(万元).故根据(1)所得的年平均增长率，预计2018年该地区将投入教育经费3327.5万.10某商场销售一批鞋子,平均每天可售出20双,每双盈利50元.为了扩大销售,增加盈利,商场决定采取降价措施,调查发现,每双鞋子每降价1元,商场平均每天可多售出2双（1）若每双鞋子降价20元,商场平均每天可售出多少双鞋子？（2）若商场每天要盈利1750元,且让顾客尽可能多得实惠,每双鞋子应降价多少元？【答案】（1）60；（2）25【解析】解：（1）20202=60(双)； （2）设每双鞋子应降价a元,得(202a)(50a)=1750.解得, a1=15,a2=25,顾客要尽可能得到实惠,a1=15舍去. 答：每双鞋子应降价25元.11如图,某小区在宽,长的矩形场地上修同样宽的三条人行道(阴影部分),余下的部分种花草.若种植花草的面积为,求道路的宽度.【答案】道路的宽1米【解析】设道路宽为x米，根据题意，得（20-x）（32-x）=589整理得：x2-52x+51=0解得x1=51（不合题意，舍去），x2=1答：道路宽为1米12涡阳某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了迎接“六-一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价元，那么平均可多售出件.(1)若每件童装降价元，每天可售出 件，每件盈利 元(用含的代数式表示)；每件童装降价多少元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利元.【答案】(1)；(2)每件童装降价元时，平均每天盈利元.【解析】(1)若每件童装降价元，每天可售出(30+3x)件，每件盈利(100-60-x)元，故答案为：；由题意得：，化简得：，解得：，要让利顾客，取，答：每件童装降价元时，平均每天盈利元.13某菜市场有2.5平方米和4平方米两种摊位，2.5平方米的摊位数是4平方米摊位数的2倍管理单位每月底按每平方米20元收取当月管理费，该菜市场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额缴纳管理费（1）菜市场毎月可收取管理费4500元，求该菜市场共有多少个4平方米的摊位？（2）为推进环保袋的使用，管理单位在5月份推出活动一：“使用环保袋送礼物”，2.5平方米和4平方米两种摊位的商户分别有40%和20%参加了此项活动为提高大家使用环保袋的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“使用环保袋抵扣管理费”，同时终止活动一经调査与测算，参加活动一的商户会全部参加活动二，参加活动二的商户会显著增加，这样，6月份参加活动二的2.5平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加2a%，毎个摊位的管理费将会减少；6月份参加活动二的4平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加6a%，每个摊位的管理费将会减少这样，参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少，求a的值【答案】（1）该菜市场共有25个4平方米的摊位（2）a的值为50【解析】解：（1）设该菜市场共有x个4平方米的摊位，则有2x个2.5平方米的摊位，依题意，得：，解得：答：该菜市场共有25个4平方米的摊位（2）由（1）可知：5月份参加活动一的2.5平方米摊位的个数为（个），5月份参加活动一的4平方米摊位的个数为（个）依题意，得：，整理，得：，解得：（舍去），14如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等设甬道的宽为x米(1)用含x的式子表示横向甬道的面积；(2)根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用为239万元？【答案】(1)150x；(2)当甬道的宽度为2.5米时，所建花坛的总费用为239万元.【解析】(1)中间横道的面积= (120+180)x=150x，(2)甬道总面积为s=150x+160x2x2=310x2x2，绿化总面积为: = (120+180)80-s=12000s 花坛总费用:y=甬道总费用+绿化总费用=239239=5.7x+(12000s)0.02，239=5.7x0.02s+240，239=5.7x0.02(310x2x2)+240，239=0.04x20.5x+240，0.04x20.5x+1=0，4x250x+100=0，x
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