人人文库网 > 教育资料 > 中学教育 > （讲练测）2019-2020学年九年级数学上册 第二十二章 二次函数（含解析）（打包6套）（新版）新人教版
讲练测2019_2020学年九年级数学上册第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数讲练含解析新版新人教版2020040616.docx
（讲练测）2019-2020学年九年级数学上册 第二十二章 二次函数（含解析）（打包6套）（新版）新人教版
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（讲练测）2019-2020学年九年级数学上册
第二十二章
二次函数（含解析）（打包6套）（新版）新人教版
讲练测
2019
2020
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专题22.1二次函数的图象和性质（测试）一、单选题1抛物线的对称轴是（ ）a直线b直线c直线d直线【答案】c【解析】解：，抛物线顶点坐标为，对称轴为故选：c2将抛物线y=3x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（）abcd【答案】d【解析】抛物线y=3x2+1的顶点坐标为（0，1），将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，则平移后抛物线的顶点为（1，3），则y=-3+3.3如图，二次函数的图象经过点，下列说法正确的是（ ）abcd图象的对称轴是直线【答案】d【解析】由图象可知图象与y轴交点位于y轴正半轴，故c0. a选项错误；函数图象与x轴有两个交点，所以0，b选项错误；观察图象可知x1时y=abc0，所以abc0，c选项错误；根据图象与x轴交点可知，对称轴是（1,0）.（5,0）两点的中垂线，x3即为函数对称轴，d选项正确；故选d4一个二次函数的图象过（，5），（1，1）和（3，5）三个点，则这个二次函数的关系式为（）abcd【答案】b【解析】设二次函数的解析式为，由于图象过(，5)，(1，1)和(3，5)三个点，把它们分别代入解析式得，解得：，所以二次函数的关系式为，故选b5如图，抛物线的对称轴为直线，则下列结论中，错误的是（ ）abcd【答案】c【解析】a、由抛物线的开口向下知，与轴的交点在轴的正半轴上，可得，因此，故本选项正确，不符合题意；b、由抛物线与轴有两个交点，可得，故本选项正确，不符合题意；c、由对称轴为，得，即，故本选项错误，符合题意；d、由对称轴为及抛物线过，可得抛物线与轴的另外一个交点是，所以，故本选项正确，不符合题意故选：c6已知抛物线（为常数，），其对称轴是，与轴的一个交点在，之间.有下列结论：；若此抛物线过和两点，则，其中，正确结论的个数为( )abcd【答案】c【解析】解：抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1，抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和点（-1，0）之间，抛物线与y轴的正半轴相交，正确；抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和点（-1，0）之间，当x=-1时，y=a-b+c0，故错误；，抛物线的对称轴为x=1，与（4，）关于对称轴对称，抛物线开口向下，当x时，y随x的增大而减小，故正确，故选：c7将抛物线y=2x2经过怎样的平移可得到抛物线y=2(x+3)2+4（）a先向左平移3个单位，再向上平移4个单位b先向左平移3个单位，再向下平移4个单位c先向右平移3个单位，再向上平移4个单位d先向右平移3个单位，再向下平移4个单位【答案】a【解析】抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=2（x+3）2+4的顶点坐标为（-3，4），点（0，0）需要先向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点（-3，4）抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到抛物线y=2（x+3）2+4故选a8二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（）abcd【答案】d【解析】解：由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，排除；当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除；故选：9如图，为等边三角形，点从a出发，沿作匀速运动，则线段的长度y与运动时间x之间的函数关系大致是（ ）abcd【答案】b【解析】根据题意得，点从点运动到点时以及从点运动到点时是一条线段，故选项c与选项d不合题意； 点从点运动到点时，是的二次函数，并且有最小值， 选项b符合题意，选项a不合题意 故选：b10已知点在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ）abcd【答案】d【解析】点与点关于轴对称；由于的图象关于原点对称，因此选项错误；由可知，在对称轴的右侧，随的增大而减小，对于二次函数只有时，在对称轴的右侧，随的增大而减小，选项正确故选11下列函数中，y总随x的增大而减小的是( )ay4xby4xcyx4dyx2【答案】b【解析】y4x中y随x的增大而增大，故选项a不符题意，y4x中y随x的增大而减小，故选项b符合题意，yx4中y随x的增大而增大，故选项c不符题意，yx2中，当x0时，y随x的增大而增大，当x0时，y随x的增大而减小，故选项d不符合题意，故选b12已知抛物线经过和两点，则n的值为（）a2b4c2d4【答案】b【解析】解：抛物线经过和两点，可知函数的对称轴，；，将点代入函数解析式，可得；故选：b13已知抛物线，顶点为d，将c沿水平方向向右（或向左）平移m个单位，得到抛物线，顶点为，c与相交于点q，若，则m等于（ ）abc2或d4或【答案】a【解析】抛物线沿水平方向向右（或向左）平移m个单位得到，q点的横坐标为：，代入求得，若，则是等腰直角三角形，由勾股定理得，解得，故选：a14如图，抛物线与轴相交于、两点，点在点左侧，顶点在折线m-p-n上移动，它们的坐标分别为、.若在抛物线移动过程中，点横坐标的最小值为-3，则的最小值是（ ）a-15b-12c-4d-2【答案】a【解析】解：由题意得：当顶点在m处，点a横坐标为-3，则抛物线的表达式为：y=a（x+1）2+4，将点a坐标（-3，0）代入上式得：0=a（-3+1）2+4，解得：a=-1，顶点在n处，抛物线的表达式为：y=-（x-3）2+1，当顶点在n处时，y=a-b+c取得最小值，当x=-1时，y=a-b+c=-（-1-3）2+1=-15，故选：a15在平面直角坐标系内，已知点a（1，0），点b（1，1）都在直线上，若抛物线yax2x+1（a0）与线段ab有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）aa2bac1a或a2d2a【答案】c【解析】抛物线yax2x+1（a0）与线段ab有两个不同的交点，令ax2x+1，则2ax23x+1098a0a当a0时，解得：a2a2当a0时，解得：a11a综上所述：1a或a2故选：c二、填空题16若一条抛物线与的形状相同且开口向上，顶点坐标为（0，2），则这条抛物线的解析式为_【答案】【解析】根据题意设抛物线解析式为，把(0，2)代入得：b=2，则抛物线解析式为，故答案为：.17若二次函数y=ax2-bx+5(a0)的图象与x轴交于(1,0)，则b-a+2014的值是_.【答案】2019【解析】解：根据题意，将（1，0）代入得：a-b+5=0，则a-b=-5，b-a+2014=-（a-b）+2014=5+2014=2019，故答案为：201918如图，抛物线与x轴相交于两点，与轴相交于点，点在抛物线上，且与轴相交于点，过点的直线平行于轴，与拋物线相交于两点，则线段的长为_【答案】【解析】解：由图可知，当时，解得：，点的坐标为；当时，点的坐标为(0，2)；当时，解得：，点的坐标为设直线的解析式为，将，代入，得：，解得：，直线的解析式为当时，点的坐标为当时，解得：，点的坐标为，点的坐标为，故答案为：三、解答题19关于x的二次函数的图象与x轴交于点和点，与y轴交于点（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的对称轴和顶点坐标.【答案】（1）（2）对称轴：直线；顶点坐标为.【解析】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将c（0，3）代入得：3=-3a，解得a=-1，抛物线的解析式为y=-x2+2x+3（2）y=-x2+2x+3=-对称轴：直线；顶点坐标为.20在平面直角坐标系xoy中，已知点a（0，2），b（2，2），抛物线f：yx22mx+m22（1）求抛物线f的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）当抛物线f与线段ab有公共点时，直接写出m的取值范围【答案】（1）f的顶点坐标（m，2）；（2）2m0，2m4.【解析】（1）由函数解析式yx22mx+m22，根据函数的对称轴公式可得其对称轴为x= m，则x= m代入函数可得y-2，故得到顶点坐标为（m，2）；（2）当m0时，抛物线f与线段ab有公共点时，令x0，则m222，2m2，2m0；当0m2时，抛物线f与线段ab有公共点时，m222或m24m+22，m2或m2或m4或m0，m不存在；当m2时，抛物线f与线段ab有公共点时，令x2，则m24m+22，0m4，2m4；综上所述：2m0，2m4；21已知：二次函数(a为常数)(1)请写出该二次函数图象的三条性质；(2)在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个交点，求的取值范围【答案】(1)见解析；(2)【解析】(1)图象开口向上；图象的对称轴为直线；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，函数有最小值；(2)二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点，即，解得，二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个交点，二次函数的图象与轴的部分有两个交点，画出二次函数的图象，结合图象，可知当时，当时，得，当二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个交点时，的取值范围为22如图，抛物线yx2x+4与x轴交于a，b两点(a在b的左侧)，与y轴交于点c(1)求点a，点b的坐标；(2)求abc的面积；(3)p为第二象限抛物线上的一个动点，求acp面积的最大值【答案】(1)a(4，0)，b(2，0)；(2)sabc12；(3)当x2时，acp最大面积4【解析】解：(1)设y0，则0x2x+4x14，x22a(4，0)，b(2，0)(2)令x0，可得y4c(0，4)ab6，co4sabc6412(3)如图：作pdao交ac于d设ac解析式ykx+b解得：ac解析式yx+4设p(t， t2t+4)则d(t，t+4)pd(t2t+4)(t+4)t22t(t+2)2+2sacppd4(t+2)2+4当x2时，acp最大面积423如图，已知抛物线的顶点为，与轴相交于点，对称轴为直线，点是线段的中点.（1）求抛物线的表达式；（2）写出点的坐标并求直线的表达式；（3）设动点，分别在抛物线和对称轴l上，当以，为顶点的四边形是平行四边形时，求，两点的坐标.【答案】（1）；（2），；（3）点、的坐标分别为或、或【解析】解：（1）函数表达式为：，将点坐标代入上式并解得：，故抛物线的表达式为：；（2）、，则点，设直线的表达式为：，将点坐标代入上式得：，解得：，故直线的表达式为：；（3）设点、点，当是平行四边形的一条边时，点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到，同样点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到，即：，解得：，故点、的坐标分别为、；当是平行四边形的对角线时，由中点定理得：，解得：，故点、的坐标分别为、；故点、的坐标分别为或、或24如图，已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于点a，b，ab2，与y轴交于点c，对称轴为直线x2（1）求抛物线的函数表达式；（2）设d为抛物线的顶点，连接da、db，试判断abd的形状，并说明理由；（3）设p为对称轴上一动点，要使pcpb的值最大，求出p点的坐标【答案】（1）抛物线的函数表达式为yx24x+3；（2）adb是等腰直角三角形；理由见解析；（3）p（2，3）【解析】（1）如图，ab2，对称轴为直线x2点a的坐标是（1，0），点b的坐标是（3，0）抛物线yx2+bx+c与x轴交于点a，b，1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c0的两根由韦达定理，1+3b，13c，b4，c3，抛物线的函数表达式为yx24x+3；（2）yx24x+3（x2）21，d（2，1），ad2+bd2（21）2+（1）2+（23）2+（1）24，ab2224，ad2+bd2ab2，adb是直角三角形，由对称性有adbd，adb是等腰直角三角形；（3）连接ca，延长ca与直线x2交于点p，连接bp，如图2，a、b两点关于直线x2对称，pbpa，pcpbpcpaac其值最大（另取一点p，有pcpbpcpaac），令x0，得yx24x+33，c（0，3），a（1，0），易求直线ac的解析式为：y3x+3，当x2时，y3x+33，p（2，3）25已知，点为二次函数图象的顶点，直线分别交轴正半轴，轴于点.（1）如图1，若二次函数图象也经过点，试求出该二次函数解析式，并求出的值.（2）如图2，点坐标为，点在内，若点，都在二次函数图象上，试比较与的大小.【答案】（1）,；（2）当时，；当时，；当时，【解析】（1）如图1，直线与轴交于点为，点坐标为又在抛物线上，解得二次函数的表达式为当时，得，代入得，（2）如图2，根据题意，抛物线的顶点为，即点始终在直线上，直线与直线交于点，与轴交于点，而直线表达式为解方程组，得点，点在内，当点关于抛物线对称轴（直线）对称时，且二次函数图象的开口向下，顶点在直线上综上：当时，；当时，；当时，.19专题22.1二次函数的图象和性质（讲练）一、知识点知识点1：二次函数的概念及解析式 1.二次函数的定义yax2bxc (a，b，c是常数，a0)的函数，叫做二次函数.知识点2：二次函数的图像和性质 2.解析式（1）三种解析式：一般式：y=ax2+bx+c;顶点式：y=a(x-h)2+k(a0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）; 交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）.*若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.3.二次函数的图象和性质图象开口向上向下对称轴 x 顶点坐标增减性当x时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小.当x时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大.最值x=，y最小.x=，y最大.3.系数a、b、c的作用a决定抛物线的开口方向及开口大小当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向下.a、 b决定对称轴（x=-b/2a）的位置当a，b同号，-b/2a0，对称轴在y轴左边；当b0时， -b/2a=0，对称轴为y轴；当a，b异号，-b/2a0，对称轴在y轴右边c决定抛物线与y轴的交点的位置当c0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c0时，抛物线经过原点；当c0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.b24ac决定抛物线与x轴的交点个数b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点;b24ac0时，抛物线与x轴有1个交点;b24ac0时，抛物线与x轴没有交点知识点3：二次函数的平移 4.平移与解析式的关系注意：上加下减，左加右减（注：与平移区分）二、标准例题：例1：已知二次函数，下列说法正确的是（ ）a开口向上，顶点坐标b开口向下，顶点坐标c开口向上，顶点坐标d开口向下，顶点坐标 【答案】a【解析】解：，其中a=20，抛物线的开口向上，顶点坐标（3,1）.故选a.总结：抛物线的开口方向由a的正负确定，a0时开口向上，a0时开口向下，顶点坐标是（h，k），据此判断即可.例2：已知，与为二次函数图象上的三点，则的大小关系是（ ）abcd【答案】b【解析】解法1：将，与代入，得，；解法2：抛物线的对称轴为，在，与三点中，离对称轴最近，次之为，最远的是，又因为抛物线开口向下，所以.故选b.总结：本题考查了二次函数的图象和性质，此类题的解题思路是先确定抛物线开口方向，再确定抛物线的对称轴，最后结合抛物线的增减性进行判断.例3：课堂上，老师给出一道题：如图，将抛物线c：yx26x+5在x轴下方的图象沿x轴翻折，翻折后得到的图象与抛物线c在x轴上方的图象记为g，已知直线l：yx+m与图象g有两个公共点，求m的取值范围甲同学的结果是5m1，乙同学的结果是m下列说法正确的是（）a甲的结果正确b乙的结果正确c甲、乙的结果合在一起才正确d甲、乙的结果合在一起也不正确【答案】d【解析】解：令yx26x+50，解得（1，0），（5，0）将点（1，0），（5，0）分别代入直线yx+m，得m1，5；5m1由题可知，图象g中的顶点为（3，4）代入直线yx+m，得m1，m1综上所述，m1或5m1故选：d总结：本题主要考查抛物线与直线的交点问题，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.例4：如图，抛物线y=x2x+4与x轴交于a，b两点（a在b的左侧），与y轴交于点c（1）求点a，点b的坐标；（2）p为第二象限抛物线上的一个动点，求acp面积的最大值【答案】(1) a（4，0），b（2，0）；(2)acp最大面积是4.【解析】(1)解：设y=0，则0=x2x+4x1=4，x2=2a（4，0），b（2，0）(2)作pdao交ac于d设ac解析式y=kx+b解得：ac解析式为y=x+4.设p（t，t2t+4）则d（t，t+4）pd=（t2t+4）（t+4）=t22t=（t+2）2+2sacp=pd4=（t+2）2+4当t=2时，acp最大面积4.总结：本题是二次函数的综合题，重在基础知识的考查，其中第（2）题是一个常见的二次函数模型，解决此类题的思路（以本题为例）是作pdao交ac于d，acp的面积可以表示成pdoa，其中oa是定值，p、d两点有相同的横坐标，所以pd的长可用它们的横坐标的关系式来表示，这样acp的面积就表示成了p点横坐标的二次函数，再用二次函数求最值的方法求解即可.三、练习1. 将二次函数y=2x2+8x7化为y=a（x+m）2+n的形式，正确的是（）ay=2（x+4）27by=2（x+2）27cy=2（x+2）211dy=2（x+2）215【答案】d【解析】= = =.故选d.2.已知二次函数y=（xh）2（h为常数），当自变量x的值满足2x5时，与其对应的函数值y的最大值为1，则h的值为（）a1或6b3或6c1或3d4或6【答案】a【解析】解：对于二次函数y=（xh）2（h为常数），其开口向下，顶点为（h，0），函数的最大值为0，因为当x满足2x5时，与其对应的函数值y的最大值为1，故h不能取25（含2与5）之间的数，故h2或h5.当h2，2x5时，因为抛物线开口向下，所以y随x的增大而减小，所以当x=2时，y有最大值，此时，解得（舍去）；当h5，2x5时，因为抛物线开口向下，所以y随x的增大而增大，所以当x=5时，y有最大值，此时，解得（舍去）；综上可知：h= 1或6.故选a.3将抛物线y=3x2+1向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线为（）ay=3（x+1）22by=3（x+1）2+2cy=3（x3）2+1dy=3（x3）21【答案】a【解析】解：抛物线y=3x2+1向左平移1个单位，可得y=3（x+1）2+1，再向下平移3个单位得到y=3（x+1）2+13，即y=3（x+1）22.故选a.4抛物线y=x2+3x2与y=ax2的形状相同，而开口方向相反，则a=（）ab3c3d【答案】d【解析】解：抛物线y=x2+3x2与y=ax2的形状相同，.开口方向相反，两个函数的二次项系数互为相反数，即.故选d.5顶点为，且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是（ ）abcd【答案】b【解析】解：顶点是，可设顶点式，又形状与的图象相同，故选6如图抛物线交轴于和点，交轴负半轴于点，且.有下列结论：；.其中，正确结论的个数是（ ）abcd【答案】c【解析】解：根据图象可知a0，c0，b0，, 故错误；.b（-c，0）抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于a（-2，0）和b（-c，0）两点， ， ac2-bc+c=0 ，ac-b+1=0，故正确；，b=ac+1,2b-c=2，故正确；故选：c7抛物线（）的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是，下列结论是：；方程有两个不相等的实数根；若点在该抛物线上，则，其中正确的个数有（ ）a1个b2个c3个d4个【答案】d【解析】如图，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是，实验求出二次函数与x轴的另一个交点为（-2,0）故可补全图像如下，由图可知a0，c0，对称轴x=1,故b0，错误，对称轴x=1,故x=-,，正确；如图，作y=2图像，与函数有两个交点，方程有两个不相等的实数根，正确；x=-2时，y=0,即，正确；抛物线的对称轴为x=1,故点在该抛物线上，则，正确；故选d8如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，则下列说法错误的是（ ）abc当时，d当时，随的增大而减小【答案】d【解析】令y=0，得x1=-1,x2=3,a（-1,0），b（3,0）ab=4，a正确；令x=0，得y=-3，c（0，-3）oc=bo, ,b正确；由图像可知当时，故c正确，故选d.9如图，在平面直角坐标系中条直线为,直线交轴于点,交轴于点,直线交轴于点,过点作轴的平行线交于点,点关于轴对称,抛物线过三点，下列判断中:;抛物线关于直线对称;抛物线过点;四边形,其中正确的个数有（ ）abcd【答案】c【解析】解：由题意得，a（1,0），b（0,3），d（3,0），c（2,3）e（-1,0）又抛物线过三点将三点坐标代入，得结论正确；解得抛物线解析式为，结论错误；抛物线的对称轴为，结论正确；点即为（2,3），抛物线过此点，结论正确；，结论错误.故正确的个数是3，选c.10如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：ab0；方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3；a+b+c0；当x1时，y随x值的增大而增大；当y0时，x-1或x3其中，正确的说法有（）abcd【答案】b【解析】解：根据图象可知：对称轴0，故ab0，正确；方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3，正确；x=1时，y=a+b+c0，错误；当x1时，y随x值的增大而减小，错误；当y0时，x-1或x3，正确正确的有故选：b11某抛物线的顶点坐标为（1，-2），且经过（2，1），则抛物线的解析式为（）ay=3x2-6x-5by=3x2-6x+1cy=3x2+6x+1dy=3x2+6x+5【答案】b【解析】解: 抛物线的顶点坐标为（1，-2），且经过（2，1），设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-2，把（2，1）代入得：1=a（2-1）2-2，解得：a=3，y=3（x-1）2-2=3x2-6x+1，故选：b12已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（）ay=-6x2+3x+4by=-2x2+3x-4cy=x2+2x-4dy=2x2+3x-4【答案】d【解析】解：设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c，把（-1，-5），（0，-4），（1，1）分别代入，得：解得所求的函数的解析式为y=2x2+3x-4故选：d13二次函数（）的图象如图所示，对称轴为，给出下列结论：； 当时，；，其中正确的结论有_【答案】【解析】解：二次函数的图象开口向上，a0，二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，c0，二次函数图象的对称轴是直线x=1，2a+b=0，b0.；故正确；由二次函数的图象可知，抛物线与x轴的右交点的横坐标应大于2小于3，当x2时，y有小于0的情况，故错误；当x=1时，y0，0，把代入得：，故正确；前面已得2a+b=0，又a0，故正确；故答案为：.14.抛物线与轴的公共点是，则这条抛物线的对称轴是_【答案】【解析】解：根据抛物线的对称性可得：的中心坐标为（1，0）因此可得抛物线的对称轴为故答案为15如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点a（6，0），b（1，0），与y轴交于点c（1）求抛物线的解析式；（2）若点m为该抛物线对称轴上一点，当cm+bm最小时，求点m的坐标.（3）抛物线上是否存在点p，使acp为直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点p的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）y=x2+5x+6；（2）点m（）；（3）点p的坐标为（2，8）或（4，10）或（2+2，4+2）或（22，42）【解析】（1）当x=0时，y=ax2+bx+6=6，则c（0，6），设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x6），把c（0，6）代入得a1（6）=6，解得a=1，抛物线的解析式为y=（x+1）（x6），即y=x2+5x+6；（2）抛物线的对称轴是直线x=，直线ac的解析式为y=-x+6，点b关于对称轴直线x=的对称点为点a，连接ac，交直线x=于点m，此时点m满足cm+bm最小，当x=时，y=，点m（）（3）设p点坐标为（x，x2+5x+6），存在4个点p，使acp为直角三角形pc2=x2+（x2+5x）2，pa2=（x6）2+（x2+5x+6）2，ac2=62+62=72，当pac=90，pa2+ac2=pc2，（x6）2+（x2+5x+6）2+72=x2+（x2+5x）2，整理得x24x12=0，解得x1=6（舍去），x2=2，此时p点坐标为（2，8）；当pca=90，pc2+ac2=pa2，72+x2+（x2+5x）2=（x6）2+（x2+5x+6）2，整理得x24x=0，解得x1=0（舍去），x2=4，此时p点坐标为（4，10）；当apc=90，pa2+ac2=pc2，（x6）2+（x2+5x+6）2+x2+（x2+5x）2=72，整理得x310x2+20x+24=0，x310x2+24x4x+24=0，x（x210x+24）4（x6）=0，x（x4）（x6）4（x6）=0，（x6）（x24x4）=0，而x60，所以x24x4=0，解得x1=2+2，x2=22，此时p点坐标为（2+2，4+2）或（22，42）；综上所述，符合条件的点p的坐标为（2，8）或（4，10）或（2+2，4+2）或（22，42）16已知抛物线（，且为常数）（）求证：抛物线与轴有两个公共点（）若抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴交点为，直接写出直线与抛物线对称轴的交点的坐标【答案】(1)证明见解析 （2）【解析】解：（），又且为常数，抛物线与轴有两个公共点（）与轴的一个交点为，把代入中有，另一个交点是，与轴交点，设直线为：，代入，后，又抛物线的对称轴是，点17已知二次函数（）用配方法将化成的形式（）当时，的最小值是_，最大值是_（）当时，直线写出的取值范围【答案】（）y=；（）最小值是，最大值是；（）【解析】（）（）函数的图象开口向上，对称轴为，顶点坐标为，当时，当时，当时，的最小值是，最大值是（）y=0时, =0，解得x=2或4，当y0时，x的取值范围是2x4.18如图，已知二次函数的图象顶点在轴上，且，与一次函数的图象交于轴上一点和另一交点.求抛物线的解析式；点为线段上一点，过点作轴，垂足为，交抛物线于点，请求出线段的最大值.【答案】(1) ；（2）线段的最大值为.【解析】解：，二次函数与一次函数的图象交于轴上一点，点为，点为.二次函数的图象顶点在轴上.设二次函数解析式为.把点代入得，.抛物线的解析式为，即.设点坐标为，点坐标为.当时，即，解得.点为线段上一点, .当时，线段的最大值为.19如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点o，与x轴交于点a(5，0)，第一象限的点c(m，4)在抛物线上，y轴上有一点b(0，10).(i).求抛物线的解析式及它的对称轴；()点在线段ob上，点q在线段bc上，若，且,求n的值；()在抛物线的对称轴上，是否存在点m，使以a，b，m为顶点的三角形是等腰三形？若存在，求出点m的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】()；对称轴为直线；()；()点m的坐标为，【解析】（）抛物线经过原点o，抛物线解析式为抛物线与x轴交于点(5，0)，解得抛物线解析式为，抛物线的对称轴为直线 （）点c在抛物线上，解得(舍)，点c坐标为(8，4)过c作轴，垂足为e，连接ab在中，同理，可求得， 在和中，解得（）抛物线的对称轴为，设点m的坐标为当，为顶角时，解得当，为顶角时，解得 当，为顶角时，解得此时点为ab的中点，与点a，b不构成三角形 综上可得，点m的坐标为，21专题22.2二次函数与一元二次方程（测试）一、单选题1抛物线与坐标轴的交点个数为（ ）a0b1c2d3【答案】c【解析】当时，则抛物线与轴的交点坐标为，当时，解得，抛物线与轴的交点坐标为，所以抛物线与坐标轴有2个交点故选c2已知抛物线yax2bxc（a0）的对称轴为x1，与x轴的一个交点为(2，0)若关于x的一元二次方程ax2bxcp（p0）有整数根，则p的值有（ ）a2个b3个c4个d5个【答案】b【解析】解：抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为x=-1，=-1，解得b=2a又抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴的一个交点为（2，0）把（2，0）代入y=ax2+bx+c得，0=4a+4a+c，解得，c=-8ay=ax2+2ax-8a（a0），对称轴h=-1，最大值k=-9a如图所示，顶点坐标为（-1，-9a），令ax2+2ax-8a=0，即x+2x-8=0，解得x=-4或x=2，当a0时，抛物线始终与x轴交于（-4，0）与（2，0）ax2+bx+c=p即常函数直线y=p，由p0，0y-9a，由图象得当0y-9a时，-4x2，其中x为整数时，x=-3，-2，-1，0，1，一元二次方程ax2+bx+c=p（p0）的整数解有5个又x=-3与x=1，x=-2与x=0关于直线x=-1轴对称，当x=-1时，直线y=p恰好过抛物线顶点所以p值可以有3个故选：b3已知二次函数（为常数），当自变量的值满足时，其对应对的函数值的最大值为，则的值为（ ）a或b或c或d或【答案】b【解析】当即时，有，解得：（舍去）；当即时，函数有最大值为，不符合题意；当，即时，有，解得：（舍去）.综上所诉：的值为或，故选b.4如图，在二次函数yax2+bx+c(a0)的图象中，小明同学观察得出了下面几条信息：b24ac0；abc0；b24a(c1)；关于x的一元二次方程ax2+bx+c3无实数根，共中信息错误的个数为( )a4b3c2d1【答案】c【解析】解：根据图象可知：0，b24ac0，故正确；由图象可知：a0，c0，由对称轴可知：0，b0，abc0，故错误；由图象可知：10，2ab0，当x1时，y0，a+b+c0，故错误；由图象可知：当x时，y1，1，4acb24a，b24a(c1)，故正确；由于二次函数yax2+bx+c(a0)的最大值为1，关于x的一元二次方程ax2+bx+c3无实数根，故正确；故选：c5用“描点法”画二次函数yax2+bx+c（a0）的图象时，列了如下表格：x01234y34305根据表格上的信息回答问题：一元二次方程ax2+bx+c50的解为（）ax11，x24bx11，x23cx13，x24dx12，x24【答案】d【解析】解：由题意可知点（0，3），（1，4），（2，3）在二次函数yax2+bx+c的图象上，则 ，解得： ，所以一元二次方程ax2+bx+c50可化为：x22x350，解得：x12，x24，故选：d6已知函数yax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c40的根的情况是a有两个相等的实数根b有两个异号的实数根c有两个不相等的实数根d没有实数根【答案】a【解析】函数的顶点的纵坐标为4，直线y4与抛物线只有一个交点，方程ax2+bx+c40有两个相等的实数根，故选a7若抛物线yx26x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是（）am9bm9cm9dm9【答案】a【解析】解：抛物线yx26x+m与x轴没有交点，b24ac0，（6）241m0，解得m9，m的取值范围是m9故选：a8如图是二次函数yax2+bx+c的部分图象，由图象可知，满足不等式ax2+bx+c0的x的取值范围是（）a1x5bx5cx1且x5dx1或x5【答案】a【解析】由图可知，二次函数图象为直线x2，所以，函数图象与x轴的另一交点为（1，0），所以，ax2+bx+c0时x的取值范围是1x5故选：a9二次函数yx26x+m满足以下条件：当2x1时，它的图象位于x轴的下方；当8x9时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（）a27b9c7d16【答案】d【解析】解：抛物线的对称轴为直线x-621=3，x2和x8时，函数值相等，当2x1时，它的图象位于x轴的下方；当8x9时，它的图象位于x轴的上方，抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），（8，0），把（2，0）代入yx26xm得412m0，解得m16故选：d10已知二次函数yx23x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x23x+m0的两实数根是()ax11，x21bx11，x23cx11，x22dx11，x23【答案】c【解析】解：二次函数的解析式是y=x2-3x+m（m为常数），该抛物线的对称轴是：x=又二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0），关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根分别是：x1=1，x2=2故选：c11若二次函数y=-x2+bx+c与x轴有两个交点（m，0），（m-6，0）,该函数图像向下平移n个单位长度时与x轴有且只有一个交点，则n的值是（ ）a3b6c9d36【答案】c【解析】设抛物线解析式为y=-（x-m）（x-m+6），y=-x2-2（m-3）x+（m-3）2-9=-x-（m-3）2+9，抛物线的顶点坐标为（m-3，9），该函数图象向下平移9个单位长度时顶点落在x轴上，即抛物线与x轴有且只有一个交点，即n=9故选c12如图，将抛物线图像中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，得到一个新图像（实线部分），则新图像与直线的交点个数有（ ）a4个b3个c2个d1个【答案】b【解析】解：如图，抛物线=(x-1)2+7，故顶点为(1，7)将抛物线y=-x2+x+6图象中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，新图象的顶点坐标为(1，-7)，直线y=-7经过新图象的顶点并另有两个交点，故新图象与直线y=-7的交点个数是3个，故选：b13若二次函数的图像与轴有两个交点，且,则的取值范围是（）abcd【答案】b【解析】由已知得：a0且=（a+2）2-16a20解得：a，且a0，x11x2，（x1-1）（x2-1）0，x1x2-（x1+x2）+10，4+10，解得：a0，综合以上可得，a0故选：b14如图，已知二次函数yax2+bx+c的图象经过点（0，3），（x1，0），其中，2x13，对称轴为x1，则下列结论：2ab0； x（ax+b）a+b；方程ax2+bx+c30的两根为x10，x22；3a1其中正确的是（）abcd【答案】d【解析】抛物线的对称轴为直线x1，b2a，即2a+b0，所以错误；x1时，y的值最大，ax2+bx+ca+b+c，即x（ax+b）a+b，所以正确；点（0，3）关于直线x1的对称点的坐标为（2，3），即x0或x2时，ax2+bx+c3，方程ax2+bx+c30的两根为x10，x22，所以正确；2x13，当x3时，y0，即9a+3b+c0，而c3，b2a，9a6a+30，解得a1，所以错误故选：d15定义：在平面直角坐标系中，若点a满足横、纵坐标都为整数，则把点a叫做“整点”如：b（3，0）、c（1，3）都是“整点”抛物线yax22ax+a+2（a0）与x轴交于点m，n两点，若该抛物线在m、n之间的部分与线段mn所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（）a1a0b2a1c1ad2a0【答案】b【解析】解：抛物线yax22ax+a+2（a0）化为顶点式为ya（x1）2+2，故函数的对称轴：x1，m和n两点关于x1对称，根据题意，抛物线在m、n之间的部分与线段mn所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是（0，0），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），如图所示：当x0时，ya+20a+21当x1时，y4a+20即：，解得2a1故选：b16某学习小组在研究函数yx32x的图象与性质时，列表、描点画出了图象结合图象，可以“看出”x32x2实数根的个数为（）a1b2c3d4【答案】c【解析】由图象可得直线y=2与yx32x有三个交点，所以x32x=2实数根的个数为3故选c二、填空题17当时，直线与抛物线有交点，则a的取值范围是_【答案】【解析】解:法一：与抛物线有交点则有，整理得解得 ，对称轴法二：由题意可知，抛物线的 顶点为，而抛物线y的取值为，则直线y与x轴平行，要使直线与抛物线有交点，抛物线y的取值为，即为a的取值范围，故答案为：18如图，是二次函数yx2+bx+c的部分图象，则不等式x2+bx+c0的解集是_【答案】1x9【解析】解：对称轴x=4，抛物线与x轴的交点（9，0），另一个与x轴交点的坐标（-1，0），二次函数y=-x2+2x+c的图象与x轴交点坐标为（-1，0）、（9，0），而-x2+bx+c0，即y0，-1x9故答案为：-1x919若二次函数的对称轴为直线，则关于的方程的解为_.【答案】，【解析】解：二次函数的对称轴为直线 因此方程为所以可得 故答案为，.20二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax2+bx+k-1=0没有实数根，则k的取值范围为_【答案】k-1【解析】把关于x的一元二次方程ax2+bx+k-1=0没有实数根看作为抛物线y=ax2+bx与直线y=-k+1没有交点， 而当-k+12时，直线y=-k+1与抛物线y=ax2+bx没有交点， 所以当k-1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+k-1=0没有实数根 故答案为k-1三、解答题21抛物线y=x2+2x+m与x轴
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