12.3 角的平分线的性质

11.3角平分线的性质与判定,什么叫角平分线？,2.画AOB平分线OC，在OC上任取一点P，过P向角的两边作垂线段PD、PE，你能得出什么结论？,思考题,P,C,命题：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,题设：一个点在一个角的平分线上,结论：它到角的两边的距离相等,已知：OC是AOB的平分线，点P在OC上，PDOA于D，PEOB于E，求证：PD=PE.,证明文字命题的一般步骤：1.明确命题中的题设（已知）和结论（求证）；2.根据题意画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3.经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。,1=2PDOA，PEOBPD=PE.,角平分线的性质定理,角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,用符号语言表示为：,交换定理的题设和结论得到的命题为：,C,角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。,已知：PDOA于D，PEOB于E，PD=PE.求证：点P在AOB的平分线上。,角平分线的判定定理,P,用符号语言表示为：,PD=PEPDOA，PEOB1=2.,1,2,练一练,填空：(1).1=2，DCAC，DEAB_(_)(2).DCAC，DEAB，DC=DE_(_),1=2,DC=DE,角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,例1已知：如图，在ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DEAB于E，DFAC于F，求证：EB=FC。,例2如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB于E，DFAC于F，且BECF。求证：AD是ABC的角平分线。,例3如图，ABC中，C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB于E，F在AC上，BD=DF，求证：CF=EB。,例4如图，已知：BDAM于点D，CEAN于点E，BD、CE交点F，CF=BF，求证：点F在A的平分线上.,例5如图，ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。,点P在ABC的角平分线BM上,PEBC，PDAB,(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,同理，PE=PF.,PDPE=PF.,即点P到三边AB、BC、CA的距离相等,证明：过点P作PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F,PD=PE,P,练习：如图，ABC的B的外角的平分线BD与C的外角的平分线CE相交于点P求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等,A,B,C,D,E,F,G,H,M,N,例6如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F，求证：点F在BAC的平分线上,证明：,过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于M,G,H,M,点F在BCE的平分线上，FGAE，FMBC,FGFM,同理可证,FMFH,FGFH,点F在DAE的平分线上,又FGAE，FHAD,利用结论，解决问题,练一练1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建?,想一想,在确定度假村的位置时，一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?,拓展与延伸,2、直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有()A.一处B.两处C.三处D.四处,分析:由于没有限制在何处选址，故要求的地址共有四处。,D,课堂小结,1.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,