-导数的概念--经济数学--赵树嫄.ppt

27.05.2020,1,第二章导数与微分,微积分学的创始人:,德国数学家Leibniz,导数,描述函数变化快慢,描述函数变化程度,都是描述物质运动的工具,(从微观上研究函数),英国数学家Newton,27.05.2020,2,一、问题的提出,六、小结与思考判断题,二、导数的定义,三、由定义求导数举例,四、导数的意义,五、可导与连续的关系,第二章,第一节导数的基本概念,27.05.2020,3,一、问题的提出,1、直线运动的速度问题,如图,取极限得,瞬时速度,27.05.2020,4,2、切线问题,切线：割线的极限,播放,M,N,T,割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,27.05.2020,5,27.05.2020,6,两个问题的共性:,瞬时速度,切线斜率,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.,类似问题还有:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是速度增量与时间增量之比的极限,是转角增量与时间增量之比的极限,是质量增量与长度增量之比的极限,是电量增量与时间增量之比的极限,变化率问题,27.05.2020,7,二、导数的定义,定义1.设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,即,则称函数,若,的某邻域内有定义,27.05.2020,8,运动质点的位置函数,在时刻的瞬时速度,曲线,在M点处的切线斜率,若上述极限不存在,在点不可导.,若,也称,在,就说函数,的导数为无穷大.,27.05.2020,9,右导数,3、单侧导数,左导数,判断函数在某一点可导的充分必要条件：,注意：,27.05.2020,10,例,解,27.05.2020,11,若函数在开区间I内每点都可导,记作:,注意:,就称函数在I内可导.,4、导函数,27.05.2020,12,三、由定义求导数举例,步骤:,例1.,解,27.05.2020,13,例2.,解,更一般地,例如,27.05.2020,14,例3.求函数,的导数.,解:,则,即,类似可证得,27.05.2020,15,例4.,解,27.05.2020,16,例5.,解,27.05.2020,17,四、导数的意义,1、几何意义,切线方程为,法线方程为,若,切线与x轴垂直.,27.05.2020,18,27.05.2020,19,例6.,解,由导数几何意义,切线斜率为,切线方程：,法线方程：,27.05.2020,20,2、简单的物理意义,1）变速直线运动中路程对时间的导数为物体的瞬时速度.,2）交流电路中电量对时间的导数为电流强度.,3）非均匀物体中质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.,27.05.2020,21,五、可导与连续的关系,结论：可导的函数一定是连续的。,证,27.05.2020,22,解,注意:反之不成立.即连续不一定可导。如,27.05.2020,23,内容小结,1.导数的实质:,3.导数的几何意义:,4.可导必连续,但连续不一定可导;,5.已学求导公式:,6.判断可导性,不连续,一定不可导.,直接用导数定义;,看左右导数是否存在且相等.,2.,增量比的极限;,切线的斜率;,27.05.2020,24,1、初等函数在其定义区间内必可导？,2、初等函数的导数仍是初等函数？,思考与练习,作业P852,5,6,9,13,14(2),16,18,27.05.2020,25,4.设,存在,则,5.已知,则,6.若,时,恒有,问,是否在,可导?,解:,由题设,由夹逼准则,故,在,可导,且,27.05.2020,26,7.设,问a取何值时,在,都存在,并求出,解:,故,时,此时,在,都存在,显然该函数在x=0连续.,27.05.2020,27,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,27.05.2020,28,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,27.05.2020,29,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,27.05.2020,30,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,27.05.2020,31,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,27.05.2020,32,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,27.05.2020,33,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,27.05.2020,34,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,27.05.2020,35,2.切