高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1 向量知识在椭圆中的渗透三问题分析素材 北师大版选修2-1（通用）_第1页
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向量知识在椭圆中的渗透三问题分析向量知识与圆锥曲线问题的交汇问题越来越成为高考的热点问题之一。在平时的学习中就应当注意并积累这一热点问题的各种题型的解法。椭圆方程是圆锥曲线中的第一种重要曲线方程，从学习椭圆开始就应当把向量知识与椭圆相交汇问题纳入椭圆学习的一个重要组成部分。1以向量为依托的线段的定比分点在椭圆中的渗透【例1】已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，焦距为4，离心率为，（）求椭圆方程；（）设椭圆在y轴正半轴上的焦点为M，又点A和点B在椭圆上，且M分有向线段所成的比为2，求线段AB所在直线的方程。解：（）设椭圆方程为 由2c=4得c=2 又故a=3， 所求的椭圆方程为（）若k 不存在，则，若k 存在，则设直线AB的方程为：y=kx+2又设A由 得 点M坐标为M（0，2） 由代入、得 由、 得 线段AB所在直线的方程为：。解题回顾：有向线段所成的比，线段的定比分点等概念，本身就是解析几何研究的一类重要问题。向量概念的引入，使这类问题的解决显得简洁而流畅。求解这类问题可以用定比分点公式，也可以直接用有向线段的比解题。另外，向量的长度，点的平移等与解析几何都有着千丝万缕的联系，向量与解析几何的结合，为解决这些问题开辟了新的解题途径。2共线向量与椭圆问题的交汇【例2】已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，向量与是共线向量。（1）求椭圆的离心率e；（2）设Q是椭圆上任意一点， 、分别是左、右焦点，求 的取值范围；解：（1），。是共线向量，b=c,故。（2）设当且仅当时，cos=0，。解题回顾：由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题。3向量数量积在椭圆中的渗透【例3】一条斜率为1的直线与离心率为的椭圆C：（）交于P、Q，两点，直线与Y轴交于点R，且，求直线和椭圆C的方程。解： 椭圆离心率为，所以椭圆方程为，设方程为：，由消去得（1） （2） 所以而所以 所以（3）又， 从而（4） 由（1）（2）（4）得（5）由（3）（5）解得， 适合，所以所求直线方程为：或；椭圆C的方程为解题回顾：向量数量积的坐标表示，构建起向量与解析几何的密切关系，使向量与解析
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