高中数学 第三章 导数应用 3.2 函数的单调性与极值 生活中的最优化问题素材 北师大版选修2-2（通用）

3.2 生活中的最优化问题导数是探讨数学乃至自然科学的重要的、最有效的工具，它也给出了我们生活中很多问题的答案。诸如用料最省、容量最大、亮度最强等，本文将介绍用导数求解生活中几个常见问题，供参考。1、最大亮度问题例1、如图，设电灯可沿铅垂线移动，问灯与水平面的距离多大时，才能使水平面上的点处获得最大亮度？（根据物理学知识可知：亮度与成正比，与距离的平方成反比，即，其中为正常数）解析：由得，那么，令，得，时，；时，；所以，当时有最大值，即处获得最大亮度。点评：亮度问题是我们日常生活中最常遇到的，也是最有感受的。如何使亮度最大？本题先结合题目中的条件，得到亮度关于距离的函数关系，再用导数产生结论。2、最经济的车速例2. 货车欲以x千米小时的速度行驶，去130千米远的某地，按交通法规，限制 x的允许范围是50x100.假使汽油的价格为2元升，而汽油消耗的速度是升小时，司机的工资是14元小时，试问最经济的车速是多少？这次行车的总费用最低是多少？解: 汽车运行的时间为小时，耗油量为升，耗油费用为2元，司机的工资为14元，故这次行车的总费用为y=2+14=.所以.令y=0，得50x100内的唯一解为x=57千米小时.所以最经济的车速为57千米小时，最低费用为82.2元.点评：此题也可直接使用基本不等式即x=求解，求出的x正好在定义域范围内.3、物理中的问题例3、已知电源电压为，内阻为，求负载电阻多大时，输出功率最大？解析：由电学知识知道，消耗在负载电阻上的功率为是回路中的电流而，于是又，令得时，；时， ；所以，当时，输出功率最大；点评：这是我们刚刚学过的电学知识，借助于导数可以轻松的求出输出功率的最大值。它告诉我们导数的应用是不分学科的。4、最大流量问题例4、用宽为，长为的三块木板，做成一个断面为梯形的水槽（如图），问斜角多大时？槽的流量最大？最大流量是多少？解析：槽的流量与槽的横截面面积有关，横截面面积越大槽的流量就越大，因此，求槽的流量最大，其实就是求横截面面积的最大值。设横截面面积为则，由于因此又，令即，得或，由于，得，那么，此时时，；时，；所以，当时，横截面的面积最大；此时，槽的流量最大；点评：流量最大、横梁的强度最大等都是与横截面的面积有关，而面积又往往与三角联系在一起，根据题目条件找出各量之间的关系是求解此类问题的关键。5、最大利润问题例5. 某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品的零售价定为p元，则销售量Q（单位：件）与零售价p（单位：元）有如下关系问该商品零售价定为多少元时，毛利润最大，并求出最大毛利润（毛利润销售收入进货支出）解：设毛利润为，由题意知，所以令，解得或（舍去）此时，因为在附近的左侧右侧所以是极大值，根据实际问题的意义知，是最大值，即零售定为每件30元时，最大毛利润为23000元点评：在解决与实际问题有关的最值问题时，应先将实际问题转化为求函数的最值问题，并且要特别注意自变量的取值范围通过以上几例我们可总结得出，解最优化问题，建立数学模型是关键，求导法则是基础，只要掌握了以上两点，这类问题也就迎刃而解了在利用导数求解生活中的常见问题时，基本步骤都是：读题（认真分析