高中数学 第三章 推理与证明 3.3 综合法与分析法 3.3.1 综合法知识导航素材 北师大版选修1-2（通用）

3.1 综合法自主整理1.从命题的条件出发,利用_、_、_及_,通过_,一步步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明,这种思维方法称为_.高手笔记1.综合法的思考过程为“由因导果”的顺序，是从条件逐步推演到结论.2.对于命题“若P则Q”的综合法证明可用框图表示为：名师解惑综合法的解释剖析:综合法是从已知条件出发,经过推理,导出所要的结论,步骤比较简洁明了,但入手点比较难找.一般地,对于命题“若A则D”,用综合法证明时,思考过程可表示为综合法的思考过程是由因导果的顺序,是从A推演到D的途径,但由A推演出的中间结论未必唯一,如B,B1,B2等.由B,B1,B2推演出的进一步的中间结论则可能更多,如C,C1,C2,C3,C4等,最终能有一个(或多个)可推演出结论D即可.在综合法中,每个推理都必须是正确的,每个论断都应当是前面一个论断的必然结果.因此所用语气必须是肯定的.讲练互动【例1】设数列an的前n项和为Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(其中m为常数,nN+),且m-3.(1)求证:an为等比数列;(2)若数列an的公比q=f(m),数列bn满足b1=a1,bn=f(bn-1)(nN+,n2),求证:为等差数列.分析：本题要证数列为等差、等比数列,所以需按定义研究an+1与an的关系,而已知为Sn,需将Sn化为an,它们之间的关系为an=S1,Sn-Sn-1, n=1,n2.证明：(1)由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,(3+m)an+1=2man(m-3).an为等比数列.(2)由已知q=f(m)=,b1=a1=1,当n2时,bn=f(bn-1)=.bnbn-1+3bn=3bn-1.是首项为1、公差为的等差数列.绿色通道证明数列为等差、等比数列需紧扣定义,找到an+1与an之间的关系,由已知前n项和Sn,求出an=由已知条件逐步变形得到,从而得证.变式训练1.已知f(x)=,Pn(an,)在曲线y=f(x)上(nN+)且a1=1,an0.(1)求an的通项公式.(2)数列bn的前n项和为Tn,且满足+16n2-8n-3.设定b1的值,使得数列bn是等差数列.解:(1)由已知Pn在曲线y=f(x)上,=.=4.是等差数列,=1+4(n-1)=4n-3.an0,an=.(2)=+16n2-8n-3=+(4n-3)(4n+1),即(4n-3)Tn+1=(4n+1)Tn+(4n-3)(4n+1),=+1.为等差数列,首项为=b1,=b1+(n-1)=n+(b1-1).Tn=(4n-3)n+(b1-1)=4n2+(4b1-7)n-3(b1-1).要使bn为等差数列,需使b1-1=0,b1=1.当b1=1时,Tn=4n2-3n,bn=8n-7.bn为等差数列.【例2】如图所示,SA平面ABC,ABBC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F.求证:AFSC.分析：本题所要证的是线线垂直,可通过线面垂直来判定,而已知条件为线线垂直、线面垂直,通常我们需要将线面垂直转化为线线垂直,再由线线垂直转化为线面垂直,从而得证.证明：SA面ABC,SABC.ABBC,BC面SAB.AE面SAB,BCAE.AESB,AE面SBC.AESC.又EFSC,SC面AEF.SCAF.绿色通道从已知条件及已有定理入手,直接推证,线线垂直与线面垂直相互转化来加以证明.变式训练2.如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,PA底面ABCD.求证:PCBD.证明:PA面ABCD,PC为平面ABCD的斜线,PC在面ABCD内的射影为AC,连结BD,四边形ABCD为正方形,ACBD.PCBD.【例3】若a、b、cR+,求证:abc.分析：不等式的形式对称,分子出现平方和,可利用重要不等式,用综合法证明.证明：a2b2+b2c22ab2c,b2c2+c2a22abc2,c2a2+a2b22a2bc,a2b2+b2c2+c2a2ab2c+abc2+a2bc,即a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c).a、b、cR+,a+b+c0.abc.绿色通道不等式中出现平方和,而其他出现乘积结构,可从重要不等式入手用综合法证明.变式训练3.已知a+b+c=0,求证:ab+bc+ca0.证明:a+b+c=0,(a+b+c)2=0,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0.ab+bc+ac=0.【例4】已知ABC中,AB=c,BC=a,AC=b.AB边上的中线CD=m,求证:a2+b2=c2+2m2.分析：从已知条件这些长度中可放入到两个三角形中研究,这两个三角形有一对角是互补关系,可利用三边与这一角的关系即余弦定理解答.证明：设ADC=,则BDC=-.cosBDC=cos(-)=-cos=-cosADC,即.+2m2=a2+b2成立.绿色通道有关三角形的边长问题常与正、余弦定理联系.变式训练4.在ABC中,三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c,且A、B、C成等差数列,a、b、c成等比数列,求证:ABC为等边三角形.证明:因为A、B、C为ABC的内角,所以A+B+C=.因为A、B、C成等差数列,所以2B=A+C.由,得B=.由