高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3 全称量词与存在量词 对量词命题的否定的分类解析与疑点诠释素材 北师大版选修2-1（通用）

对量词命题的否定的分类解析与疑点诠释一.知识梳理1.全称命题、存在性命题的否定一般地，全称命题P： xM,有P（x）成立；其否定命题P为：$xM,使P（x）不成立。存在性命题P：$xM，使P（x）成立；其否定命题P为： xM,有P（x）不成立。用符号语言表示：P:M, p(x）否定为 P: $M, P（x）P:$M, p(x）否定为 P: M, P（x）在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.2.关键量词的否定词语是一定是都是大于小于且词语的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于或词语必有一个至少有n个至多有一个所有x成立所有x不成立词语的否定一个也没有至多有n-1个至少有两个存在一个x不成立存在有一个成立二. 命题的否定形式的分类解析与疑点诠释1. 全称命题的否定例1.写出下列全称命题的否定：（1）p：xR，x2x+10；（2） 任何实数x都是方程5x-12=0的根。（3） 对任意实数x，存在实数y，使x+y0.（4） 有些质数是奇数。（5）$ xR，x2x+10；解：（1）的否定：xR，x2x+10；（2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。（3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y0。（4）的否定：所有的质数都不是奇数。（5）的否定：xR，x2x+10.说明:解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x3，则x29”。在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式.2. “若P则q” 的形式的否定例2.写出下列命题的否定。（1） 若x24 则x2.。（2） 若m0,则x2+x-m=0有实数根。（3） 可以被5整除的整数，末位是0。（4） 被8整除的数能被4整除。（5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。 解（1）否定：存在实数，虽然满足4，但2。或者说：存在小于或等于2的数，满足4。（完整表达为对任意的实数x, 若x24 则x2）（2）否定：虽然实数m0,但存在一个，使+ -m=0无实数根。（原意表达：对任意实数m,若m0,则x2+x-m=0有实数根。）（3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。（4）否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)（5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。）3. 命题的否定与否命题的区别与释疑例3.写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。（1）p：若xy,则5x5y；（2）p：若x2+x2,则x2-x2；（3）p：正方形的四条边相等；（4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b0有非空实解集，则a2-4b0。解：（1） P：若 xy，则5x5y； 假命题否命题：若xy，则5x5y；真命题（2） P：若x2+x2，则x2-x2；真命题否命题：若x2+x2，则x2-x2）；假命题。（3） P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题。否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题。（4） P：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b0有非空实解集，但使a2-4b0。假命题。否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b0没有非空实解集，则a2-4b0。真命题。说明：命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由：1 任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。2命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假