高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.1 从平面向量到空间向量 盘点空间向量素材 北师大版选修2-1（通用）

盘点空间向量一、空间向量的概念及其运算 1空间向量的相关概念（1）空间向量：在空间内，把既有大小又有方向的量叫做空间向量空间向量的表示：用有向线段来表示空间向量（2）相等向量（或同一向量）：凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示同一向量或相等向量（3）共线向量（或平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量（或平行向量），如果向量a与b平行，记作ab（4）共面向量：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量说明：共线向量（或平行向量）是指向量的基线互相平行或重合，并且方向可能同向，也可能反向 2空间向量的加法、减法和数乘运算（1）空间向量的加法、减法和数乘运算对于空间的任意两个非零向量a，b都可以通过平移，转化为平面向量，因此可将平面向量的线性运算法则，推广到空间来定义空间向量的加法、减法和数乘的运算，空间向量的加法满足三角形法则和平行四边形法则，在空间向量的求和中要特别注意“封口向量”即表示相加向量的有向线段依次首尾相接，则构成从首到尾的向量的和（2）空间向量的加法和数乘运算满足的运算律加法交换律；加法结合律；分配律几个结论：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量二、空间向量相关定理1共线向量定理对空间任意两个向量a，b（），b与a共线的充要条件是存在实数，使说明：（1）在此定理中必须要有这个条件，因为0与任意一个非零向量共线（2）在中，对于确定的和a， 表示空间与a平行（或共线）且长度为的所有向量（3）利用共线向量定理可以证明两条直线平行或三点共线问题（4）对于空间任意两个向量a，b（），共线向量定理可分解为以下两个命题：存在唯一的实数x使；存在唯一的实数x使两个命题中是共线向量的性质定理，是空间向量共线的判定定理，如要用此结论判定a，b的基线平行，还需证明a（或b）上有一点不在b（或a）上2共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，共面的充要条件是存在有序实数组（x，y），使得说明：（1）共面向量定理说明任意一个平面可以由两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又是已知共面条件的另一种形式，可以借此将已知共面条件化为向量式，以便进行向量运算；（2）三个向量共面是指它们所在的基线平行于同一平面或在同一平面内，并不是指它们的基线一定在同一平面内，利用此定理可以证明四点共面、点线共面、线面平行等3空间向量基本定理如果三个向量不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组，使这时不共面的三个向量叫做空间的一个基底，叫做基向量特别地，如果空间的一个基底的三个基向量是两两互相垂直的单位向量，那么这个基底叫做单位正交基底，通常用表示说明：（1）三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，同时由于与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个不共面的向量就隐含着他们都是非零向量（2）基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，两者是相关的不同的概念（3）三个不共面的已知向量组可以线性表示出空间的任意一个向量，而且表示的结果是唯一的三、空间向量的坐标表示及其运算1空间向量的直角坐标在空间直角坐标系中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i， j，k作为基向量，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使有序实数组叫做向量a在空间直角坐标系中的坐标，记作2空间向量坐标运算的法则设，则，3空间向量平行的坐标表示设空间的两个向量，说明：一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标四、空间向量的数量积1两个向量的夹角已知a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点，作，则叫做向量a与向量b的夹角记作a，b，并且规定说明：（1）两个向量的夹角是指从同一点出发的两个向量所构成的最小的非负角（2）对于向量的夹角的表示应注意：（3）如果，那么向量a与b同向；如果，那么向量a与b反向，如果，那么称a与b互相垂直，并记作；因此当或时，2两个向量的数量积（1）定义：设a，b是空间两个非零向量，我们把数量叫做向量a与b的数量积记作说明：由于空间两个向量a与b都是共面的，因此空间两个向量a与b数量积的意义与平面上两个向量a与b数量积的意义实际上是一样的，也都是实数，并且有当时，；当，时，；当时，；当时，；当时，（2）空间向量的数量积满足的运算律（交换律）；（分配律）说明：对于三个不为零的实数a，b，c，若，则；而对于向量，若，却推不出（即向量中的消去律不成立）对于三个不为零的实数a，b，c，等式成立，而