高中数学 第二讲 讲明不等式的基本方法 2.1 比较法二综合法与分析法教材梳理素材 新人教A版选修4-5（通用）

2.1 比较法二综合法与分析法庖丁巧解牛知识巧学一、作差比较法证明不等式1.应用范围:当欲证不等式的两端是多项式、分式或对数式时，常用此法.2.方法：欲证AB,只需A-B0.3 .步骤:作差变形判断符号.4.使用此法作差后主要是变形形式的处理：（1）将差变形为常数或变形为一个平方或几个平方和的形式,常用配方法或实数特征a20判断差的符号;（2）将差变形为几个因式的积的形式,先判断各因式的符号，进而判断差的符号，常用因式分解法.学法一得变形的主要目的是有利于判断式子的符号,而变形方法不限定,也就是说,关键是变形的目标,如将差变形为(a-b)(a3-b3)也能判断它是非负的,尽管它不是平方和的形式,也不是因式分解的结果.若变形后得到二次三项式,常用判别式判定符号.记忆要诀作差变形判断符号.二、作商比较法证明不等式1.应用范围:当要证的式子其两端是乘积的形式或幂、指数时常用此法.2.方法：要证AB,常分以下三种情况:若B0,只需证明1;若B=0,只需证明A0;若B0,只需证明v0)，则船在流水中，在甲、乙两地来回行驶一次的时间为t=,而.-u=0,0,原不等式成立.方法二用求商法证：=1,原不等式成立.方法归纳比较法是证明不等式的最基本方法，其关键是差式或商式的变形，结果往往是完全平方数、常数或完全平方数与常数的和.有时是几个因式的积，在具体题目中可以选择适当的方法去做.例4 已知a0且a1，P=loga(1+a3)，Q=loga(1+a2)，试比较P、Q的大小.思路分析：设y=f(x)=logax，所以P=f(a3+1)，Q=f(a2+1).于是我们可以先比较真数a3+1、a2+1的大小，并利用函数y=f(x)=logax的单调性比较P、Q的大小.解：a3+1-(a2+1)=a2(a-1).（1）a1时,a2(a-1)0,a3+1a2+10,f(x)单调递增，PQ.（2）a=1时,a3+1=a2+1,P=Q.（3）0a1时,a2(a-1)0,0a3+1Q.综上PQ（当且仅当a=1时取等号）.巧解提示这里比较P、Q的大小我们分成两个层次进行，先比真数，后比对数.本题若直接求差P-Q=loga，这样去解较繁，也就是说，解题时不要那么呆板，对于复杂的问题，我们有时可以把它分解成几个简单的问题来解决.知识点三：综合法证明不等式例5 已知ABC的外接圆半径R=1,SABC=，a、b、c是三角形的三边长.令S=,t=，求证：tS.思路分析：三角形问题涉及公式较多,注意挖掘每一个条件,综合应用.本题涉及到综合法在应用题中的应用.证明：SABC=absinC=ab,又R=1,SABC=,abc=1.S=t.St,且t=S的条件是：a=b=c=1,此时SABC=,与已知矛盾，tS.巧解提示利用综合法由因索果证明不等式，就要找出条件与结论之间的内在联系，分析已知与求证，不等式两端的差异与联系，去异存同，找到证明的突破口.知识点四：分析法证明不等式例6 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.思路分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为L，则周长为L的圆的半径为，截面积为()2；周长为L的正方形边长为，截面积为()2.所以本题只需证明()2()2，即只需证明4，显然成立.所以原结论成立.证明：设截面的周长为L，则截面是圆的水管的截面面积为()2，截面是正方形的水管的截面面积为()2.只需证明()2()2.为了证明上式成立，只需证明.两边同乘以正数，得.因此，只需证明4.上式显然成立，所以()2()2.这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大.学法一得（1）分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法.综合法是“由因导果”.(2)分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真，这只需要证明命题B1为真，从而有这只需要证明命题B2为真，从而又有这只需要证明命题A为真.而已知A为真，故B必真.问题探究思维发散探究问题 在数学中，不等式千变万化，选择哪一种证明方法好呢？一方面根据学识水平，另一方面还应多做练习打好基础.那么下面这个题目用哪种证明方法好呢？已知a0，b0，且a+b=1.求证：(a+)(b+).探究过程:首先分析题目条件，发现不同证法.证法一：（比较法不很明显，采取分析综合法达到证明目的）欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+40，即证4(ab)2-33(ab)+80，即证ab或ab8.a0，b0，a+b=1，ab8不可能成立.1=a+b，ab，从而得证.证法二:(均值代换法)设a=+t1，b=+t2.a+b=1，a0，b0，t1+t2=0，|t1|，|t2|.(a+)(b+)=显然当且仅当t=0，即a=b=时，等号成立.证法三:(比较法）a+b=1，a0，b0，a+b，ab.(a+)(b+)-=0.(a+)(b+).证法四:(综合法)a+b=1，a0，b0，a+b，ab.(a+)(b+).证法五：(三角代换法）a0,b0,a+b=1,故令a=sin2,b=cos2,(0,).(a+)(b+)=(sin2+)(cos2+)=sin221,4-sin224-1=3.即得(a+)(b+).探究结论:比较法、综合法和分析法是最基本的证明方法，除此之外还可根据具体题意设计其他证明方法，但是掌握比较法、综合法、分析法是必需的.误区陷阱探究问题 某位同学用分析法证明下题：已知：0ab，求证：0，所以b+10，去分母，化为a(b+1)b(a+1)，就是ab.由已知ab成立，所以求证的不等式成立.探究过程:证明过程错误.错误的原因是：虽然是从结论出发，但不是逐步逆寻结论成立的充分条件，事实上找到明显成立的不等式是结论的必要条件，所以不符合分析法的逻辑原理，犯了逻辑上的错误.事实上：（1）用分析法证明不等式的逻辑关系是：BB1B2BrA（步步寻找不等式成立的充分条件）,分析法是“执果索因”，它与综合法的证明过程（由因导果）恰恰相反.（2）用分析法