高二数学不等式证明一人教版知识精讲

高二数学高二数学不等式证明一不等式证明一人教版人教版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 不等式证明一 二. 重点、难点： 1. 比较法： （1）差比法：baba0 通常对于多项式采用作差变形（因式分解，完全平方）判断符号。 （2）商比法：0, 0ba时，ba b a 1 通常对于指数式采用。 2. 综合法： 利用不等式的性质和已知不等式。 由已知逐步推导出结论。 3. 分析法： 从结论出发寻找能使结论成立的条件，进而将证明的目标转化，使它离已知条 件越来越近。 4. 综合分析法： 有些不等式的证明需一边分析，一边综合，称之为分析综合法，分析法的 优点是利于思考，因为它方向明确，思路自然易于掌握，综合法的优点宜于表 述，条理清晰，形成简洁。 【典型例题】 例 1 a、b、c 为ABC的三边，求证： )(2 222 cabcabcbacabcab。 证明：中左)222222( 2 1 222 cabcabcba 0)()()( 2 1 222 accbba 右中)()()( 222 cacbcbbcabaacab )()()(cabcbcabacba 三角形两边之和大于第三边 右中0 例 2 已知 a、b、), 0(c，*Nn， 3 lg)( nnn cba nf ，求证 )(2)2(nfnf。 证： 3 lg)2( 222nnn cba nf 2 ) 3 lg()(2 nnn cba nf xylg是递增函数 2 222 ) 3 ( 3 nnnnnn cbacba 9 2 222nnnnnnnnn accbbacba 0)()()( 9 1 222 nnnnnn accbba 例 3 a、b、), 0(c，1cba，求证： 3 1 222 cba 证： 2222 )(1)(3cbacba 2222 )()(3cbacba 0)()()( 222222 222 222 accbba cabcabcba 例 4 ), 0(ba、，Nn且1n，试比较 nn ba 与 11 nn baba的大小 关系。 解：)()( 11 nnnn bababa )()( 11 abbbaa nn )( 11 nn baba * （1）当ba 时 11 nn ba 0 （2）当ba 时 0 （3）当ba 时 11 nn ba 0 综上所述 11 nnnn bababa 例 5 ), 0(ba、，求证1)( ba b a 。 证： （1）ba 时 1 b a 0ba x b a y)( 1)()( 0 b a b a ba （2）ba 时 1)( ba b a （3）ba 时 10 b a 0ba x b a y)( 1)()( 0 b a b a ba 综上所述1)( ba b a 例 6 ) 1, 0(), 1 () 1, 0(xa，求证| )1 (log| )1 (log|xx aa 。 证：)1 (log| )1 (log| | )1 (log| | )1 (log| )1()1( xx x x xx a a 1)1 (log 1 1 log 1 1 log )1( 2 )1()1( x x x x xxx 不等式成立 例 7 ), 0(cba、，求证)(cba c ab b ac a bc 。 证： 左=)()()( 2 1 c ab b ac c ab a bc b ac a bc 222 2 1 222 abccba 例 8 ), 0(yx、且1 yx，证：9) 1 1)( 1 1 ( yx 。 证：)1)(1 () 1 1)( 1 1 ( y yx x yx yx )(25)2)(2( y x x y y x x y 9225 例 9 2,nNn，求证1) 1(log) 1(lognn nn 。 证：左 2 2 2 ) 2 ) 1(log ( 2 ) 1(log) 1(log nnn nnn 1) 2 log ( 2 2 n n 即：5log4log3log 432 例 10 ), 0(cba、且1cba，求证3cba。 证：3cba3)( 2 cba 即：2222acbcab baab2 cbbc2 caac2 即2)()()(222cacbbaacbcab 原命题成立 例 11 已知0 ba，求证：bbaa11。 证：bbaa11 bbaa 1 1 1 1 bbaa11 * ba 11ba，ba *式成立 命题成立 例 12 ), 0(ba、且1ba，求证： 4 25 ) 1 )( 1 ( b b a a。 证： 4 25 ) 1 )( 1 ( b b a a abba 4 25 ) 1)(1( 22 abbaba254)(44 2222 ababbaba2542)(44 222 0)8)(14( 08334 22 abab abba abba21 ab 4 1 014ab 08 ab *成立命题成立 【模拟试题】 1. a、b 为正数，下列各不等式不正确的是（ ） A. 2 b a a b B. ba b a a b 22 C. bab a a b11 22 D. abba 211 22 2. 已知1, 0baab，下列四个中最大一个为（ ） A. 1B. b 2 log C. 1loglog 22 baD. )(log 22 2 ba 3. 已知0ba，求证： bab a a b11 22 。 4. ), 0(cba、且1cba，求证：8) 1 1 )(1 1 )(1 1 ( cba 。 5. 已知bacba2), 0(、，求证：abccaabcc 22 。 试题答案 1. C 2. B 3. 证：左右 bab a a b11 22 22 2233 ba abbaba 0