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文档简介
2.2 焕然一新的切线如图1，曲线是函数的图象，是曲线上的点，点沿着曲线逐渐向点接近时，割线将绕着点逐渐转动时，割线将绕着点逐渐转动当点沿着曲线无限接近点时，如果割线有一个极限位置，那么直线叫做曲线在点处的切线在这里，切线的定义有以下“焕然一新”的特点：第一，从定义的描述中可以看出切线的基本特征：曲线的切线是割线的极限位置（图1）此时，割线的极限位置存在，则有切线；割线的极限位置不存在，则无切线即使是直线都可以探讨它的切线如图2，在函数中，当时，与定义中的割线对应的直线是，割线的极限位置也是直线，所以函数在处有切线第二，导数的几何意义反应了曲线在某点处切线的斜率函数在某点处的导数存在，则函数图象在该点处切线的斜率存在，故切线一定存在函数在某点处的导数不存在，则函数图象在该点的切线的斜率不存在，故切线一定不存在在图2中，函数在点处，当时，有极限1，当时，有极限，它的左导数与右导数不相等，所以当时，无极限，函数在点处无导数，即其函数的图象在点处无切线第三，曲线的切线与曲线的公共点的个数可能不是唯一的，公共点的个数可随曲线及曲线上切点的位置的改变而不同如在曲线上点处的切线方程是，切线与曲线还有一个公共点，坐标是在图3中，曲线在点处的切线方程是：，它与曲线的公共点有两个以上，当的取值无限趋近或时，曲线的切线与曲线的公共点逐渐增多，可达到无限多个第四，定义中曲线的切线与曲线只有一个公共点时，曲线上的其余各点可以分布在切线的两侧如图4，曲线在处的切线方程为，它把曲线分为两部分当曲线的切线与曲线不只一个公共点时，曲线更会分布在切线的两侧，如图3中过点的切线第五，对于曲线的切线而言，过曲线上的某些点可以作两条或两条以上曲线的切线；过曲线外的点更可能作两条或两条以上曲线的切线例如：（1）过曲线上的点的切线方程是（2）已知曲线及点，则过点可向引切线的条数为条分析：（1）令切点为，则过点的切线斜率，故过点的切线方程为，点在切线上，有，或所求切线方程为及可以看出过曲线上的点的切线有两条（2）采用与（1）类似的求法可知过点可向曲线引3条切线在图3中，过曲线上的点可作无数条曲线的切线过曲线外的点也可作无数条曲线的切线通过以上分析可以看出，这里的切线
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