高中数学 第一章 推理与证明 1.3 反证法 插入闸板法巧解组合应用题素材 北师大版选修2-2（通用）_第1页
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文档简介

1.3 插入闸板法巧解组合应用题有些组合应用问题，通过插入闸板的方法可以把问题转化下面介绍几例例1 将组成篮球队的12个名额分给7所学校，每所学校至少有1个名额，问名额分配方法有多少种？解：将问题转化成把排成一行的12个“0”分成7份的方法数 ，这样用6块闸板插在11个间隔中，共有C= 462 种不同方法0，| 0，0 | 0，0，0 | 0，0 | 0，0 | 0 | 0所以名额分配总数是C= 462 种例2 6人带10瓶汽水参加春游，每人至少带1瓶汽水，有多少种不同的带法？解：将问题转化成10个相同的球放到6个不同的盒子里，每个盒子里至少放1个球，有多少种不同的方法？即把排成一行的10个“0”分成6份的方法数 ，这样用5块闸板插在9个间隔中，共有C= 126 种不同方法即原问题中有126种不同带法评析：对于例1和例2 这样的“至少一个”的组合问题，分类讨论十分麻烦，通过构造闸板模型，就可以将问题转化为插入法问题例3 10颗糖果分配给3个小朋友，每个小朋友至少得到一颗糖果，问分法有多少种？解：对于一个分配方式，设第个小朋友分到y颗糖果(=1，2，3)，则y1，yN*，且yyy= 10，将此问题转化为：10个相同的“O”分成3份的方法数，这样，在10个小球之间9个空中任意插入3块闸板，则yyy= 10正整数解的个数为C= 36故糖果的分配方式有36种评析：因为有些问题表面上看并不是插入法组合问题，需要先转化为适合闸板模型(y1，yN*，且yyy= 10)很重要，这是用闸板法解题的关键一步例4 从一楼到二楼的楼梯17级，上楼时可以一步走一级，也可以一步走两级，若要求11步走完这楼梯，则有多少种不同的走法？解：由题意可知这11步中，其中6步一步走两级，5步一步走一级，因此，要确定一种走法，只须确定这11步中，哪6步走两级即可，这样，可以看成在11个空中任意插入6块闸板，故不同的走法数为C= 462A例5 如图从56方格中的顶点A到顶点B的最短路线有多少条？B解：从A到B的最短路线均需走11步(一步即为一个单位)即横向走6步，纵向走5步，因此，要确定一种方法，只须确定这11步中哪6步是横向走即可，也就是可以看成在11个空中任意插入6块闸板问题故不同的走法为C= 462种例6 如果中日围棋擂台赛中，各方都出6名队员，按事先安排好的顺序出场，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方队员全被淘汰，另一方获得胜利为止，形成一种比赛过程问：其中中方获胜的所有可能出现的比赛过程有多少种？解：易见中方只须取得6场的胜利即可，且最多只须安排11场比赛，依次记为1，2，3，11，故要确定比赛过程，只须确定这11场比赛中哪6场是中方获胜即可因此可能出现的不同比赛过程的种数可以看成在11个空中任意插入6块闸板问题也就是从1，2，3，11，个元素中取出6个元素的组合数C= 462种评析：解例4、例5和例6类的问题，分析结构再转化为闸板问
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