高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 导数概念及其运算教材解读素材 新人教A版选修2-2（通用）

导数概念及其运算教材解读课标要求1 了解函数平均变化率的概念；掌握函数平均变化率的求法；2了解瞬时速度、瞬时变化率(导数)的定义，并掌握其求法；3了解导数的几何意义；4掌握几个常用导数的求法，掌握基本初等函数的导数公式；5灵活运用导数的运算法则。基础知识一、导数的概念1函数的平均变化率一般地，函数，是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式子表示，我们把这个式子称为函数从到的变化率(average rate of change)。习惯上用表示即=，可把看作是相对于的一个“增量”，可用+代替；类似地，于是平均变化率可以表示为。注意：(1) ，式子中、的值可正可负，但的值不能为零，的值却可以为零。例如若函数是常函数时，=0；(2)在式子中，当取定值，取不同的数值时，函数的变化率不同；同样地，当取定值，取不同的值时，函数的平均变化率也不相同。2瞬时变化率作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，把物体在某一时刻的速度叫做瞬时速度。用数学语言描述为：设物体运动的路程与时间的关系是，当趋近于0时，函数在到+之间的平均变化率为趋近于某一个常数，称这个常数为时刻的瞬时速度。注意：(1) 趋近于0是指时间间隔越来越小，能向零无限趋近，但时终不能为0；(2) ，在变化率中都趋近于0，但它们的比值趋近于一个确定的常数；(3)求瞬时速度的一般步骤：设非匀速直线运动的规律为：；时间改变量，位置改变量；求平均速度；求瞬时速度：取，得(常数)。3导数的概念设函数在附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数值相应地改变量为。如果当趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数，则这个常数称为函数在处的瞬时变化率，通常称为在处的导数，记作或即。注意：(1) 也可以写成，等等；(2)由导数的定义可知求在的导数一般步骤：求函数的增量；求平均变化率：；取极限，得导数。二导数的几何意义1导数的几何意义函数在的导数的几何意义就是曲线在点处切线的斜率，即=。注意：(1)利用导数求曲线的切线方各的一般步骤：求出函数在的导数；根据直线的点斜式方程，求得切线方程。(2)若在点处切线的倾斜角为，此时切线平行于轴，导数不存在，不能用上方法求切线方程，此时可根据切线的定义直接得出切线方程。2导函数如果函数在开区间内每一点处均可导，则称在区间()内可导。在区间()内，构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数，简称为导数。注意：(1)函数在一点处的导数，就是该点的函数值的改变量与自变量改变量比值的极限，它是一个常数；(2)函数的导函数是对于某一区间内的任意一点而言的，随着在区间内的取值的不同，其对对应的导数也不相同；(3) 函数在的导数，就是导函数在=处的函数值。三导数的计算1基本初等函数的导数公式(1)若，则0； (2)若，则；(3)若，则 (4)若，则；(5)若，则；(6)若，则；(7) 若，则；(8)若，则注意：(1) 以上八个基本初等函数的导数公式要求记熟并能熟练运用；(2)在今后的求导运算时，只要不强调利用定义求导数，以上公式可直接应用而不加以证明。2导数的运算法则(1)；(2) ；(3)注意：上述公式的记忆口诀：(1)和差导，导和差；(2)前导后不导，后导前不导，中间是加号；(3)分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是减号。3复合函数的求导法则复合函数的导数与函数的导数间的关系是。注意：(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，适当地选择中间变量；(2)分步计算中的每一步都要明确是寻哪个变量进行求导，其要特别注意的是中间变量的系数；(3)根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间量换成自变量的函数；(4)复合函数的求导熟练以后，中间的步骤可以省略不写。特别提示1在求切线的方程时，首先应判断所给出的点是否在曲线上。若在曲线上，可用求切线方程的步骤来求解；若不在曲线上，可先设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得其方程；2熟记导数运算的四则运算法则是求导的基础，另外，根据题目特点恰当地选择求导法则会简化运算过程；3常用函数的导数公式也是求导的基础，它和导数的四则运算法则一样，在高考中经常涉及，但单独考查利用导数公式求导的题目并不多，所考查的题型大多是与其它知识相联系，所以在学习