高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式单元整合素材 新人教A版选修4-5（通用）

第一讲 不等式和绝对值不等式单元整合知识网络专题探究专题一不等式性质的应用利用不等式的性质判断不等式或有关结论是否成立，进行数值或代数式大小的比较，这些常用到分类讨论的思想若a，b是任意实数，且ab，则()Aa2b2 B1Clg(ab)0 Dab提示：为提高解题速度，特殊值法与不等式性质的运用可以交替进行解析：ab并不保证a，b均为正数，从而不能保证选项A，B成立又abab0，但不能保证ab1，从而不能保证选项C成立显然只有选项D成立，yx是减函数，且ab，ab.答案：D专题二平均不等式定理1：如果a，bR，那么a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立定理2：如果a，b0，那么，当且仅当ab时，等号成立定理3：如果a，b，cR，那么，当且仅当abc时，等号成立算术几何平均不等式：(1)如果a1，a2，anR，n1且nN，则叫做这n个正数的算术平均，叫做这n个正数的几何平均；(2)推广到一般情形：对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当a1a2an时，等号成立语言表述：n个正数的算术平均不小于它们的几何平均(3)的几何解释：如图，以ab为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DDAB交AB于C，则CD2CACBab，从而CD，则半径CD.若x，y0，设Q(x，y)，A(x，y)，G(x，y)，H(x，y)，求证：Q(x，y)A(x，y)G(x，y)H(x，y)证明：2，即Q(x，y)A(x，y)由基本不等式，得A(x，y)G(x，y)H(x，y)G(x，y)，即G(x，y)H(x，y)综上所述：Q(x，y)A(x，y)G(x，y)H(x，y)专题三利用平均不等式求最大(小)值重要的结论：已知x，y都是正实数，则：(1)如果积xy是定值P，那么当xy时，和xy有最小值2；(2)如果和xy是定值S，那么当xy时，积xy有最大值S2.求函数y2x2(x0)的最小值下列解法是否正确？为什么？解法一：y2x22x233，ymin3.解法二：y2x222，当且仅当2x2，即x时，ymin222.解：题目中两种解法均有错误解法一错在等号不成立，即不存在x，使得2x2；解法二错在2不是定值(常数)正确的解法是：y2x22x233，当且仅当2x2，即x时，ymin.设计一幅宣传画，要求画面面积为4 840 cm2，画面的宽与高的比为(1)，画面的上、下各留8 cm的空白，左、右各留5 cm的空白怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？提示：在应用平均不等式解决这类实际问题时，应注意：设变量，一般把要求最大值和最小值的变量设为函数；建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；在定义域内，求函数的最大值或最小值解：设画面的宽为x cm，则画面的高为 cm，设纸张面积为S cm2，则S(x10)5 000165 0001626 760.当且仅当x，即x55时，S取得最小值此时高88，1.故画面的高为88 cm，宽为55 cm时，才能使所用纸张面积最小专题四含有绝对值的不等式的证明证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：(1)|a|b|ab|；(2)|a|b|ab|；(3)|a|b|ab|；(4)|(b0)已知：|xa|，|yb|.求证：|(xy)(ab)|c.提示：性质|a|b|ab|和|(b0)可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出因此，只要能够证明|a|b|ab|对于任意实数都成立即可含有绝对值的不等式的证明中，常常利用|a|a，|a|a及绝对值的和的性质证明：|(xy)(ab)|(xa)(yb)|xa|yb|.|xa|，|yb|，|xa|yb|c.由，得|(xy)(ab)|c.专题五含有绝对值的不等式的解法关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式下面分别就这两类问题展开探讨1解在绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式)，关键在于去掉绝对值符号，化成一般的不等式主要的依据是绝对值的定义在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值，即|x|2含有绝对值的不等式有两种基本的类型第一种类型：设a为正数根据绝对值的定义，不等式|x|a的解集是x|axa，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开区间(a，a)，如图所示如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解第二种类型：设a为正数根据绝对值的定义，不等式|x|a的解集是x|xa或xa它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集合是两个开区间(，a)，(a，)的并集如图所示同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解设有关于x的不等式lg(|x3|x7|)a.(1)当a1时，解此不等式；(2)当a为何值时，此不等式的解集是R.解：(1)当a1时，lg(|x3|x7|)1，|x3|x7|10，或或x7或x3.所以不等式的解集为x|x3或x7(2)设f(x)|x3|x7|，有f(x)|(x3)(x7)|10，当且仅当(x3)(x7)0，即3x7时，f(x)取得最小值10.lg(|x3|x7|)1.要使lg(|x3|x7|)a的解集为R，只要a1.设函数f(x)|2x4|1.(1)画出函数yf(x)的图象；(2)若不等式f(x)ax的解集非空