广东省东莞市东华中学2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）VIP

东华高级中学2020学年上学期中段考高一数学试题一、选择题（本大题共12小题）1.设，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可【详解】由B中不等式解得：x3，即Bx|x3，Ax|2x4，ABx|3x4故选：A【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2.下列函数中哪个与函数是同一个函数（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数相等的条件，判断函数的三要素，其中有一个不同即可排除，逐一检验即可.【详解】函数的定义域和值域均为函数的定义域为，定义域不同（也可以通过值域判断），排除A；函数与函数相等；函数的定义域，定义域不同（也可以通过值域判断），排除C；的值域为，值域不同（也可以通过解析式判断），排除D；故选B【点睛】本题考查函数是否相等的判断方法，从函数的三要素入手，其中有一个不相同则两个函数不相等，特别要注意函数的定义域为未经过化简的函数解析式有意义的自变量的取值范围.3.下列函数中，在上为减函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】依次利用一次函数、指数函数、对数函数、二次函数的单调性即可判断出【详解】由基本初等函数的单调性可知，其中y=x+1，在（0，+）上是增函数，的对称轴为x=1，所以在（1，+）上是减函数只有在（0，+）上是减函数故选：C【点睛】本题考查了基本初等函数的单调性，属于基础题4.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求得函数的对称轴，再由函数在上单调递增，则对称轴在区间的左侧求解【详解】函数y4x2kx8的对称轴为：x函数在上单调递增5k40故选B.【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及了二次函数的对称性和单调性，在研究二次函数单调性时，一定要明确开口方向和对称轴5.设，则有（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据对数函数的单调性，可以判断出a0，b1，根据指数函数的值域及单调性可判断出0c1，进而得到a、b、c的大小顺序【详解】y=x在定义域上单调递减函数，a51=0，y=在定义域上单调递增函数，b1，y=（）x在定义域上单调递减函数，0c（）0.3（）0=1，acb故选：D【点睛】本题考查的知识点是利用函数的单调性比较数的大小，熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解答的关键6.函数的零点所在的大致区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，由函数零点判定定理可得函数的零点所在的大致区间为选B 7.圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则圆锥的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由于题意可知圆锥的母线长，底面周长即扇形的弧长，由此可以求得底面的半径r，求出底面圆的面积，即可求解表面积【详解】圆锥侧面展开图是一个圆心角为120半径为3的扇形圆锥的母线长为l3，底面周长即扇形的弧长为32，底面圆的半径r1，可得底面圆的面积为r2，圆锥的表面积为：4故选C【点睛】本题考查弧长公式及旋转体的表面积公式，解答此类问题关键是求相关几何量的数据，本题考查了空间想像能力及运用公式计算的能力8.在棱长为的正方体中，和分别为和的中点，那么直线和所成角是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】取B1B的四等分点E，连接ME，证明NC与ME平行，则AM与ME所成的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用勾股定理求出此角即可【详解】如图，取B1B的四等分点E，B1B的中点F，连接ME, A1F，取A1A的中点G，连接BG，则有NC平行于BG,又BG与A1F平行，A1F与ME平行，NC与ME平行，连接AE，则EMA为直线AM与CN所成角棱长为1，则AM，B1E，ME= AE，EMA，故选：D【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查了平行公理的应用，考查了运算能力，属于基础题9.若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. 或D. 【答案】C【解析】【分析】讨论底数与1的关系，确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于a的不等式，得到结果，把两种情况求并集得到结果【详解】loga1logaa，当a1时，函数是一个增函数，不等式成立，当0a1时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有a，综上可知a的取值范围是或，故选C.【点睛】本题主要考查对数函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，本题解题的关键是讨论底数与1的关系，属于基础题10.已知函数，且，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】令g（x），由函数奇偶性的定义得其为奇函数，根据题意和奇函数的性质求出f（2）的值【详解】令g（x），则g（-x），g（x）+ g（-x）=可得其为奇函数，又y=为奇函数，则f（x）+8为奇函数，所以f（2）+8+f(2)+80，即10+8+ 则f（2）26，故选：D【点睛】本题考查函数奇偶性的判定及应用，以及整体代换求函数值的方法，属于中档题11.已知函数为偶函数，当时，则的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据x0，+）时，f（x）x1，需分x10与x10讨论解决，最后取其并集即可【详解】当x0，+）时，f（x）x1，x10，即x1时，f（x1）（x1）1x20，解得x2，1x2；即x1时，不等式f（x1）0的解集为x|1x2；又函数f（x）是偶函数，x10即x1时，f（x1）f（1x）（1x）1x0，解得x0，0x1即x1时，不等式f（x1）0的解集为x|0x1；不等式f（x1）0的解集为x|1x2x|0x1x|0x2故选：A【点睛】本题考查奇偶性与单调性的综合，难点在于对x10与x10的分类讨论与应用，综合考查函数的奇偶性与单调性，属于难题12.若定义在上的函数满足：对任意，有 （为非零常数），则下列说法一定正确的是（ ）A. 为偶函数B. 为奇函数C. 为偶函数D. 为奇函数【答案】D【解析】【分析】本题要研究函数的奇偶性，故对所给的x1，x2R有f（x1+x2）f（x1）+f（x2）+a进行赋值研究，先令x1x20，得f（0），再令x1x，x2x，即可得解.【详解】对任意x1，x2R有f（x1+x2）f（x1）+f（x2）+a，令x1x20，得f（0）a令x1x，x2x，得f（0）f（x）+f（x）+a，f（x）+af（x）af（x）+a，f（x）+a为奇函数故选：D【点睛】本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答二、填空题（本大题共4小题）13.函数定义域为_.【答案】【解析】【分析】根据函数定义域的求解，建立不等式组即可【详解】要使函数f（x）有意义，则，即得，解得x1，即函数的定义域为x|x1 ，故答案为：.【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件14.计算：_.【答案】4【解析】【分析】利用对数运算法则及有理指数幂的运算法则化简求解即可【详解】-+=4，故答案为4.【点睛】本题考查有理指数幂以及对数运算法则的应用，考查计算能力，属于基础题15.如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段、和在原正方体中相互异面的有_对.【答案】3【解析】【分析】展开图复原几何体，标出字母即可找出异面直线的对数【详解】画出展开图复原的几何体，所以C与G重合，F，B重合，所以：四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有：AB与GH，AB与CD，GH与EF，共有3对故答案为：3【点睛】本题考查几何体与展开图的关系，考查异面直线的对数的判断，考查空间想象能力16.已知函数是奇函数，且，若，则_.【答案】-1【解析】【分析】根据是奇函数，求出f（1）的值，然后根据条件关系即可求出g（1）【详解】是奇函数，设yF（x），F（1）f（1）+1+11+1+13，F（1）f（1）+1-1F（1）3，f（1）3，则g（x）f（x）+2，g（1）f（1）+23+21，故答案为：-1【点睛】本题考查函数奇偶性的性质，利用函数奇偶性求值，解题的关键是根据函数的奇偶性建立所要求函数值的方程，属于中档题三、解答题（本大题共6小题）17.已知，.（1）求和；（2）若记符号，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求出.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先利用指数不等式的解法化简集合B，后求它们的交集、并集（2）ABx|xA，且xB表示由属于集合A且不属于集合B的元素组成的集合，所以涂黑的部分如图所示；先将集合B进行化简，然后根据AB的定义进行求解即可【详解】（1）由得.即. .（2）集合如图中的阴影部分；由于又Ax|1x2，Bx|x0，所以；【点睛】本题是关于集合运算的创新题，具有一定的新意要求学生对新定义的AB有充分的理解才能正确作答18.已知函数（为常数）.（1）若函数是偶函数，求的值；（2）在（1）条件下，满足 的任意实数，都有 ，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）函数f（x）是偶函数，故f（x）f（x），进而可得c的值；（2）由，则，可解得实数m的取值范围【详解】（1）函数是偶函数. 恒成立即恒成立，也就是 解得：. （2）由（1）知,由得：，又n=2-m，整理得： 实数m的取值范围是【点睛】本题考查的知识点是对数的运算及对数函数的性质的应用，考查了分式不等式的解法，难度中档19.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售单价（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售单价为元/千克时，每日可售出该商品千克.（1）求的值；（2）若该商品的进价为元/千克，试确定销售单价的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出利润的最大值.【答案】（1）（2）当时，函数取得最大值，且最大值等于440.【解析】【分析】（1）将x=6时，y=220代入关系式，即可求出a；（2）根据每日销售该商品所获得的利润每日的销售量销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数，根据二次函数求最值的方法得出最大值对应的x值【详解】（1）因为.且时，.所以解得. . （2）由（1）可知，该商品每日的销售量. 所以商场每日销售该商品所获得的利润： 因为为二次函数，且开口向上，对称轴为. 所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于440. 所以当销售价格定为6元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大利润为440元.【点睛】本题考查了函数解析式的求法及生活中的优化问题，考查建模思想，属于中档题20.已知二次函数对称轴方程为，在上的奇函数满足：当时，.（1）求函数的解析式；（2）判断方程的根的个数，并说明理由.【答案】（1）（2）3个零点【解析】【分析】（1）根据对称轴方程求出a，通过函数的奇偶性求出g（x）的表达式即可；（2）在同一个坐标系中，作出函数与的图像，根据两个图象结合零点存在定理判断出根的个数【详解】由二次函数对称轴方程为，可得：,所以. 由时，即： 设则，所以， 即：又因为是奇函数，所以，所以即： 由是奇函数可知，当时， 所以， 当时，与的图像可知：两函数有且仅有一个交点； 当时，与的图像没有交点；当时，在上单调递增，在单调递减，且函数单调递增，又，又可知在上有一个根且1亦为它的一个根 综上所述方程的有3个根。【点睛】本题主要考查了函数的零点与函数图象交点个数之间的转化，考查了函数的奇偶性的应用，以及数形结合思想和作图能力，属于中档题21.如图所示，在边长为的正三角形中，依次是的中点，,，为垂足，若将绕旋转，求阴影部分形成的几何体的表面积与体积.【答案】（1） （2）【解析】【分析】旋转后几何体是一个圆锥，从里面挖去一个圆柱，根据数据利用面积公式，可求其表面积【详解】旋转后几何体是一个圆锥，从里面挖去一个圆柱，因为ABC为边长为8的正三角形，所以BD=4，AD=EBH中，B=60，EB=4，BH=HD=DG=2，EH=，圆锥底面半径HD=2，高EH=，圆柱底面半径BD=4，高为AD=.， 所以几何体的表面积为： 所以， 所求几何体积为【点睛】本题考查组合体的面积问题，考查空间想象能力，数学公式的应用，是中档题22.已知函数 .（1）判断并证明函数的单调性；（2）若函数为奇函数，求实数的值；（3）在（2）条件下，若对任意的正数,不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）增函数（2）（3）的取值范围【解析】【分析】（1）在定义域上任取两个变量，且规定大小，再将对应的函数值作差变形看符号，利用单调性的定义即可得到结论（2）由f（x）是R上的奇函数所以f（x）+f（x）0求得（3）先求得a，结合（1）（2）得对任意的0