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第二节 第二类曲线积分分布图示 引例 变力沿曲线所作的功 第二类曲线积分的概念 空间曲线弧上的第二类曲线积分 第二类曲线积分的性质 第二类曲线积分的计算 例1 例2 例3 例4 例5 内容小结 课堂练习 习题112 返回内容要点 一、引例：设有一质点在面内从点沿光滑曲线弧移动到点,在移动过程中，这质点受到力 (2.1)的作用，其中，在上连续. 试计算在上述移动过程中变力所作的功. 二、 第二类曲线积分的定义与性质：平面上的第二类曲线积分在实际应用中常出现的形式是性质1 设L是有向曲线弧, 是与L方向相反的有向曲线弧，则；即第二类曲线积分与积分弧段的方向有关.性质2 如设由和两段光滑曲线组成，则. 三、第二类曲线积分的计算： . (2.9)如果曲线的方程为 起点为a, 终点为b，则如果曲线的方程为 起点为c, 终点为d，则例题选讲第二类曲线积分的计算例1（E01）计算的值, 其中L分别为图10-2-3中的路径:(1) 从到的直线;(2) 从到再从到的折线;(3) 从沿抛物线到解 连接两点的直线方程为对应于的方向,从变到所以(2) 从到的直线为从变到且又从到的直线为从变到，且于是(3) 化为对的定积分, 从变到1，于是注: 本例表明,即使被积函数相同,起点和终点也相同,但沿不同的积分路径的积分结果并不相等.例2（E02）计算其中L为曲线上从到的一段弧（图10-2-4）.解 (1) 化为对的定积分, (2) 化为对的定积分, 从变到1.注: 易见化为对的定积分计算较为简单.例3 计算，其中分别为图10-2-5中的路线：(1) 直线；(2) 抛物线：；(3) 折线.解 (1) 直线的方程为对于的方向,参数从变到1，于是(2) 抛物线的方程为对于的方向,参数从1变到2,于是(3) 在折线中，从1变到 2; 从1 变到 3.注: 本例表明,如果被积函数相同,起点和终点也相同,沿着不同积分路径的积分结果也可能相等.例4（E03）计算为点至点的空间有向线段.解 直线的方程为改写为参数方程为对应着起点，对应着终点于是例5（E04）求质点在力的作用下沿着曲线（图10-2-6） 从点移动到点时所作的功.解 注意到对于的方向, 参数从变到所以课堂练习1.计算其中L为与x轴所围的闭曲
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