模糊计算和模糊推理

模糊数学绪论模糊数学绪论 模糊概念模糊概念 模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间 无明显分界线无明显分界线 年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、 高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。 模糊数学就是用数学方法研究模糊现象。模糊数学就是用数学方法研究模糊现象。 术语来源术语来源 Fuzzy: Fuzzy: Fuzzy: Fuzzy: 毛绒绒的，边界不清楚的毛绒绒的，边界不清楚的 模糊，不分明，弗齐，弗晰，勿晰模糊，不分明，弗齐，弗晰，勿晰 模糊数学的产生与基本思想模糊数学的产生与基本思想 产生产生 1965196519651965年，年，L.A. L.A. L.A. L.A. ZadehZadehZadehZadeh（扎德）扎德） 发表了文章发表了文章模糊集模糊集 (Fuzzy Sets(Fuzzy Sets(Fuzzy Sets(Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )Information and Control, 8, 338-353 )Information and Control, 8, 338-353 )Information and Control, 8, 338-353 ) 基本思想基本思想 用属于程度代替属于或不属于。用属于程度代替属于或不属于。 某个人属于秃子的程度为某个人属于秃子的程度为0.8, 0.8, 0.8, 0.8, 另一个人属于另一个人属于 秃子的程度为秃子的程度为0.30.30.30.3等等. . . . 三、模糊数学的发展 75年之前，发展缓慢；80以后发展迅速； 90-92 Fuzzy Boom 杂志种类杂志种类 78年，Int. J. of Fuzzy Sets and Systems 每年1卷共340页，99年8卷每卷480页 Int. J. of Approximate Reasoning Int. J. Fuzzy Mathematics Int. J. Uncertainty, Fuzziness, knowledge-based Systems IEEE 系列杂志 主要杂志25种，涉及模糊内容20,000余种 国际会议国际会议 IFSA (Int. Fuzzy Systems Association) EUFIT、NAFIP、Fuzzy-IEEE、IPMU 模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析， 模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支 涉及学科涉及学科 分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择； 模糊产品模糊产品 洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯 人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、 农业、气象、信息、经济、文学、音乐农业、气象、信息、经济、文学、音乐 研究项目研究项目 European Network of ExcellenceEuropean Network of ExcellenceEuropean Network of ExcellenceEuropean Network of Excellence 120120120120个子项目与模糊有关个子项目与模糊有关 LIFE (Laboratory for International Fuzzy LIFE (Laboratory for International Fuzzy LIFE (Laboratory for International Fuzzy LIFE (Laboratory for International Fuzzy Engineering Research)Engineering Research)Engineering Research)Engineering Research) NSF NSF NSF NSF 应用数学：大规模数据处理、不确定性建模应用数学：大规模数据处理、不确定性建模 国内状况 1976197619761976年传入我国年传入我国 1980198019801980年成立中国模糊数学与模糊系统学年成立中国模糊数学与模糊系统学 会会 1981198119811981年创办年创办模糊数学模糊数学杂志杂志 1987198719871987年创办年创办模糊系统与数学模糊系统与数学杂志杂志 我国已成为全球四大模糊数学研究中心我国已成为全球四大模糊数学研究中心 之一（美国、西欧、日本、中国之一（美国、西欧、日本、中国） 为什么研究模糊数学 人工智能的要求 取得精确数据不可能或很困难 没有必要获取精确数据 模糊数学的产生不仅形成了一门崭新的数学学科，而模糊数学的产生不仅形成了一门崭新的数学学科，而模糊数学的产生不仅形成了一门崭新的数学学科，而模糊数学的产生不仅形成了一门崭新的数学学科，而 且也形成了一种崭新的思维方法，它告诉我们存在亦且也形成了一种崭新的思维方法，它告诉我们存在亦且也形成了一种崭新的思维方法，它告诉我们存在亦且也形成了一种崭新的思维方法，它告诉我们存在亦 真亦假的命题，从而打破了以二值逻辑为基础的传统真亦假的命题，从而打破了以二值逻辑为基础的传统真亦假的命题，从而打破了以二值逻辑为基础的传统真亦假的命题，从而打破了以二值逻辑为基础的传统 思维，使得模糊推理成为严格的数学方法。随着模糊思维，使得模糊推理成为严格的数学方法。随着模糊思维，使得模糊推理成为严格的数学方法。随着模糊思维，使得模糊推理成为严格的数学方法。随着模糊 数学的发展，模糊理论和模糊技术将对于人类社会的数学的发展，模糊理论和模糊技术将对于人类社会的数学的发展，模糊理论和模糊技术将对于人类社会的数学的发展，模糊理论和模糊技术将对于人类社会的 进步发挥更大的作用进步发挥更大的作用进步发挥更大的作用进步发挥更大的作用。 模糊数学理论 隶属函数的确定隶属函数的确定隶属函数的确定隶属函数的确定 1. 1. 1. 1. 模糊统计方法模糊统计方法模糊统计方法模糊统计方法 与概率统计类似，但有区别：若把概率统计比喻为与概率统计类似，但有区别：若把概率统计比喻为与概率统计类似，但有区别：若把概率统计比喻为与概率统计类似，但有区别：若把概率统计比喻为 “ “ “ “变动的点变动的点变动的点变动的点” ” ” ”是否落在是否落在是否落在是否落在“ “ “ “不动的圈不动的圈不动的圈不动的圈” ” ” ”内，则把模糊统计比喻内，则把模糊统计比喻内，则把模糊统计比喻内，则把模糊统计比喻 为为为为“ “ “ “变动的圈变动的圈变动的圈变动的圈” ” ” ”是否盖住是否盖住是否盖住是否盖住“ “ “ “不动的点不动的点不动的点不动的点” ” ” ”. . . . 2. 2. 2. 2. 指派方法指派方法指派方法指派方法 一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表达式。一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表达式。一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表达式。一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表达式。 3. 3. 3. 3. 借用已有的借用已有的借用已有的借用已有的“ “ “ “客观客观客观客观” ” ” ”尺度尺度尺度尺度 模糊推理 模糊命题 含有模糊概念、模糊数据的语句称为模糊命题。它 的一般表示形式为： xis A 或者 x is A (CF) 其中，A是模糊概念或者模糊数，用相应的模糊集 及隶属函数刻画； x是论域上的变量，用以代表所 论述对象的属性； CF是该模糊命题的可信度，它既 可以是一个确定的数，也可以是一个模糊数或者模 糊语言值。 模糊语言值是指表示大小、长短、多少等程度的一 些词汇。如：极大、很大、相当大、比较大。模糊 语言值同样可用模糊集描述。 模糊知识的表示 （1）模糊产生式规则的一般形式是： IFETHENH(CF,) 其中，E是用模糊命题表示的模糊条件；H是用模糊命题表示的 模糊结论；CF是知识的可信度因子，它既可以是一个确定 的数，也可以是一个模糊数或模糊语言值。是匹配度的 阈值，用以指出知识被运用的条件。例如： IFx is A THEN y is B (CF,) （2）推理中所用的证据也用模糊命题表示，一般形式为 xisA 或者 xisA(CF) （3）模糊推理要解决的问题：证据与知识的条件是否匹配：如 果匹配，如何利用知识及证据推出结论。 5.6.3 模糊匹配与冲突消解 在模糊推理中，知识的前提条件中的A与证据中的A不一定 完全相同，因此首先必须考虑匹配问题。例如： IF x is 小THENy is 大(0.6) x is 较小 两个模糊集或模糊概念的相似程度称为匹配度。常用的计 算匹配度匹配度的方法主要有贴近度、语义距离及相似度贴近度、语义距离及相似度等。 1. 贴近度 设A与B分别是论域U=u1,u2,un上的两个模糊集，则它们 的贴近度定义为： (A,B)= AB+(1-AB) /2 其中 ( )( ) ( )( ) AiBi AiBi U U A Buu ABuu = = 2. 语义距离 (1)海明距离 (2)欧几里得距离 (3)明可夫斯基距离 (4)切比雪夫距离 匹配度为：1-d(A,B) 1 1 ( , )|( )( )| 1 ( , )|( )( )| n AiBi i b AB a d A Buu n d A Buudu ba = = = 2 1 1 ( , )( )( ) n AiBi i d A Buu n = = 1 1 1 ( , )|( )( )| ,1 q n q AiBi i d A Buuq n = = 1 ( , )max |( )( )| AiBi i n d A Buu = 3. 相似度 (1) 最大最小法 (2) 算术平均法 (3) 几何平均最小法 1 1 min( ),( ) ( , ) max( ),( ) n AiBi i n AiBi i uu r A B uu = = = 1 1 min( ),( ) ( , ) 1 ( )( ) 2 n AiBi i n AiBi i uu r A B uu = = = + 1 1 min( ),( ) ( , ) ( )( ) n AiBi i n AiBi i uu r A B uu = = = (4) 相关系数法 (5) 指数法 1 22 11 11 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) 11 ( ),( ) n AiABiB i nn AiABiB ii nn AAiBBi ii uu r A B uu uu nn = = = = = 1 |()()| ( , ) n AiBi i uu r A Be = = 匹配度举例 设U=a,b,c,d A=0.3/a+0.4/b+0.6/c+0.8/d A=0.2/a+0.5/b+0.6/c+0.7/d 贴近度： AB=(0.30.2)(0.40.5)(0.60.6)(0.80.7)=0.7 AB=(0.30.2)(0.40.5)(0.60.6)(0.80.7)=0.3 (A,B)=1/2AB+(1-AB)=1/20.7+(1-0.3)=0.7 海明距离： d(A,B)=1/4(|0.3-0.2|+|0.4-0.5|+|0.6-0.6|+|0.8-0.7|)=0.075 (A,B)=1-d(A,B)=1-0.075=0.925 相似度： 最大最小法： r(A,B)=(0.30.2)+(0.40.5)+(0.60.6)+(0.80.7)/(0.30.2)+(0.4 0.5)+(0.60.6)+(0.80.7) =1.9/2.2=0.86 (1) 分别计算出每一个子条件与其证据的匹配度 例如对复合条件 E=x1 is A1 AND x2 is A2 AND x3 is A3 及相应证据E: x1 is A1 , x2 is A2 , x3 is A3 分别算出Ai与Ai的匹配度match(Ai,Ai),i=1,2,3。 (2) 求出整个前提条件与证据的总匹配度。目前常用的方法有 “取极小”和“相乘”等。 match(E,E)=minmatch(A1,A1),match(A2,A2), match(A3,A3) match(E,E)=match(A1,A1)match(A2,A2)match(A3,A3) (3) 检查总匹配度是否满足阈值条件，如果满足就可以匹配， 否则为不可匹配。 复合条件的模糊匹配 模糊推理中的冲突消解 1. 按匹配度大小排序按匹配度大小排序 2. 按加权平均值排序按加权平均值排序 例如，设U=u1,u2,u3,u4,u5, A=0.9/u1+0.6/u2+0.4/u3 B=0.6/u2+0.8/u3+0.5/u4 C=0.5/u3+0.8/u4+1/u5 D=0.8/u1+0.5/u2+0.1/u3 并设有如下模糊知识： R1:IFx is A THEN y is H1 R2:IFx is B THEN y is H2 R3:IFx is C THEN y is H3 用户提供的初始证据为： E: x is D match(A,D)=D(u1)/A(u1)+D(u2)/A(u2)+D(u3)/A(u3) =0.8/0.9+0.5/0.6+0.1/0.4 同理可得： match(B,D)=0.8/0+0.5/0.6+0.1/0.8 match(C,D)=0.8/0+0.5/0+0.1/0.5 以上D与A、B、C的匹配度用模糊集形式表示。 下面求匹配度的加权平均值： AV(match(A,D)=(0.80.9+0.50.6+0.10.4)/(0.9+0.6+0.4)=0.56 同理可得： AV(match(B,D)=0.27 AV(match(C,D)=0.1 于是得到： AV(match(A,D)AV(match(B,D)AV(match(C,D) 所以R1是当前首先被选用的知识。 3. 按广义顺序关系排序按广义顺序关系排序 由上例可得：由上例可得： match matchmatchmatch(A,D)= (A,D)=(A,D)=(A,D)=D D D D(u(u(u(u1 1 1 1)/)/)/)/A A A A(u(u(u(u1 1 1 1)+)+)+)+D D D D(u(u(u(u2 2 2 2)/)/)/)/A A A A(u(u(u(u2 2 2 2)+)+)+)+D D D D(u(u(u(u3 3 3 3)/)/)/)/A A A A(u(u(u(u3 3 3 3) ) ) ) =0.8/0.9+0.5/0.6+0.1/0.4=0.8/0.9+0.5/0.6+0.1/0.4=0.8/0.9+0.5/0.6+0.1/0.4=0.8/0.9+0.5/0.6+0.1/0.4 match matchmatchmatch(B,D)=0.8/0+0.5/0.6+0.1/0.8 (B,D)=0.8/0+0.5/0.6+0.1/0.8(B,D)=0.8/0+0.5/0.6+0.1/0.8(B,D)=0.8/0+0.5/0.6+0.1/0.8 match matchmatchmatch(C,D)=0.8/0+0.5/0+0.1/0.5 (C,D)=0.8/0+0.5/0+0.1/0.5(C,D)=0.8/0+0.5/0+0.1/0.5(C,D)=0.8/0+0.5/0+0.1/0.5 下面以下面以match matchmatchmatch(A,D) (A,D)(A,D)(A,D)与与match matchmatchmatch(B,D) (B,D)(B,D)(B,D)为例说明广义顺序排序的方法：为例说明广义顺序排序的方法： 首先用首先用match matchmatchmatch(B,D) (B,D)(B,D)(B,D)的的每一项分别与每一项分别与match matchmatchmatch(A,D) (A,D)(A,D)(A,D)的的每一项进行比较。比每一项进行比较。比 较时较时D D D D(u(u(u(ui i i i) ) ) )与与D D D D(u(u(u(uj j j j) ) ) )中取其小者，中取其小者， A A A A(u(u(u(ui i i i) ) ) )与与B B B B(u(u(u(uj j j j) ) ) )按如下规则取按如下规则取 值：若值：若A A A A(u(u(u(ui i i i) ) ) )B B B B(u(u(u(uj j j j) ) ) )则则取取“ “ “ “1 1 1 1” ” ” ”；若；若A A A A(u(u(u(ui i i i) 0 0 0 0 ，则就认为则就认为match matchmatchmatch(A,D) (A,D)(A,D)(A,D)优于优于match matchmatchmatch(B,D) (B,D) (B,D) (B,D) ，记为记为 matchmatchmatchmatch(A,D) (A,D) (A,D) (A,D) match matchmatchmatch(B,D) (B,D) (B,D) (B,D) 。 按按这种方法，对这种方法，对match matchmatchmatch(A,D) (A,D)(A,D)(A,D)与与match matchmatchmatch(B,D) (B,D)(B,D)(B,D)可以得到：可以得到： 0.8/1+0.5/1+0.1/1+0.5/1+0.5/1+0.1/0+0.1/1+0.1/00.8/1+0.5/1+0.1/1+0.5/1+0.5/1+0.1/0+0.1/1+0.1/00.8/1+0.5/1+0.1/1+0.5/1+0.5/1+0.1/0+0.1/1+0.1/00.8/1+0.5/1+0.1/1+0.5/1+0.5/1+0.1/0+0.1/1+0.1/0 +0.1/0+0.1/0+0.1/0+0.1/0 =0.8/1+0.1/0=0.8/1+0.1/0=0.8/1+0.1/0=0.8/1+0.1/0 由于由于1 1 1 1=0.8=0.8=0.8=0.80 0 0 0=0.1=0.1=0.1=0.1，所以得到：所以得到： match matchmatchmatch(A,D) (A,D) (A,D) (A,D) match matchmatchmatch(B,D) (B,D)(B,D)(B,D) 同理可得：同理可得： match matchmatchmatch(A,D) (A,D) (A,D) (A,D) match matchmatchmatch(C,D) (C,D)(C,D)(C,D) match matchmatchmatch(B,D) (B,D) (B,D) (B,D) match matchmatchmatch(C,D) (C,D)(C,D)(C,D) 最后得到：最后得到： match matchmatchmatch(A,D) (A,D) (A,D) (A,D) match matchmatchmatch(B,D) (B,D)(B,D)(B,D)match matchmatchmatch(C,D) (C,D) (C,D) (C,D) 由此可知由此可知R1R1R1R1应该是首先被选用的知识。应该是首先被选用的知识。 模糊推理的基本模式 1. 1. 1. 1. 模糊假言推理模糊假言推理 知识：知识：IF IF IF IF x is A x is A x is A x is A THEN THEN THEN THEN y is By is By is By is B 证据：证据：x is Ax is Ax is Ax is A - 结论：结论：y is By is By is By is B 对于复合条件有：对于复合条件有： 知识：知识：IF xIF xIF xIF x1 1 1 1 is A is A is A is A1 1 1 1 AND x AND x AND x AND x2 2 2 2 is A is A is A is A2 2 2 2 AND AND AND ANDAND AND AND AND x x x xn n n n is A is A is A is An n n n THENTHENTHENTHEN y is B y is B y is B y is B 证据：证据： x x x x1 1 1 1 is A is A is A is A 1 1 1 1 ， ， x x x x2 2 2 2 is A is A is A is A 2 2 2 2 ， ， ， x x x xn n n n is A is A is A is A n n n n - 结论：结论：y is By is By is By is B 2. 2. 2. 2. 模糊拒取式推理模糊拒取式推理 知识：知识：IF IF IF IF x is A x is A x is A x is A THEN THEN THEN THEN y is By is By is By is B 证据：证据：y is By is By is By is B - 结论：结论：x is Ax is Ax is Ax is A 知识：知识：IF IF IF IF x is A x is A x is A x is A THEN THEN THEN THEN y is By is By is By is B 证据：证据：y is not By is not By is not By is not B - 结论：结论：x is not Ax is not Ax is not Ax is not A 简单模糊推理 知识中只含有简单条件，且不带可信度因子的模糊推理称知识中只含有简单条件，且不带可信度因子的模糊推理称 为简单模糊推理。为简单模糊推理。 合成推理规则：对于知识合成推理规则：对于知识 IF IF IF IF x is A x is A x is A x is A THEN THEN THEN THEN y is By is By is By is B 首先构造首先构造出出A A A A与与B B B B之间的模糊关系之间的模糊关系R R R R，然后通过然后通过R R R R与证据的合与证据的合 成求出结论。成求出结论。 如果已知证据是如果已知证据是 x is Ax is Ax is Ax is A 且且A A A A与与A A A A 可以模糊匹配，则通过下述合成运算求取可以模糊匹配，则通过下述合成运算求取B B B B ： B B B B =A=A=A=A R R R R 如果已知证据是如果已知证据是 y is By is By is By is B 且且B B B B与与B B B B 可以模糊匹配，则通过下述合成运算求可以模糊匹配，则通过下述合成运算求出出A A A A ： A A A A =R=R=R=R B B B B 构造模糊关系R的方法 1. 1. 1. 1. 扎德方法扎德方法 扎德提出了两种方法：一种称为条件命题的极大极小规扎德提出了两种方法：一种称为条件命题的极大极小规 则；另一种称为条件命题的算术规则，由它们获得的模糊则；另一种称为条件命题的算术规则，由它们获得的模糊 关系分别关系分别记为记为R R R Rm mmm和 和R R R Ra a a a。 设设A A A AF F F F(U),B(U),B(U),B(U),BF F F F(V)(V)(V)(V)，其表示分别为其表示分别为 且用且用， ，分别表示模糊集的笛卡儿乘积、并、交、，分别表示模糊集的笛卡儿乘积、并、交、 补及有界和运算，则扎德把补及有界和运算，则扎德把R R R Rm mmm和 和R R R Ra a a a分别定义为：分别定义为： ( )/,( )/ AB UV AuuBuu= ()()( )( )(1( )/( , ) ()()1(1( )( )/( , ) mABA U V aAB U V RA BA Vuvuu v RA VUBuvu v = = = =+ IF x is A IF x is A IF x is A IF x is A THEN THEN THEN THEN y is By is By is By is B 对于模糊假言推理，若已知证据为对于模糊假言推理，若已知证据为 x is Ax is Ax is Ax is A 则：则： B B B B m mmm= = =A A A A R R R Rm mmm B B B B a a a a=A=A=A=A R R R Ra a a a 对于模糊拒取式推理，若已知证据为对于模糊拒取式推理，若已知证据为 y is By is By is By is B 则：则： A A A A m mmm= = =R R R Rm mmm B B B B A A A A a a a a=R=R=R=Ra a a a B B B B 扎德法推理举例(1) 例5.8 设U=V=1,2,3,4,5, A=1/1+0.5/2, B=0.4/3+0.6/4+1/5 并设模糊知识及模糊证据分别为： IF x is A THEN y is B x is A 其中，A的模糊集为：A=1/1+0.4/2+0.2/3 则由模糊知识可分别得到Rm与Ra： 000.40.61000.40.61 0.50.50.50.50.50.50.50.911 ,1111111111 1111111111 1111111111 ma RR = 扎德法推理举例(2) Bm=ARm =1,0.4,0.2,0,0 =0.4,0.4,0.4,0.6,1 Ba=ARa=0.4,0.4,0.4,0.6,1 若已知证据为:y is B,且B=0.2/1+0.4/2+0.6/3+0.5/4+0.3/5,则： Am=RmB Aa=RaB=0.5,0.6,0.6,0.6,0.6 000.40.61 0.50.50.50.50.5 11111 11111 11111 0.2000.40.61 0.40.50.50.50.50.5 0.60.5,0.5,0.6,0.6,0.611111 0.511111 0.311111 = 2. Mamdani方法 IF x is A THEN y is B 对于模糊假言推理， Bc= ARc 对于模糊拒取式推理， Ac=RcB ( )( )/( , ) cAB U V RA Buvu v = 3. Mizumoto方法 米祖莫托等人根据多值逻辑中计算T(AB)的定义，提出了一 组构造模糊关系的方法，分别记为Rs,Rg,Rsg,Rgs,Rgg,Rss等等。 其定义分别为： ( )( )/( , ) 1,( )( ) ( )( ) 0,( )( ) ( )( )/( , ) 1,( )( ) ( )( ) ( ),( )( ) sAB s U Vs AB AB s AB gAB g U Vg AB AB g BAB RA VUBuvu v uv uv uv RA VUBuvu v uv uv vuv = = = = 设U=V=1,2,3,4,5, A=1/1+0.5/2, B=0.4/3+0.6/4+1/5 模糊知识： IF x is A THEN y is B 模糊证据： x is A 其中，A的模糊集为：A=1/1+0.4/2+0.2/3 Bs=ARs=0.2,0.2,0.2,0.4,1 Bg=ARg=0.2,0.2,0.4,0.6,1 00001000.40.61 00011000.411 ,1111111111 1111111111 1111111111 sg RR = 各种模糊关系的性能分析(1) 比较模糊关系性能所依据的基本原则： 原则1： 知识：IF x is A THEN y is B 证据：x is A - 结论：y is B 原则2： 知识：IF x is A THEN y is B 证据：x is very A - 结论：y is very B y is B 各种模糊关系的性能分析(2) 原则3： 知识：IF x is A THEN y is B 证据：x is more or less A - 结论：y is more or less B y is B 原则4： 知识：IF x is A THEN y is B 证据：x is not A - 结论：y is unknown y is not B 以上原则是针对模糊假言推理的。 各种模糊关系的性能分析(3) 原则5： 知识：IF x is A THEN y is B 证据：y is not B - 结论：x is not A 原则6： 知识：IF x is A THEN y is B 证据：y is not very B - 结论：x is not very A 各种模糊关系的性能分析(4) 原则7： 知识：IF x is A THEN y is B 证据：y is not more or less B - 结论： x is not more or less A 原则8： 知识：IF x is A THEN y is B 证据： y is B - 结论： x is unknown x is A 模糊关系评测实例 设U=V=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 A=1/1+0.8/2+0.6/3+0.4/4+0.2/5 （小） B=0.2/4+0.4/5+0.6/6+0.8/7+1/8+1/9+1/10 （大） 0000.20.40.60.8111 0.20.20.20.20.40.60.80.80.80.8 0.40.40.40.40.40.60.60.60.60.6 0.60.60.60.60.60.60.60.60.60.6 0.80.80.80.80.80.80.80.80.80.8 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 m R = 0000.20.40.60.8111 0000.20.40.60.80.80.80.8 0000.20.40.60.60.60.60.6 0000.20.40.40.40.40.40.4 0000.20.20.20.20.20.20.2 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 c R = 0000000111 0000001000 0000010.2000 000010.40.2000 00010.60.40.2000 1110.80.60.40.2000 1110.80.60.40.2000 1110.80.60.40.2000 1110.80.60.40.2000 1110.80.60.40.2000 sg R = 0000000111 0000001000 0000010000 0000100000 0001000000 1110000000 1110000000 1110000000 1110000000 1110000000 ss R = 根据基本概念扩充法，由A可得： very A= =1,0.64,0.36,0.16,0.04,0,0,0,0,0 more or less A= =1,0.89,0.77,0.63,0.45,0,0,0,0,0 not A= =0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1,1,1,1 not very A= =0,0.36,0.64,0.84,0.96,1,1,1,1,1 not more or less A= =0,0.11,0.23,0.37,0.55,1,1,1,1,1 2 ( )/ A U uu 0.5 ( )/ A U uu 1( )/ A U uu 2 1( )/ A U uu 0.5 1( )/ A U uu 由B可得： very B= =0,0,0,0.04,0.16,0.36,0.64,1,1,1 more or less B= =0,0,0,0.45,0.63,0.77,0.89,1,1,1 not B= =1,1,1,0.8,0.6,0.4,0.2,0,0,0 not very B= =1,1,1,0.96,0.84,0.64,0.36,0,0,0 not more or less B= =1,1,1,0.55,0.37,0.23,0.11,0,0,0 2 ( )/ B V vv 0.5 ( )/ B V vv 1( )/ B V vv 2 1( )/ B V vv 0.5 1( )/ B V vv 各种模糊关系符合推理原则情况一览表 v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v Not B Not very B Not more or less B B B Not A Not very A Not more or less A Unknown A 5 6 7 8 v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v B Very B B More or less B B Unknown Not B A Very A Very A more or less A More or less A Not A Not A 1 2 3 4 R R R Rm mmm R R R Ra a a a R R R Rc c c c R R R Rs s s s R R R Rg g g g R R R Rsgsgsgsg R R R Rgggggggg R R R Rgsgsgsgs R R R Rssssssss R R R Rb b b b R R R R R R R R R R R R* * * * R R R R# # # R R R R BA原 则 5.6.6 模糊三段论推理 R1: IF x is A THEN y is B R2: IF y is B THEN z is C - R3: IF x is A THEN z is C 其中A、B、C分别是论域U、V、W上的模糊集。如果R3可由 R1及 R2推导出来，则称模糊三段论成立。 设R(A,B),R(B,C)与R(A,C)分别是根据上述模糊知识得到的 模糊关系，它们分别定义在UV,VW,UW上，如果 R(A,B)R(B,C)=R(A,C) 则R3就能够从R1和R2推导出来，此时称模糊三段论成立。 满足模糊三段论的模糊关系 在前面讨论的15种模糊关系中，有一些能满足模糊三段 论，有一些不能满足。 设U=V=W=1,2,3,4,5 A=1/1+0.6/2+0.2/3 B=0.3/3+0.7/4+1/5 C=0.09/3+0.49/4+1/5 对Rm由R1，R2，R3分别得到： 000.3 0.7111111 0.4 0.4 0.4 0.6 0.611111 ( , ),( , )0.8 0.8 0.8 0.8 0.80.7 0.70.70.70.7 111110.3 0.30.30.49 0.7 11111000.09 0.491 mm R A BR B C = 000 .0 90 .4 91 0 .40 .40 .40 .4 90 .6 (,)0 .80 .80 .80 .80 .8 11111 11111 0 .30 .30 .30 .4 91 0 .40 .40 .40 .4 90 .6 (,)(,)0 .80 .80 .80 .80 .8 11111 11111 m mm RA C RABRB