医用物理学陈仲本第五章课后习题答案

第五章 静电场通过复习后，应该:1.掌握电场强度、场强叠加原理、电势和电势差、场强与电势的关系、电势叠加原理、电偶极子的电势;2.理解电场线和电通量、高斯定理及其应用、有导体存在时静电场的计算、电介质极化、能斯特方程、电容器、静电场的能量;3.了解电偶层的电势、细胞膜静息电位、心电图和心向量图的电学原理。 5-1 点电荷q和4q相距l，试问在什么地方放置什么样的电荷，可使这三个电荷达到受力平衡? 解：已知两个同号点电荷q与4q相距l，在它们之间的连线上某处放置一个异号电荷，当它们满足一定的条件时，即可达到力的平衡。设这个异号电荷的电量为mq，与q相距x，如本题附图所示。根据库仑定律，分析力的平衡条件，电荷mq分别与q、4q的引力相等，即 xlxq4qmq (a) 电荷q受4q的斥力和mq的引力相等，即 习题5-1附图 (b) 解（a）式得x=l /3，将其代入（b）式可得m=4/9。从上面的计算结果可知，在q与4q之间，与电荷q相距l/3处，放置一个4/9q的异号电荷，可使三个电荷达到受力平衡。5-2 两个点电荷分别带有+10C和+40C的电量，相距40cm，求场强为零的点的位置及该点处的电势。 r1r2q1PE2E1q2 解: 求场强为零的位置: 只有在两电荷的连线中的某点P，才能使该处场强为零，即q1 、q2 在该点的场强E1、E2大小相等，方向相反，已知q1 =10C，q2 =40C，则根据点电荷场强公式，有 由上式可得 习题5-2附图又因r1 + r2 =40cm，由此可得r1 =40/3cm=40/310-2 m； r2 =80/3cm=80/310-2 m求电势: 设q1 、q2 在P点产生的电势分别为U1 、U2，P点电势U为U1 、U2 之和，即 5-3 两等值异号点电荷相距2.0m，q1 =8.010-6 C，q2 =-8.010-6 C。求在两点电荷连线上电势为零的点的位置及该点处的场强。 解: 求电势为零的位置:设q1、q2 连线上P点处电势为零，该点电势为q1、q2 分别产生的电势U1、U2 之代数和，由点电荷电场的电势得 q2r1r2q1PE2E1习题5-3附图 从上式可得 又r1 + r2 =2.0m，则r1 = r2 =1.0m，即电势为零的位置处于两点电荷连线的中点。求场强:设q1、q2 在P处产生的场强分别为E1、E2，它们的方向一致，故P点的场强为E1和E2的大小之和，方向由P指向q2YXE1E2E3rrrQQ30aQ5-4 在一个边长为a的正三角形的三个顶点放有量值相等的电荷Q，在以下两种情况下，求三角形重心处的场强和电势：三个顶点都带正电荷;两个顶点带正电荷，一个顶点带负电荷。 YXE1E2E3rrrQQ30a习题5-4 附图（a） 习题5-4 附图（b） 解: 根据场强的叠加原理，可分别求出三个点电荷在重心的场强，再求出它们的矢量和。电势为标量，只需求出它们的代数和。当三个都为正电荷时，按附图（a）取坐标，坐标原点O为三角形的重心，已知等边三角形的边长为a，则其重心到三个顶点的距离r可由三角函数求出由点电荷场强公式可得，三个点电荷在重心O的场强相等，即 （a）方向如附图所示。设重心处的场强E在Y方向和X方向的分量分别为Ey 和Ex ，则由附图（a）可得Ey =E2 cos60+ E3 cos60E1 = E2 + E3 E1 =0Ex =E2 sin60E3 sin60=0 （因为E2 =E3 ）故重心处的合场强E=0。由点电荷的电势公式和可得根据电势叠加原理，重心处的电势U为当两个顶点带正电荷，一个顶点带负电荷时，按本题附图（b）取坐标。参考前面的（a）式，由点电荷电场强度公式可得方向如附图（b）所示。设重心处的场强E在Y方向和X方向的分量分别为Ey和Ex，则由附图（b）可得Ey = E1 + E2 cos60+ E3 cos60= E1+ E2 + E3 =2 E1 =Ex =E2 sin60E3 sin60=0 （因为E2 =E3 ）故重心处的场强E的大小为 其方向垂直向上。由点电荷电势公式可得三个点电荷在重心的电势分别为， 根据电势叠加原理，重心处的电势为5-5 均匀带电直线长2a，其线电荷密度为，求在带电直线垂直平分线上，且与带电直线相距为a的点的场强和电势。 解: 求场强：以带电直线为坐标轴，取直线中点为原点O，在直线上距O点 x处取一线元dx，如本题附图所示，其电量dq=dx，此电荷元在所求点P处产生的场强为 （a）其方向沿dq与P点连线（图中为0时的情况，若0，则反向），与X轴线夹角为。XraPOaadxdEdEdE由于对称性，各电荷元的场强沿X轴的分量dE 互相抵消，而垂直于X轴的分量dE互相增强，因此 （b）由附图可知，将（a）式和sin的表达式代入（b）式得E的大小为 习题5-5附图其方向垂直向上。求电势:由点电荷电势公式可得，dq在P点产生的电势dU为将上式积分可得P点电势dldUXxrPOR5-6 均匀带电圆环，其半径为5cm，总电量为5.010-9 C，计算轴线上离环心5cm处的场强和电势。解：本题先求电势，然后利用场强和电势的关系计算场强。求电势：参考本题附图，设圆环总量为q，半径为R，由于电荷是均匀分布，故其线电荷密度=q/2R。在圆环上取一线元dl，其电量为 （a） 习题5-6 附图设P点离环心O的距离为x，则由附图知，电荷元dq在P点产生的电势dU为 （b）将上式积分，可得P点的电势为 （c）已知R=5cm=0.05m，q=5.010-9 C，x=5cm=0.05m，代入上式得求场强:根据场强与电势的关系E=dU/dn，对（c）式求关于x的导数，则场强E的大小为方向沿X轴正方向。dE 互相抵消，而垂直于X轴的分量dE互相增强，因此 5-7 均匀带电的半圆弧，半径为R，带有正电荷q，求圆心处的场强和电势。 解: 求场强：在环上取一线元dl，带电量dq=qRdl，电荷元在圆心产生的场强大小为 方向如附图所示，与OX轴夹角为，dl=Rd。由于对称性，dE互相抵消，dE相互增强，于是有dEdEdERLdlOX将dE的表达式及dl=Rd代入，经整理后得场强E的大小为其方向垂直向下。求电势: 电荷元dq在圆心产生的电势dU为 习题5-7附图将上式积分即得圆心处的电势5-8 长度为L的直线段上均匀分布有正电荷，电荷线密度为，求该直线的延长线上，且与线段较近一端的距离为d处的场强和电势。 dllrdPOLX解: 求场强:在直线段l处取一线元dl，其带电量为dq=dl，它在P处产生的场强方向沿直线的延长线，大小为 将上式积分，即得P点场强的大小为 习题5-8附图 方向沿X轴正方向。求电势:由点电荷电势公式可知，电荷dq在P点产生的电势dU为将上式积分，即得P点的电势U为5-9 两个无限长同轴柱面，内圆柱面半径为R1，每单位长度带的电荷为+，外圆柱半径为R2，每单位长度带的电荷为-，求两圆柱面之间的空间中各处的场强。 R2rR1S1S2S3 解: 电荷均匀地分布在两无限长同轴圆柱面上，电场的分布具有对称性，即距轴心等距的各点大小相等，方向沿半径方向（轴向分布）欲求两圆柱面之间的空间中任意点（设距轴心为r）的场强E，选取半径为r，单位长度的同轴圆柱面S1与两底面S2、S3构成的闭合柱形高斯面S。其中S2、S3 处场强方向与法线垂直，cos90=0，通过S2、S3 的电通量为零，所以通过S面的总电通量即为通过S1 的电通量由题意可知，在单位长度高斯圆柱面内的电量为+，故由高斯定理 得 E2 r =/0 解出E即得 （R1 r R2）作一球形高斯面S1（外虚线），该高斯面上各处场强为零.通过S1 面的电通量由高斯定理可知，两球面带异号电荷，且q1 =q2 ，即：14R12 =24R22，由此可解出内球面上的电荷密度1为习题5-12附图从球心O以半径R作一球形高斯面S2（见附图，内虚线），由于电荷均匀分布，球面带电体具有球对称性，电场的分布也应有对称性，在高斯面S2 上各处的场强大小相等，方向均沿半径方向，即=0（此为内球面带正电情况，若带负电，=180，请读者自行讨论）。设S2 上场强大小为E，根据高斯定理有 E4R2 =q1/0 因球面内没有电荷，由高斯定理可知，E=0。5-13 电场强度E与电势U之间有何关系?电场中，若某点场强为0，该点电势是否一定为0?反之，某点电势为0。该点的场强是否一定为0? 若空间中各点电势为一常数，场强一定为0吗? 为什么? 答: 电场强度E与电势U是从不同角度来描述电场性质的两个重要物理量，电场强度E描述了电场力的特性，而电势U则描述了电场能的特性，它们之间的积分关系为，微分关系。从它们的关系式可以看出，某点场强为0，该点电势不一定为0，例如，半径为R的带电球壳，内部的场强为0，而电势等于kQ/R。某点的电势为0，但该处的dU不一定为0，因此该点的场强不一定为0，例如电偶极子的中垂面上，各点的电势等于0，但场强不等于0。若空间各点电势为一常数，dU=0，则场强一定为0。5-14 电量为q=+1.010-8 C的点电荷，从电场中的a点移到b点，电场力作的功为310-6 J，求: a、b两点的电势差是多少? 两点中哪一点的电势较高? 解: 已知q=+1.010-8 C，Wab =310-6 J，由电势差公式UaUb =Wab /q可得 UaUb =Wab /q=310-6 /1.010-8 V=3102 V因为正电荷从a移到b是电场力作功，所以Ua Ub。5-15 什么是电偶极子? 电偶极子电场中某一点的电势与哪些因素有关? 指出电势大于零、等于零、小于零的区域? 答: 两个相距很近的等量异号电荷+q和q所组成的带电系统叫电偶极子。电偶极子电场中某一点的电势与电偶极子的电矩P成正比，与该点到电偶极子的距离r平方成反比，且与方位角有关，即。电偶极子中垂面上各点的电势为零，在中垂面+q一侧空间各点的电势为正，q一侧空间各点的电势为负。5-16 两个等量异号的点电荷，其电量均为10-9 C，相距0.01mm，求该电偶极子的电矩大小和方向。 解: 已知Q =1.010-9 C，l =0.01mm=1.010-5 m，由电矩公式可得P=ql=1.010-91.010-5 Cm=1.010-14 Cm其方向由负电荷指向正电荷。y(m)x(m)OC(0,1)A(1,0)B(1,2)D(-1,2)5-17 设在XY平面内的原点O处有一电偶极子，电矩P的大小为1.010-6 Cm，方向指向Y轴正方向。问在坐标（1，0），（1，2），（0，1），（-1，2）点处的电势分别是多少?（坐标单位为m）解: 已知原点O处的电偶极子的电矩P=1.010-6 Cm，方向指向Y轴正方向，如附图所示，A点：=90，r =1m； B点：cos=2/，r =m；C点：=0， r =1m； D点：cos=2/，r =m。根据电偶极子的电势，A、B、C、D各点的电势分别为： 习题5-17 附图 5-18 在边长为a的等边三角形重心处，有一垂直指向底边的电偶极子P，求： 三角形各顶点的电势; 三角形各边中点的电势。解: 已知等边三角形的边长为a，则由附图可计算出重心到三个的顶点的距离r为又知电偶极子指向等边三角形的底边，如附图所示。根据电偶极子电势公式，可得各顶点的电势。对于顶点A， =180，则对于顶点B，方位角 =60，顶点C， =60，则B、C的电势分别为 EDrrABCU3U1U2U3U1U2FPr由附图可知，重心到各边中心的距离d为由此可进一步计算各边中点的电势，其中底边中点D， 习题5-18附图 =0，其电势为对于左边中点E，方位角 =120，右边中点F， =120，则这两点的电势分别为， 如果电偶极子P的方向水平向右，结果又是怎样? 读者自己计算。5-19 电偶极子的电量q =310-7 C，轴线l =0.02mm，求：电偶极子中垂线上距轴线中点30cm的P点的电势； 若P点在电偶极子电矩指向的延长线上时，其电势又是多少?（设这时P点离轴线中点的距离仍为30cm。） 解: 已知q =310-7 C， l =210-5m，由电矩公式得P = ql = 310-7210-5 Cm=610-12 Cm 因为P点在垂直于电偶极子轴线的中垂线上，其方向角=90，由电偶极子电势公式可知，P点的电势U =0（因为cos90=0）。若P点位于电矩指向的延长线上，离轴线中心30cm，则 =00，r =30cm=0.3m，代入电偶极子电势公式（常数k =9109 Nm2C-2），可得这时P点的电势为 5-20 一曲率半径为10cm的球壳状电偶层，带电量q =310-7 C，层间距为1mm，面积30cm2，问在曲率中心处电偶层形成的电势是多少? 解: 已知r =10cm=0.1m，q =310-7 C， =1mm=10-3 m，S =30cm2 =310-3 m2。由层矩的定义得PS =(q)/S，由立体角公式得 =S/r2 ，再根据电偶层的电势公式，可得曲率中心处电偶层形式的电势为5-21 均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为210-5 Cm-3求距球心5cm，8cm，12cm 各点的场强。解:高斯定理,当时，,时， ， 方向沿半径向外。cm时, 沿半径向外。5-22 半径为R1和R2 (R2 R1)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量和-，试求：(1)r R1；(2) R1R2；(3) rR2处各点的场强。解:高斯定理 ，取同轴圆柱形高斯面，侧面积，则(1) ，(2) ， ， 沿径向向外。(3) ， 5-23 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1和2，试求空间各处场强。解:两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为1和2，规定垂直于两平面由面指向面的方向为，则两面间， ；面外， ；面外， 5-24 一块电介质在电场中极化后，沿着与电场垂直的方向将它截为两半，再撤去外电场，这两块电介质是否带电?如果把电介质换成导体，情况又如何? 答: 两块电介质均不带电。因为电介质极化产生的电荷不能离开介质，也不能在电介质内部自由移动，处于束缚状态，无论是取向极化还是位移极化，当外电场撤消后，极化现象也随之消失，由于分子的热运动，电介质对外不显电性。若换成导体放入电场中，导体中的自由电子将在电场力作用下逆着外电场方向运动，导体一端因自由电子的积聚出现负电荷，另一端因自由电子的缺失显现正电荷，分开后，一块导体带正电，另一块带负电。5-25 设在外电场的作用下电介质的某处场强为0.15107 NC-1，电介质的介电常数为10-10 C2N-1m-2，求无电介质时该处的场强是多少? 解: 设外电场（即无电介质时）的场强为E0，放入电介质后，电介质内部的总场强E是外电场与极化电场之和。由E = E0/r 和 = 0 r 可得E0 = E / 0已知： E =0.15107 NC-1， =10-10 C2N-1m-2，0 =8.854210-12 C2N-1m-2，代入上式得5-26 平行板电容器的极板面积为S，间距为d，将电容器充电后，注入相对介电常数为r 的电介质，问以下两种情况时，注入电介质前后电容器所带电荷Q，场强E，两板间电压U，电容C和电场能量密度we 有何变化?（1）注入电介质时电容器仍在电源上；（2）注入电介质时电容器已与电源断开。 答: 注入电介质时电容器在电源上，这时两极板之间的电势差U不变，即注入电介质前的电势差U前 等于注入电介质后的电势差U后 （U前 =U后）。根据电容器的电容的定义式C=S d可知C前 =0 S/ d， C后 = S /d=0 r S/ d = r C前 而Q=CU，Q后 =C后 U后 =r C前 U前 =r Q前 ，由E=U/d可得E后 =U后/d=U前/d=E前 由能量密度公式w =E2/2 得w后 =0 r E2后/2 =r（0 E2后/2）=r w前 其中w前 =0 E2后/2。注入电介质时电容器已与电源断开，这时Q前 =Q后，即电容器所带电量不变，而C后 =S/ d=0 r S/ d=r C前，由U=Q/C可得U后 =Q后/C后 =Q后/(r C前)= Q前/r C前 = U前/r根据E=U/ d可得E后 =U后/d=U前/r d=E前/r 由能量密度公式w = E2/2 得，w后 = 0 r E2后/2 =0r (E前/r )2/2 = (0E前/2 )2/r = w前/r5-27 真空中一半径为R，电荷为Q的导体球，求其电场的总能量。 解: 根据静电平衡条件，可知电荷Q一定均匀地分布在导体球的表面上。根据高斯定理可求得均匀带电球面的场强分布为由能量密度公式w =E2/2可知，在球内因E=0，故球内电场的能量为零。由上式和能量密度公式可得，球外电场的能量密度为取一个与球同心的球壳，其半径为r，厚度为dr，则它的体积为dV=4r2dr，体积元dV内的电场能量dW=wdV= q2 dr/( 80 r2)，所以其电场的总能量为5-28 在温度为37时，带一个正电荷的某离子在细胞膜内外的浓度分别为10molm-3 和160molm-3，求膜内外平衡电位，并指出何侧电位高?解: 已知t =37，Z=+1，Ci =10molm-3，Co =160molm-3，由细胞膜电位公式可得膜内的电位为膜内电位高于膜外电位。5-29 在某一细胞中，Cl 在37时的平衡电位为80mV，如果在细胞外Cl 浓度为110molm-3，那么在细胞内的浓度是多少? 解: t =37，Z =1，C0 =110molm-3，Ui =80mV，代入细胞膜内电位公式， 解之得，Ci =5.5molm-3，即细胞膜内Cl 的浓度。5-30 简述心电信号的产生过程。 答: 当心肌细胞处于静息状态时，在其膜的内、外侧分别均匀地分布有等量的正、负离子，形成一闭合曲面的电偶层，对外不显电性，这种状态叫极化。当心肌细胞兴奋时，由于细胞对各种离子的通透性发生了变化，使得在兴奋处膜外的正电和膜内负电逐渐消失，接着，反过来膜内带正电，而膜外带负电，这个过程称为除极，在除极过程中由于电荷不再均匀分布，整个心肌细胞等效为一个电偶极子，其电矩方向与除极的传播方向相同。除极是一个极其短暂的过程，然后细胞又恢复到原来内负外正的带电状态，这个过程称为复极。此时细胞同样相当于一个电偶极子，只是电矩方向与除极时相反。复极结束后细胞恢复到极化状态。可见，心肌细胞的除极和复极过程中，细胞相当于一个电矩变化的电偶极子，在周围空间引起电势的变化，这就是心电信号的产生过程。5-31 心电图与心向量图有什么样的关系? 答: 某一导联得到的心电图是心向量图在该导联轴上的投影，实际上是空间心电向量环经过二次投影形成的。其过程是：首先空间心电向量环在三个互相垂直的平面上，即额面、水平面、右侧面上投影，得到三个平面心电向量环；其次是额面和