怎样求点到平面的距离

怎样求点到平面的距离徐加生在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离。本文总结几种求点到平面距离的常用方法，供参考。一 直接法根据空间图形的特点和性质，找到垂足的位置，直接向平面引垂线，构造可解的直角三角形求解。例1. （1998年全国高考题）已知斜三棱柱的侧面与底面ABC垂直，且；（I）求侧棱与底面ABC所成角的大小；（II）求侧面与底面ABC所成二面角的大小；（III）求顶点C到侧面的距离。图1简析：（I）如图1，取AC中点D，易得侧棱与底面ABC所成的角为。（II）由于底面ABC，过D作于E，连，知，则为所求二面角的平面角。易求得。（III）要求C到平面的距离，可直接作面于，CH的长就是点到平面的距离。关键是怎样求CH的长。注意到，连BH，则由三垂线定理得，即为二面角的平面角。由（II）知，所以为所求。注：此法的关键是要找到可解的直角三角形来求解。二. 找垂面法找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段。例2. 正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，的中点为D。（1）求证平面；（2）求点B到平面的距离。图2简析：（1）连与相交于O，连DO。由三角形中位线定理易得，则。（2）由于O为的中点，所以点B到平面的距离等于点到平面的距离。由，得，又，所以面，交线为AD（找到了垂面）。过作于H，则，所以的长度就是点到平面的距离。在中，所以点B到平面的距离为。三. 转化法当由点向平面引垂线发生困难时，可利用线面平行或面面平行转化为直线上（平面上）其他点到平面的距离。例3. （1991年全国高考题）已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。简析：如图3，连AC分别与BD相交于O，与EF相交于H，由EF/BD，得BD/平面EFG。所以O到平面EFG的距离就是B到平面EFG的距离。易证平面平面GEF，交线为GH。在中，过O作于K，则OK长就是B到平面EFG的距离。利用相似三角形，易得。图3四. 等积法即利用三棱锥的换底法,通过积体计算得到点到平面的距离.本法具有设高不作高的特殊功效，减少了推理，但计算较为复杂。例4. 同例3。简析：设B到面EFG的距离为h，由于，所以另一方面，所以，得即为B到平面GEF的距离。五. 坐标向量法通过建立空间直角坐标系，用空间向量求模长的知识可求得点到平面的距离。例5. （2003年江苏高考题）如图4，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，侧棱，D、E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G。（I）求与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（II）求点A1到平面AED的距离。图4简析：（I）易知为与平面ABD所成的角。不难求出。（II）分别以CA、CB、为x轴、y轴、z轴，建立如图4所示的空间直角坐标系。设，则A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1），（2a，0，2），E（a，a，1）， ，所以由，解得。所以A（2，0，0），（2