【2018新课标-高考必考知识点-教学计划-教学安排-教案设计】高一数学：用三角形法则与平行四边形法则解向量

1 高中数学 巧用三角形法则与平行四边形法则解向量问题 编稿老师 王应祥 一校 杨雪 二校 安宁 审核 隋冬梅 1. 三角形法则 （1）向量加法的三角形法则要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的 终点为起点。可以推广到 n 个向量相加的情况：AEDECDBCAB（注意字母必 须首尾顺次连接首尾） 。 （2）向量减法的三角形法则，可以归纳为“共起点，箭头由减数指向被减数共起点，箭头由减数指向被减数”。 2. 平行四边形法则 如图， 作,bOBaOA 以OA，OB为边作平行四边形 OACB， 连接 BA， 则,BAab OCab 3. 几何意义：一般地|ab|a|b|； 当a与b不共线时，|ab|a|b|； 当a与b共线且同向时，|ab|a|b|； 当a与b共线且反向时，|ab|a|b|。 例题例题 1 已知正方形 ABCD 的边长为 1，,ABa ACcBCb ，则|abc 为 （ ） A. 0 B. 3 C. 2 D. 2 2 解析：解析：由正方形的边长为 1，可得正方形的对角线 AC 长为2，|abc 22 2ABBCACACACAC 答案：答案：D 点拨：点拨：题目若用数量积公式，显然运算量大，而利用加法的几何意义，则迎刃而解。 例题例题 2 已知abab，求aab与的夹角。 解析：解析：根据三角形法则，设,OAa OBb由abab可知OAB是等边三角 形， 由平行四边形法则且ab， 则可知ab平分BOA， 所以aab与的夹角为 30。 2 点拨：点拨：考虑到向量的模为线段的长度及三角形减法的几何意义，abab可推 出三角形是等边三角形，是解决问题的关键。 例题例题 3 已知ABC 和点 M 满足0MAMBMC，若存在实数 m 使得 ABACmAM成立，则 m_。 解析：解析：由题目条件可知，M 为ABC 的重心，连接 AM 并延长交 BC 于 D， 则AM 2 3 AD， 因为 AD 为中线，则2ABACADmAM，即2ADmAM， 联立可得 m3。 答案：答案：3 点拨：点拨： 本题考查平面向量基本定理及向量的加法法则， 解题的关键是确定点 M 是ABC 的重心。 向量法突破三点共线问题向量法突破三点共线问题 1. 若点 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内的任意一点，则OP 1 2 （OAOB） ，如图所 示。 2. 三点共线的性质定理： （1）若平面上三点 A、B、C 共线，则ABBC。 （2）若平面上三点 A、B、C 共线，O 为不同于 A、B、C 的任意一点，则OCOA OB，且R,，1。 【满分训练满分训练】 O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 ()OPOAABAC，0，），则 P 的轨迹一定通过ABC 的_心。 解析：解析：设 BC 中点为 D，则 AD 为ABC 中 BC 边上的中线且2ABACAD， ()OPOAABAC，(),()2OPOAABAC APABACAD， / /APAD，A、P、D 三点共线，所以点 P 一定过ABC 的重心。 答案：答案：重 点拨：点拨：题目主要考查向量共线的充要条件及向量加法、减法的运算，注意到运算的几何 意义是解决问题的关键。 3 （答题时间：（答题时间：30 分钟）分钟） 1. 若 O、E、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ） A. EFOFOE B. EFOFOE C. EFOFOE D. EFOFOE 2. 设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外， 2 BC16，ABACABAC， |则AM|等于（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 3. O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足OPOA （ |AC AC AB AB ） ，),0，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 4. 点P在平面上做匀速直线运动，速度向量(4, 3)v （即点P的运动方向与v相同， 且每秒移动的距离为v个单位） ，设开始时点P的坐标为（10，10） ，则 5 秒后点P的坐 标为（ ） A.（2，4） B.（30，25） C.（10，5） D.（5，10） 5. 设平面向量 1 a、 2 a、 3 a的和为零向量，如果向量 1 b、 2 b、 3 b，满足2 ii ba ，且 i a顺时 针旋转30o后与 i b同向，其中1,2,3i ，则（ ） A. 123 0bbb B. 123 0bbb C. 123 0bbb D. 123 0bbb 6. 如下图， 两块斜边长相等的直角三角板拼在一起， 若ADxAByAC， 则 x_， y_。 7. 5,12,abab则的最小值为_，ab的最大值为_。 8. 在矩形 ABCD 中，| AB|1， AD2，设,ABa BCb BDc则|abc| _。 9. 一艘船从 A 点出发以 2 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速 度大小为 4km/h，求水流的速度。 10. 若点 O 是ABC 所在平面内的一点， 且满足2OBOCOBOCOA， 则ABC 的形状为_。 11. 如设点 O 在ABC 内部，且有OCOBOA40，求ABC 与OBC 的面积之 比。 12. 设 G、 H 分别为非等边三角形 ABC 的重心与外心， A （0， 2） ， B （0， 2） 且G HA B （R） 。 （1）求点 C（x，y）的轨迹 E 的方程； 4 （2）过点（2，0）作直线 L 与曲线 E 交于点 M、N 两点，设ONOMOP，是否 存在这样的直线 L，使四边形 OMPN 为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说 明理由。 5 1. B 解析：由减法的三角形法则知EFOFOE。 2. C 解析：由 2 16,4,4BCBCABACABACCB，而ABAC 2,2AMAM。 3. B 解析： | AB AB 表示AB方向上的单位向量， | AC AC 表示AC方向上的单位向量， ABAC | AC| AC| 在BAC 的平分线上，故 P 点的轨迹过三角形的内心。 4. C 解析：设 5 秒后点 P 运动到点 A，则5(20, 15)PAPOOAV， (20, 15)( 10,10)OA （10，5） 。 5. D 解析：方法一： 123 0aaa， 123 2220.aaa 故把 2 i a （i1，2，3） ，分 别按顺时针旋转 30 后与 i b重合，故 123 0bbb，应选 D。 方法二：令 1 a0，则 2 a 3 a ，由题意知 2 b 3 b ，从而排除 B，C，同理排除 A，故 选 D。 6. 1 3 2 3 2 解析： 作 DFAB 交 AB 的延长线于 F， 设 ABAC1BCDE2， DEB60 ，BD 6 2 ，由DBF45 ， 得 DFBF 6 2 2 2 3 2 ，所以 33 , 22 BFAB FDAC 所以 33 (1) 22 ADABBFFDABAC 7. 7 17 解析：由ababab，又5,12,17abab则7 故最小值为 7，最大值为 17。 8. 4 解析：根据向量的三角形法则有|abc|ABBCBD2 AD4。 9. 解：如图， 设船在静水中的速度为 v123km/h，实际航行的速度为 v04km/h， 水流的速度为 v2，则由 v12v22v02，得（23） 2v 2 242，v 2 2，取 v22km/h， 6 即水流的速度为 2km/h。故答案为：2km/h。 10. 直 角 三 角 形 解 析 ：2OBOCOAOBOA OCOAABAC， OBOCCBABAC，ABACABAC 故 A，B，C 为矩形的三个顶点，ABC 为直角三角形。 11. 解：取 BC 的中点 D，连接 OD， 则ODOCOB2，OCOBOA40，)(4OCOBOAOD2， ODOA 2 1 。 O、A、D 三点共线，且|OD|2|OA|，O 是中线 AD 上靠近 A 点的一个三等分点， SABCSOBC32。 12. 解： （）由已知得( ,) 3 3 x y G，又GHAB，( ,0) 3 x H CHHA 222 ()( )4 33 xx xy即 22 1(2 3) 124 xy x ； （2）设 l 方程为 yk（x2） ，代入曲线 E 得（3k21）x212k2x12（k21） 0 设 N（x1，y1