第4章动态电路的时域分析法.ppt

2020/5/28,1,第四章动态电路的时域分析法,1.熟练掌握换路定则和电路初始值的求法；2.掌握一阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应的概念和物理意义；3.会计算和分析一阶动态电路(重点是三要素法)；4.了解二阶电路零输入响应的概念和物理意义；6.会计算一阶电路的阶跃响应。,内容提要与基本要求,2020/5/28,2,重点,(1)动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定；(2)一阶电路时间常数的概念与计算；(3)一阶电路的零输入响应和零状态响应；(4)求解一阶电路的三要素法；,2020/5/28,3,难点,(1)应用基尔霍夫定律和电感、电容的元件特性建立动态电路方程；(2)电路初始条件的概念和确定方法；(3)二阶电路的过阻尼、欠阻尼及临界阻尼放电过程分析方法和基本物理概念。,与其它章节的联系,本章讨论的仍是线性电路，因此前面讨论的线性电路的分析方法和定理全部可以用于本章的分析中。第4章讨论的线性电路的正弦稳态响应就是动态电路在正弦激励下的稳态分量的求解。,一.电容元件,把两块金属极板用介质(如云母、绝缘纸、电解质、空气等)隔开就构成一个电容器。由于理想介质不导电，所以在外电源作用下，两块极板上能分别存贮等量的异性电荷。外电源撤走后，这些电荷依靠电场力的作用互相吸引，能长久地存贮在极板上。因此，电容器是一种能储存电荷的器件。在电荷建立的电场中贮藏着能量，也可以说电容器是一种储存电场能量的器件。电容元件是实际电容器的理想化模型。,4-1动态元件,线性电容元件的图形符号：,文字符号或元件参数：C,1.若电压正极所在的极板上储存的电荷为+q,C是一个正实常数，单位是F（法）。,则有：q=Cu,库伏特性是一条通过原点的直线。,2.若C的i、u取关联参考方向,电容是一个动态元件，有“隔直通交”的作用。逆变换为,则有：,i=,dq,dt,=,d(Cu),dt,当C为常数时,通过C的电流与电压的变化率成正比！,q(t)=,t,-,i(x),dx,=,t0,-,i(x),dx,+,t,t0,i(x),dx,指定t0=0为计时起点,q(t)=q(0),+,t,0,i(x),dx,线性电容元件总结,图形符号：,文字符号或元件参数：C,伏安特性：,单位：1F=106mF=1012pF,储能元件：,动态、记忆、储能、无源元件,库伏特性：q=Cu,三.电感元件,实用的电感器是用铜导线绕制成的线圈。,在高频电路中，常用空心或带有铁氧体磁心的线圈。在低频电路中，如变压器、电磁铁等，则采用带铁心的线圈。1.线圈通以电流i后将产生磁通L。,若L与N匝线圈交链，则磁通链L=NL。,L和L都是由线圈本身的电流产生的，叫做自感磁通和自感磁通链。,2.自感磁通链与元件中电流的关系为：YL=LiL自感系数或电感。L是一个正实常数。,YL和FL的单位用Wb(韦)，i的单位用A，L的单位是H(亨)。有时还采用mH和H作为L的单位。,线性电感元件的图形符号,文字符号或元件参数L,韦安特性,3.伏安关系/功率/磁场能量,i与u为关联参考方向，与L成右手螺旋关系。逆关系为：,把YL=Li代入,i=,L,1,-,t,u,dx,=,L,1,-,t0,u,dx,+,L,1,t0,t,u,dx,或者：,YL=,YL(t0),+,t0,t,u,dx,动态元件,t0时刻的电流i(t0),记忆元件,线性电感元件总结,图形符号：,文字符号或元件参数：L,伏安特性：,单位：1H=103mH=106mH,储能元件：,动态、记忆、储能、无源元件,韦安特性：YL=Li,2020/5/28,12,4-2电压和电流初始值的计算,自然界事物的运动，在一定的条件下有一定的稳定状态，当条件发生变化时，就要过渡到新的稳定状态。从一种稳定状态转换到另一种新稳定状态时，往往不能跃变，而是需要一定的时间，或者说需要一个过程，在工程上称为过渡过程。如：冰融化成水、汽车的加速与减速等。,引言,电路中也有过渡过程，电路的过渡过程有时虽然短暂，但在实践中却很重要。,2020/5/28,13,例：电阻电路,含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。,1.动态电路,当动态电路状态发生改变时（称之为换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。,2020/5/28,14,例：电容电路,S接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态：,S未动作前，电路处于稳定状态：,i=0,uC=US。,i=0,uC=0。,?,有一个过渡期,前一个稳定状态,新的稳定状态,i,新稳定状态等效电路,2020/5/28,15,例：电感电路,S接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路：,S未动作前，电路处于稳定状态：,uL=0,i=0,uL=0。,US,R,新稳定状态等效电路,i=,2020/5/28,16,换路的概念,电路结构、状态发生变化,电路内部含有储能元件L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。,支路接入或断开,电路参数改变,过渡过程产生的原因,2020/5/28,17,2.动态电路的方程,若以电流为变量：,以电压为变量，应用KVL和电容元件的VCR得：,Ri+uC=uS,i=C,duC,dt,RC,duC,dt,+uC=uS,Ri+uC=uS,uC=,1,C,idt,R,di,dt,+,i,C,=,duS,dt,例如RC串联电路。,2020/5/28,18,再如RL串联电路。,若以电压为变量：,以电流为变量，应用KVL和电感元件的VCR得：,Ri+uL=uS,uL=L,di,dt,L,di,dt,+Ri=uS,Ri+uL=uS,i=,1,L,uLdt,R,L,uL+,duL,dt,=,duS,dt,含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称一阶电路。,小结,2020/5/28,19,再看RLC串联电路,含有二个动态元件的线性电路，其电路方程为二阶线性常微分方程，称二阶电路。,描述动态电路的电路方程是微分方程；,动态电路方程的阶数通常等于电路中动态元件的个数。,电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。,应用KVL和元件的VCR得,结论,2020/5/28,20,动态电路的分析方法,(1)首先是根据KVL、KCL和VCR建立微分方程，然后是求解微分方程。(2)分析的方法有：,时域分析法，包括经典法、状态变量法、卷积积分、数值法。复频域分析法，包括拉普拉斯变换法、状态变量法、付氏变换。,工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。,2020/5/28,21,3.电路的初始条件,(1)t=0+与t=0-的概念,0+：换路后一瞬间。,认为换路在t=0时刻进行。,0-：换路前一瞬间。,f(0-)=limf(t),t0t0,f(0+)=limf(t),t0t0,0-,0+,f(0-)f(0+),明确：,i及其各阶导数的值。,在动态电路分析中，,初始条件为t=0+时，u、,初始条件是得到确定,解答的必需条件。,2020/5/28,22,(2)电容的初始条件,当i()为有限值，此项为0。,结论：换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。,q(t)=,t,-,i(x)dx,=,0-,-,i(x)dx,+,t,0-,i(x)dx,=q(0-)+,t,0-,i(x)dx,当t=0+时,q(0+)=q(0-)+,0+,0-,i(x)dx,所以，在换路瞬间有：,q(0+)=q(0-),q=Cu，C不变时有：,uC(0+)=uC(0-),电荷守恒,体现,2020/5/28,23,(3)电感的初始条件,用同样的方法可得：,结论：换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。,在换路瞬间有：Y(0+)=Y(0-),Y=Li，L不变时有：,iL(0+)=iL(0-),磁链守恒,(4)换路定律！,q(0+)=q(0-),uC(0+)=uC(0-),Y(0+)=Y(0-),iL(0+)=iL(0-),注意：电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。,体现,换路定律反映了能量不能跃变。,2020/5/28,24,(5)初始值的计算,解,t=0-时刻等效的电路,求电路在开关闭合瞬间各支路电流和电感电压。,由t=0-时刻的电路计算uC(0-)和iL(0-)。,iC(0-)=0，C视为开路。,iL(0-)=12A，,uC(0-)=24V,iL(0+)=iL(0-)=12A,uC(0+)=uC(0-)=24V,由等效电路算出,uL(0-)=0，L视为短路。,由换路定律,2020/5/28,25,由t=0+时刻的等效电路求各电压电流。电感用电流源替代，电容用电压源替代，画出t=0+的等效电路。,iC(0+)=,48-24,3,=8A,uL(0+)=,48-212,=24V,i(0+)=iL(0+)+iC(0+),=12+8=20A,t=0+时刻的等效电路,iL(0+)=iL(0-)=12A,uC(0+)=uC(0-)=24V,2020/5/28,26,注意,t=0-时刻的等效电路,t=0+时刻的等效电路,iL(0+)=iL(0-)=12A,uC(0+)=uC(0-)=24V,iC(0+)=8AiC(0-),uL(0+)=24VuL(0-),i(0+)=20Ai(0-),2020/5/28,27,小结：求初始值的步骤,由换路前电路（稳定状态）求uC(0)和iL(0)；,由换路定律得uC(0+)和iL(0+)；,画0+等效电路；,由0+电路求所需各变量的0+值。,b.电容用电压源替代，电感用电流源替代。,a.指换路后的电路。,c.取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、,电感电流方向相同。,2020/5/28,28,解题指导1：求iC(0+),uL(0+),解：由0电路和换路定律得,iL(0+)=iL(0)=iS,uC(0+)=uC(0)=RiS,uL(0+)=-RiS,iC(0+)=iS-,RiS,R,=0,由0+电路得,画0+等效电路。,2020/5/28,29,解题指导2：求S闭合瞬间流过它的电流值。,解：,确定0值,给出0等效电路,iL(0+)=iL(0-)=,20,20,=1A,uC(0+)=uC(0-),iS(0+)=,20,10,+,10,10,-1,=2A,uL(0+)=iL(0+)10=10V,iC(0+)=-,10,uC(0+),=-1A,=20-101=10V,2020/5/28,30,一阶电路的分析方法经典法列写电路的微分方程，求解电流和电压。是一种在时间域中进行的分析方法。典型电路分析法记住一些典型电路(RC串联、RL串联、RC并联、RL并联等)的分析结果，在分析非典型电路时可以设法套用。,4-3一阶电路的零输入响应,三要素法只要知道一阶电路的三个要素，代入一个公式就可以直接得到结果，这是分析一阶电路的最有效方法。,典型电路,2020/5/28,31,零输入响应,换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能产生的电压和电流。,1.RC电路的零输入响应,i=-C,duC,dt,所以,duC,dt,RC,+uC=0,由VCR得：uR=Ri，,由KVL得：-uR+uC=0,uC(0+)=U0,p=-,RC,1,特征根,特征方程：RCp+1=0,通解为,2020/5/28,32,uC=Ae,得：uC=U0e,t0,代入初始值：uC(0+)=uC(0-)=U0,i=,R,uC,=,R,U0,e,=I0,e,或者由：,i=-C,duC,dt,求出。,(1)电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；,表明：,连续函数,跃变,2020/5/28,33,令=RC，称为一阶电路的时间常数。,(2)响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关；,=RC=欧法=欧,库,伏,=欧,安秒,伏,=秒,反映电路过渡过程时间的长短。,即：大过渡过程时间长，,的物理含义,电压初值一定：,R大(C一定)i=u/R放电电流小,放电时间长。,C大(R一定)W=Cu2/2储能大,小过渡过程时间短。,2020/5/28,34,注意：,：是电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。工程上认为，经过35时间，过渡过程结束。,的几何意义,次切距的长度等于时间常数,以该点的斜率为固定变化率衰减，,经过时间为零值。,2020/5/28,35,次切距的长度等于时间常数：,M,a,Q,tana,=,uC(t1),-,duC,dt,t=t1,=,t,1,=t,t=t2-t1,任取一点P，,通过P点作切线PQ。,2020/5/28,36,(3)能量关系,电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕。,设uC(0+)=U0,则电容放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,2,1,CU0,2,WR=,0,Ri2dt,=,0,R(,U0,R,e,)2dt,=,U0,R,2,(-,RC,2,e,2t,RC,-,),0,=,2,1,CU0,2,2020/5/28,37,例1：电路如图，电容原充有24V电压，求S闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。,解这是一个求一阶,RC零输入响应问题。,t0,有：uC=U0e,t0,U0=24V，RC=45=20s,所以：uC=24e,20,-,t,Vt0,i1=,4,uC,=6e,A,分流：,i2=,3,2i1,=4e,A,i3=,3,i1,=2e,A,2020/5/28,38,例2求：(1)图示电路S闭合后各元件的电压和电流随时间变化的规律，(2)电容的初始储能和最终时刻的储能及电阻的耗能。,u1(0-)=4V，u2(0-)=24V。,解：(1)仍是一阶RC零输入响应问题,C1+C2,C1C2,C=,5+20,=,520,=4mF,t0,uC(0+)=uC(0-),=-u1(0-)+u2(0-)=20V,t=RC=250103410-6=1s,所以：u=uC=20e-tVt0,i=,250103,u,=80e-tmA,2020/5/28,39,例2求：(1)图示电路S闭合后各元件的电压和电流随时间变化的规律，(2)电容的初始储能和最终时刻的储能及电阻的耗能。,u1(t)=u1(0)+,t,0,i(x)dx,C1,1,u1(0-)=4V，u2(0-)=24V。,i=80e-tmA,=4+,t,0,80e-tdt,5,1,=(20-16e-t)V,=24-,t,0,80e-tdt,20,1,=(20+4e-t)V,u=20e-tVt0,u1()=20V，u2()=20V。,uC()=u2()-u1()=0,2020/5/28,40,例2求：(1)图示电路S闭合后各元件的电压和电流随时间变化的规律，(2)电容的初始储能和最终时刻的储能及电阻的耗能。,u1(0-)=4V，u2(0-)=24V。,i=80e-tmA,u=20e-tVt0,(2)初始储能,W1=,2,1,510-642=40mJ,W2=,2,1,2010-6242=5760mJ,最终储能,共5800mJ,=,2,1,(5+20)10-6202=5000mJ,W1+W2,电阻耗能,WR=,0,Ri2dt,=800mJ,2020/5/28,41,2.RL电路的零输入响应,解之得：i=I0e,L,-,R,i(0+)=i(0-)=,U0,R0,di,dt,L,+Ri=0(t0),=I0,t,(t0),uL=-I0Re,(1)电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；,表明：,连续函数,跃变,2020/5/28,42,令=L/R，称为一阶RL电路时间常数。,(2)响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关；,的大小反映了电路过渡过程时间的长短：,L大,放电慢，大。,大过渡过程时间长，,小过渡过程时间短。,物理含义,电流初值iL(0)一定：,=,亨,欧,=,韦,安欧,=,伏秒,安欧,=秒,R小P=Ri2放电过程消耗能量小,W=,2,1,LiL,2,起始能量大,2020/5/28,43,(3)能量关系,电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕。,设i(0+)=I0,则电感放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,2,1,LI0,2,WR=,0,Ri2dt,=,0,R(I0e,R,L,-,t,)2dt,=I0,L,2R,e,2Rt,L,-,),0,=,2,1,LI0,2,2,R(-,2020/5/28,44,例题分析,试求：t；i(0+)和i(0-)；i(t)和uV(t)；uV(0+)。,造成电压表损坏。,t=,R+RV,L,=,0.189+5103,0.398,=79.6(ms),i(0-),R,U,=,0.189,35,=185.2A,i(t)=185.2e-12560tA,uV(t)=-RVi(t)=-926e-12560tkV,uV(0+)=926kV!,实践中，要切断L的电流，必须考虑磁场能量的释放问题。,解：,i(0+)=i(0-)=185.2A,2020/5/28,45,小结,一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数；,f(t)=f(0+)e,RC电路：uC(0+)=uC(0-),RL电路：iL(0+)=iL(0-),衰减快慢取决于时间常数；,RC电路：=RC，,RL电路：=,R,L,一阶电路的零输入响应与初始值成正比，称为零输入线性。,同一电路中所有响应具有相同的时间常数；,R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。,2020/5/28,46,4-4一阶电路的零状态响应,零状态响应：在动态元件初值为0的状态下，由t0电路中外施激励引起的响应。,1.RC电路的零状态响应,常系数非齐次线性方程,解答形式：uC=uC+uC,uC(0-)=0,方程：,uC为非齐次方程特解：,uC=US,称强制分量。,这是电路的稳态解，,称稳态分量。,由于该分量与输入激励,的变化规律有关，故又,2020/5/28,47,uC为齐次方程通解：,解答形式：uC=uC+uC,方程：,特解：uC=US,uC=Ae,随着时间的推移，将消失，故称暂态分量。,由于其变化规律由电路结构和参数决定，故又称自由分量。,零输入也是这一规律。,全解：uC=US+Ae,由初始条件uC(0+)=0,得：A=-US,uC=US-USe,=US(1-e,),(t0),i=C,duC,dt,=,US,R,e,2020/5/28,48,表明,电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；,稳态分量(强制分量)+暂态分量(自由分量),电容电压由两部分构成：,跃变,2020/5/28,49,电源提供的能量：,电阻吸收的能量：,W=,0,USi(t)dt,=USq=CUS,2,WR=,0,i2(t)Rdt,=,2,1,CUS,2,t=RC,结果表明：电源提供的能量一半转换为电场能量存储于C中，另一半在充电过程中消耗在R上。不论RC的值是多少，充电效率总是50%。,响应变化的快慢，由时间常数=RC决定；大充电慢，小充电就快。,响应与外加激励成线性关系；,能量关系,电容存储的能量：,WC=,2,1,CUS,2,2020/5/28,50,=0.2e-200tA,例：t=0时，开关S闭合，已知uC(0)=0，求(1)电容电压和电流；(2)uC=80V时的充电时间t。,解：(1)这是一个RC电路零状,态响应问题，有：,=RC=50010-5=510-3s,=100(1-e-200t)V,(t0),i=C,duC,dt,=10-5100200e-200t,(2)设经过t1秒，uC=80V,80=100(1-e-200t1)V,t1=8.045ms,2020/5/28,51,2.RL电路的零状态响应,(1)激励是恒定直流换路前：iL(0+)=iL(0-)=0,换路后：iR+iL=IS,iR=,uL,R,=,L,R,diL,dt,L,R,diL,dt,+iL=IS,L,R,t=,解得：,式中：,uL=L,diL,dt,=RISe,(t0),2020/5/28,52,(2)激励是正弦电压,设us=Umcos(wt+yu),则L,di,dt,+Ri,=Umcos(wt+yu),通解：,i=Ae,特解的形式：,i=Imcos(wt+q),把i代入微分方程：,Im、q为待定系数。,RImcos(wt+q),-wLImsin(wt+q),=Umcos(wt+yu),Im|Z|cos(wt+q+j),=Umcos(wt+yu),式中,比较得：,Im=,Um,|Z|,q=yu-j，,2020/5/28,53,特解：i=Imcos(wt+q),cos(wt+yu-j),|Z|,Um,i=,cos(wt+yu-j),+Ae,由i(0+)=i(0-)=0定出：,A=-,cos(yu-j),|Z|,Um,i=,cos(wt+yu-j),-,cos(yu-j)e,全解：,稳态分量i是与外施激励同频率的正弦量,暂态分量i随时间的增长衰减为零。,R上的电压uR=Ri,=,2020/5/28,54,讨论,(1)若S闭合时yu-j=90o，,则i=0。,说明电路不发生,过渡过程而立即进入稳态。,2020/5/28,55,当t很大时，i衰减缓慢。在yu=j时闭合S，约过半个周期，iL的最大瞬时值(绝对值)将接近稳态振幅的两倍。,过渡中的最大瞬时值,可见，电路的过渡过程与S动作的时刻有关。,(2)若S闭合时yu=j,|Z|,Um,i=,coswt,-,e,2020/5/28,56,例：t=0开关打开，求t0后iL、uL及u。,解：这是RL电路零状态响应问题，先化简电路。,(t0),L,Req,t=,=,2,20,=0.1s,=(1-e-10t)A,=ReqIsce,=20e-10tV,u=5IS+10iL+uL,=(20+10e-10t)V,iL(0+)=iL(0-)=0,t,diL,dt,+iL=Isc,Req=20W，Isc=1A。,2020/5/28,57,4-5一阶电路的全响应,1.全响应：电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。,uC(0+)=uC(0-)=U0,uC=US,+(U0-US)e,(1)着眼于电路的两种工作状态看成是稳态分量(强制分量)与暂态分量(自由分量)之和。,=,+,2.全响应的两种分解方式,强制分量,自由分量,物理概念清晰。,2020/5/28,58,(2)着眼于因果关系,=,+,此种分解方式便于叠加计算，体现了线性电路的叠加性质。,=,+,2020/5/28,59,(1)在恒定激励下,f(t)=f()+f(0+)-f()e,由初始值、稳态值和时间常数三个要素决定。,全响应=稳态分量+暂态分量,说明一阶电路的响应,uC=US,+(U0-US)e,f(0+)是初始值，用t=0+的等效电路求解。,f()是稳态值，用t的稳态电路求解。,t是时间常数。,4-6一阶电路的三要素法,：代表一阶电路中任一电压、电流函数,式中,1.在直流电源激励的情况下，一阶线性电路微分方程解的通用表达式：,利用求三要素的方法求解暂态过程，称为三要素法。一阶电路都可以应用三要素法求解，在求得、和的基础上,可直接写出电路的响应(电压或电流)。,电路响应的变化曲线,三要素法求解暂态过程的要点,(1)求初始值、稳态值、时间常数；,(3)画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线。,(2)将求得的三要素结果代入暂态过程通用表达式；,求换路后电路中的电压和电流，其中电容C视为开路,电感L视为短路，即求解直流电阻性电路中的电压和电流。,(1)稳态值的计算,响应中“三要素”的确定,例：,1)由t=0-电路求,在换路瞬间t=(0+)的等效电路中,注意：,(2)初始值的计算,1)对于简单的一阶电路，R0=R;,2)对于较复杂的一阶电路，R0为换路后的电路除去电源和储能元件后，在储能元件两端所求得的无源二端网络的等效电阻。,(3)时间常数的计算,对于一阶RC电路,对于一阶RL电路,注意：,R0的计算类似于应用戴维宁定理解题时计算电路等效电阻的方法。即从储能元件两端看进去的等效电阻，如图所示。,2020/5/28,67,*(2)在正弦电源激励下（不要求）,f(t)=f(t)+f(0+)-f(0+),f(t)：换路后的稳态响应(特解)，,f(0+)：是稳态响应f(t)的初始值。,求f(t)的方法是待定系数法,是与激励同频率的正弦量；,f(0+)：是初始值，用t=0+等效电路求解。,t：时间常数。,或相量法(第4章)。,例1：,电路如图，t=0时合上开关S，合S前电路已处于稳态。试求电容电压和电流、。,(1)确定初始值,由t=0-电路可求得,由换路定则,解题指导,(2)确定稳态值,由换路后电路求稳态值,(3)由换路后电路求时间常数,uC的变化曲线如图,用三要素法求,S,9mA