第7章 无限脉冲响应数字滤波器的设计.ppt

第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计,2020/5/28,2,本章介绍无限脉冲响应(IIR)数字滤波器,本章介绍下面的内容数字滤波器的分类；数字低通滤波器的技术指标；低通巴特沃斯滤波器的设计；低通切比雪夫型滤波器的设计；脉冲响应不变法与双线性变换法；低通滤波器转换其它滤波器的方法；IIR滤波器的直接设计方法。,2020/5/28,3,目录,6.1数字滤波器的基本概念6.2模拟滤波器的设计6.3脉冲响应不变法6.4双线性变换法6.5数字低通滤波器的设计6.6数字高通、带通和带阻滤波器的设计6.7IIR数字滤波器的直接设计法,2020/5/28,4,6.1数字滤波器的基本概念,数字滤波器：输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。因此，数字滤波的概念和模拟滤波相同，只是信号的形式和实现滤波的方法不同。正因为有该不同点，数字滤波器具有比模拟滤波器精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不要求阻抗匹配以及实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能等优点。如果要处理的是模拟信号，可通过A/DC和D/AC，在信号形式上进行匹配转换，同样可以使用数字滤波器对模拟信号进行滤波。,2020/5/28,5,数字滤波器的描述,一般情况下，数字滤波器是一个线性时不变离散时间系统，可用差分方程、脉冲响应h(n)、传输函数H(z)及频率响应H(ej)来描述。图6-1示出了所有描述滤波器的方法。这几种描述方式相互关联，从不同方面说明了滤波器的特性。,2020/5/28,6,图6-1数字滤波器的描述方法,2020/5/28,7,设一般差分方程为,或,6-1,一般频率响应为,这样可把传输函数中所有z换成ej，得到频率响应。,2020/5/28,8,还存在如下关系,或,数字滤波器的分类,按照不同的分类方法，有许多种类，但总起来可以分成两大类。一类称为经典滤波器，即一般的滤波器，特点是输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带，通过一个合适的选频滤波器达到滤波的目的。,2020/5/28,9,现代滤波器,对于一般滤波器如果信号和干扰的频带互相重叠，则不能完成对干扰的有效滤除，这时需要采用另一类所谓的现代滤波器，例如维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等最佳滤波器。现代滤波器：可按照随机信号内部的一些统计分布规律，从干扰中最佳地提取信号。本课程仅介绍经典滤波器。一般数字滤波器从功能上分类，和模拟滤波器一样，可以分成低通、高通、带通和带阻等滤波器。它们的理想幅度特性如图6-2所示。,2020/5/28,10,图6-2理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性,2020/5/28,11,这种理想滤波器是不可能实现的，因为它们的单位脉冲响应均是非因果且是无限长的，只能按照某些准则设计滤波器，使之尽可能逼近它，这些理想滤波器可作为逼近的标准。,另外，需要注意的是数字滤波器的传输函数H(ej)都是以2为周期的，滤波器的低通频带处于2的整数倍处，而高频频带处于的奇数倍附近，这一点和模拟滤波器是有区别的。从图6-2还可看出，幅度特性在02间以为中心对称，所以数字滤波器的频率响应一般只画出0部分。数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。,2020/5/28,12,无限脉冲响应滤波器(infiniteimpulseresponsefilter),也称为递归滤波器。滤波器产生新的输出，不但需要过去和现在的输入，还需要过去的输出。如果将差分方程,重新排列，假定a0=1,就可以得到滤波器的简便表达式,=-a1y(n-1)-a2y(n-2)-aNy(n-N)+b0 x(n)-b1x(n-1)+bMx(n-M),6-2,2020/5/28,13,因为新的输出依赖于以前的输出，所以这种滤波器方程是递归的。而递归滤波器既用到系数ak,又用到系数bk，使得滤波器形状设计有许多灵活性。ak系数的存在意味着递归滤波器有无限项的脉冲响应。因此，递归滤波器也指的是无限脉冲响应(IIR)滤波器。,例6-1求递归滤波器y(n)=0.8y(n-1)+(n)的脉冲响应解：用h(n)代替y(n),(n)代替x(n)，则可由下列式求得脉冲响应：h(n)=0.8h(n)+(n),表6.1和图6-3中给出了前六个脉冲响应采样值。,2020/5/28,14,图6-3例6-1的脉冲响应,表6.1例6-1中的脉冲响应,图6-3例6-1的脉冲响应,2020/5/28,15,因为系统稳定，所以输出h(n)随增大而减小。,一般递归滤波器的传输函数为：,6-3,递归滤波器的极点由分母多项式所确定。这意味着不能保证递归滤波器是稳定的。事实上，稳定性检验是许多递归滤波器设计软件中的重要部分。有限脉冲响应滤波器(finiteimpulseresponsefilter)也称非递归滤波器，新的输出仅取决于过去的输入，而与过去的输出无关。它们是一般差分方程的特例，对于非递归滤波器，差分方程具有如下形式,2020/5/28,16,y(n)=b0 x(n)+b1x(n-1)+b2x(n-2)+bMx(n-M),还可以用求和的方式写为,因为滤波器的输出不依赖于以前的输出，所以非递归滤波器的脉冲响应为有限项。脉冲响应为,6-4,它包括M+1个脉冲函数，系数bk为权系数。由于非递归滤波器具有有限长脉冲响应，所以通常称为有限脉冲响应滤波器(或称FIR滤波器)。,2020/5/28,17,例6-2求出非递归滤波器y(n)=x(n)-0.5x(n-1)+0.3x(n-2)的脉冲响应。,解：脉冲响应可由下式求出：h(n)=(n)-0.5(n-1)+0.3(n-2)表6.2列出了其前五个采样值。差分方程利用了直到过去两步的输入来计算输出。因此仅当脉冲输入处于差分方程范围内时，才有脉冲响应。,表6.2例6-2的脉冲响应,2020/5/28,18,对(6-4)式取z变换可得出滤波器在z域的传输函数,上式还可以写成,6-5,这样，具有M+1个系数bk的FIR滤波器，分子分母多项式均为M次，并且具有M个零点和M个极点。容易看出非递归滤波器只有z=0处有M个极点。由于极点在单位圆内，因此，这种形式的滤波器都是稳定的。,2020/5/28,19,FIR滤波器的设计就是要选择式(6-4)中的系数bk,以便用最少的系数得到所需滤波器特性。FIR在滤波器形状的选择上具有许多灵活性。一般来说，滤波器的滚降越陡峭，需要的系数也就越多。对于FIR滤波器，要得到满意的性能，通常需要100至200个系数。而对于递归波波器，通常需要的系数较少。但是非递归滤波器具有递归滤波器所不具备的某些优点。特别是，非递归滤波器可以保证稳定且有线性相位，可消除通带内的相位失真。,2020/5/28,20,数字滤波器的技术要求,通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(ej)用下式表示H(ej)=|H(ej)|ej式中，|H(ej)|称为幅频特性，()称为相频特性。幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减情况，而相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。因此，即使两个滤波器幅频特性相同，而相频特性不一样，对相同的输入，滤波器输出的信号波形也是不一样的。,2020/5/28,21,一般选频滤波器的技术要求由幅频特性给出，相频特性一般不作要求，但如果对输出波形有要求，则需要考虑相频特性的技术指标，例如，语音合成、波形传输、图像信号处理等。对于图6-2所示的各种理想滤波器，必须设计一个因果可实现的滤波器去实现。另外，也要考虑复杂性与成本问题，因此实用中通带和阻带都允许一定的误差容限，即通带不一定是完全水平的，阻带不一定都绝对衰减到零。此外，按照要求，在通带与阻带之间还应设置一定宽度的过渡带。,2020/5/28,西安建筑科技大学信息与控制学院,22,低通滤波器的技术指标,图6-4表示低通滤波器的幅度特性，p和s分别称为通带截止频率和阻带截止频率。通带频率范围为0p,图6-4低通滤波器的技术指标,2020/5/28,23,实际应用中，通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，通带内允许的最大衰减用p表示，阻带内允许的最小衰减用s表示，p和s分别定义为,将|H(ej0)|归一化为1，(6-6)和(6-7)式则表示成,6-6,6-7,6-8,6-9,2020/5/28,24,当幅度下降到,/2时，=c，此时p=3dB，称c,为3dB通带截止频率。p、c和s统称为边界频率，它们在滤波器设计中是很重要的。图6-5分别画出了增益、分贝增益对频率的曲线，对数字频率，只考虑0范围。图中|H(ej0)|归一化为1，即滤波器的最大增益为1或0dB，其中左图的幅度响应用线性增益|H(ej)|对数字频率的曲线画出。右图的幅度响应用对数形式20lg|H(ej)|对的曲线画出。,2020/5/28,25,图6-5通用滤波器的频率响应,2020/5/28,26,若在c处满足|H(ejc)|=0.707，则20lg|H(ejc)|=-3dB;若在s处满足|H(ejs)|=0.001，则20lg|H(ejs)|=-60dB。从图中可看出，分贝的使用改变了图的形状，采用分贝的优点是在增益变化范围非常大时，可以方便地画在一个图上。数字滤波器的设计方法一般情况下，数字滤波器是一个线性时不变离散时间系统，利用有限精度算法来实现。,2020/5/28,27,数字滤波器的设计一般包括,(1)按照任务的要求，确定滤波器的性能指标；(2)用一个因果稳定的离散线性时不变系统的系统函数去逼近这一性能要求。系统函数有无限长单位脉冲响应(IIR)系统函数及有限长单位脉冲响应(FIR)系统函数两种；(3)利用有限精度算法来实现这个系统函数。这里包括选择运算结构、选择合适的字长以及有效数字的处理方法(舍入、截尾)等。实际的技术实现，包括采用通用计算机软件或专用数字滤波器硬件来实现，或采用专用的或通用的数字信号处理器来实现。,2020/5/28,28,设计IIR数字滤波器一般有以下两种方法,(1)模拟滤波器变换成满足预定指标的数字滤波器的方法。这种方法的特点是方便，因为模拟滤波器已经具有很多简单而又现成的设计公式，并且设计参数已经表格化了，设计起来既方便又准确。(2)计算机辅助设计法。这是一种最优化设计法。先确定一种最优准则，例如设计出的实际频率响应幅度|H(ej)|与所要求的理想频率响应幅度|Hd(ej)|的均方误差最小准则，或它们的最大误差最小准则等，然后求在此最佳准则下滤波器系统函数的系数ak、bk。这种设计一般得不到滤波器系数作为所要求的理想频率响应的闭合形式的函数表达式，而是需要进行大量的迭代运算。,2020/5/28,29,6.2模拟滤波器的设计,模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器，切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Ellipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。这些典型的滤波器各有特点，可以根据具体要求选用不同类型的滤波器。模拟滤波器按幅度特性可分为低通、高通、带通和带阻滤波器，它们的理想幅度特性如图6-6所示。但在设计滤波器时，总是先设计低通滤波器，再通过频率变换将低通滤波器转换成希望类型的滤波器。,2020/5/28,30,图6-6各种理想模拟滤波器的幅频特性,2020/5/28,31,模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法,与数字低通类似，模拟低通滤波器的设计指标有p、p、s和s。其中p和s分别称为通带截止频率和阻带截止频率，p是通带(0p)中的最大衰减系数，s是阻带s的最小衰减系数，p和s一般用dB数表示。对于单调下降的幅度特性，如果=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1，p和s表示为,6-10,6-11,2020/5/28,32,模拟低通滤波器的幅度特性,以上技术指标用图6-7表示。图中c称为3dB截止频率，因|Ha(jc)|=1/，-20lg|Ha(jc)|=3dB。,图6-7模拟低通滤波器的幅度特性,2020/5/28,33,滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数|Ha(j)|2，满足给定的指标p和s，由于滤波器的单位脉冲响应为实数，因此,6-12,式中Ha(s)是模拟滤波器的系统函数，它是s的有理函数，Ha(js)是滤波器的稳态幅度特性。如果能由p、p、s和s求出|Ha(j)|2，那么就可求得所需的Ha(s)。因此幅度平方函数在模拟滤波器的设计中起很重要的作用。上面介绍的典型滤波器都有自己的幅度平方函数表达式，可以直接引用。,2020/5/28,34,现在的问题,由已知的|Ha(j)|2求得Ha(s)。因为脉冲响应ha(t)是实的，因而Ha(s)的极点(或零点)必成共轭对存在。Ha(s)Ha(s)的极点、零点分布如图6-8所示，是成象限对称的。,图6-8Ha(s)Ha(s)的零点、极点分布,2020/5/28,35,零极点分布的进一步分析,由于任何实际可实现的滤波器都是稳定的，因此其系统函数Ha(s)的极点一定落于s的左半平面，所以左半平面的极点一定属于Ha(s)，则右半平面的极点必属于Ha(s)。零点的分布则无此限制，只和滤波器的相位特性有关，如果要求是最小相位延时特性，则应取左半平面零点，如无特殊要求，则可将对称零点的任一半(应为共轭对)取为的零点。,2020/5/28,36,确定Ha(s)的方法,由此看出，由|Ha(j)|2如下：(1)由|Ha(j)|2|2=-s2=Ha(s)Ha(s)得到象限对称的s平面函数；(2)将Ha(s)Ha(s)因式分解，得到各零点和极点。将左半平面的极点归于Ha(s)，如无特殊要求，可取Ha(s)Ha(s)以虚轴为对称轴的对称零点的任一半(应是共轭对)作为Ha(s)的零点，如要求是最小相位延时滤波器，则Ha(s)应取左半平面零点作为Ha(s)的零点。j()轴上的零点或极点都是偶次的，其中一半(应为共轭对)属于Ha(s)。(3)由求出的Ha(s)的零点、极点及增益常数，则可完全确定系统函数Ha(s)。,2020/5/28,37,巴特沃斯低通滤波器的设计方法,1.巴特沃斯滤波器的幅度平方函数及其特点巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2用下式表示,6-13,式中，N称为滤波器的阶数。当=0时，|H(j)|=1；=c时，|Ha(j)|=1/，c是3dB截止频率。当c时，随加大，幅度迅速下降。下降的速度与阶数N有关，N愈大，幅度下降的速度愈快，过渡带愈窄。幅度特性与和N的关系如图6-9所示。,2020/5/28,38,图6-9巴特沃斯幅度特性和N的关系,2.幅度平方函数的极点分布及Ha(s)的构成。将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数,6-14,2020/5/28,39,此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示,式中，=0，1，2，(2N-1)，2N个极点等间隔分布在半径为c的圆上(该圆称为巴特沃斯圆)，间隔是/Nrad。N=3时极点分布如图6-10所示，极点以虚轴为对称轴，且不会落在虚轴上。为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)。,6-15,2020/5/28,40,Ha(s)的表示式为,这里分子系数为，可由Ha(s)的低频特性决定，即代入Ha(0)=1，可求得分子系数为。,图6-10三阶巴特沃斯滤波器极点分布,6-16,2020/5/28,41,设N=3，极点有6个，它们分别为,取s平面左半平面的极点s0、s1、s2组成Ha(s),，s1=-c，,，s4=c，,3.频率归一化问题式(6-16)即为所求的系统函数，可看出Ha(s)与c有关，既使滤波器的幅度衰减特性相同，只要c不同，Ha(s)就不一样。为使设计统一，可将所有的频率归一化。,2020/5/28,42,这里采用对3dB截止频率c归一化，归一化后的Ha(s)表示为,式中，s/c=j/c。令=/c，称为归一化频率；令p=j，p称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为,6-18,6-17,式中，pk为归一化极点，用下式表示,，k=0,1,N-1,6-19,2020/5/28,43,这样，只要根据技术指标求出阶数N，便可按照(6-19)式求出N个极点，再按照(6-18)式得到归一化的传输函数Ha(p)，经过整理，还可得到Ha(p)的分母是p的N阶多项式，用下式表示,归一化的传输函数Ha(p)的系数bk(k=0,1,N-1)以及极点，可以由表6.3得到。另外，表中还给出了Ha(p)的因式分解形式中的各系数，这样只要求出阶数N，查表可得到Ha(p)及各极点，省去了许多运算工作。,6-20,2020/5/28,44,需要注意的是，Ha(p)并不是实际的滤波器传输函数，在确定c后，还应去归一化，才能得到实际的传输函数Ha(s)。即将，代入Ha(p)中，便得到Ha(s),4.阶数N的确定阶数N的大小主要影响幅度特性下降速度，它应该由技术指标p、p、s和s确定。将=p代入幅度平方函数(6-13)式中，再将幅度平方函数|Ha(jp)|2代入(6-10)式，得到,6-21,2020/5/28,45,将=s代入(6-13)式中，再将|Ha(js)|2代入(6-11)式中，得到,由式(6-21)和(6-22)得到,6-22,令sp=s/p，则N由下式表示,用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。,6-23,2020/5/28,46,如果技术指标中没有给出3dB截止频率c，可以按照(6-21)式或(6-22)式求出，由(6-21)式得到,由式(6-22)得到,如果采用(6-24)式确定c，则阻带指标有富裕量；如果采用(6-25)式确定c，则通带指标有富裕量。,6-24,6-25,2020/5/28,47,5.设计步骤,总结低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：(1)根据技术指标p、p、s和s，用(6-23)式求出滤波器的阶数N。(2)按照(6-19)式，求出归一化极点pk，将pk代入(6-18)式，得到归一化传输函数Ha(p)。也可根据阶数N，直接查表6.3，得到极点pk和归一化传输函数Ha(p)。(3)将Ha(p)去归一化。将p=s/c代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。这里3dB截止频率c，如果技术指标没有给出，可以按照(6-24)式或(6-25)式求出。,2020/5/28,48,例6-3已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带截止频率fp=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术指标设计巴特斯低通滤波器。,解：(1)确定阶数N,取N=5,2020/5/28,49,(2)求Ha(p),按照式(6-19)，其极点为,按照式(6-18)，归一化传输函数为,这里不如直接查表6.3简单，由N=5，直接查表得到极点-0.3090j0.9511，-0.8090j0.5878，-1.0000,2020/5/28,50,上式分母可以展开成为五阶多项式,式中b0=1.0，b1=3.2361，b2=5.2361，b3=5.2361，b4=3.2361。或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。,Ha(p)共有3种表示形式，可根据后续的数字滤波转换方式而定。,2020/5/28,51,(3)为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率c,按照式(6-24)，得到,将c代入(6-25)式，得,此时算出的s比题目中给出的小，因此，过渡带小于要求的，或者说，在c=12krad/s时衰减大于30dB，所以说阻带指标有富裕量。将p=s/c代入Ha(p)中得到,2020/5/28,52,切比雪夫滤波器的设计方法,巴特斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带和阻带都是频率的单调函数。因此，当通带边界处满足指标要求时，通带内肯定会有余量。因此，更有效的设计方法应该是将精确度均匀地分布在整个通带内，或者均匀分布在整个阻带内，或者同时分布在两者之内。这样，就可用阶数较低的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。1.切比雪夫滤波器的幅度平方函数及其特点切比雪夫滤波器的振幅特性就具有等波纹特性。,2020/5/28,53,切比雪夫滤波器等波纹特性,它有两种形式：(1)振幅特性在通带内是等波纹的、在阻带内是单调的切比雪夫I型滤波器；(2)振幅特性在通带内是单调的、在阻带内是等波纹的切比雪夫II型滤波器。采用何种型式切比雪夫滤波器取决于实际用途。在这里仅介绍切比雪夫I型滤波器的设计方法。图6-11分别画出阶数N为奇数与偶数时的切比雪夫I型滤波器幅频特性。其幅度平方函数用A2()表示,6-26,2020/5/28,54,(a)(b)图6-11切比雪夫I型滤波器幅频特性,式中，为小于1的正数，表示通带内幅度波动的程度，愈大，波动幅度也愈大。p称为通带截止频率。令=/p，称为对p的归一化频率。,2020/5/28,55,CN(x)称为N阶切比雪夫多项式，定义为,当N=0时，C0(x)=1时；当N=1时，C1(x)=x；当N=2时，C2(x)=2x2-1；当N=3时，C3(x)=4x3-3x。由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为CN+1(x)=2xCN(x)-CN-1(x),图6-12示出了阶数N=0，4，5时的切比雪夫多项式特性。由图可见：切比雪夫多项式的零值点在|x|1间隔内。当|x|1时，CN(x)是余弦函数，故|CN(x)|1,2020/5/28,56,切比雪夫滤波器的幅度函数|Ha(j)|的特点,且多项式CN(x)在|x|1内具有等波纹幅度特性；当|x|1时，CN(x)是双曲余弦函数，它随x而单调地增加。显然，切比雪夫滤波器的幅度函数|Ha(j)|的特点如下,(1)当=0，N为偶数时，；当N为奇数时，Ha(j0)=1。,(2)当=p时，。即所有幅度函数曲线都通过点，所以把p定义为切比雪夫滤波器的截止频率。,2020/5/28,57,在切比雪夫截止频率下，幅度函数不一定下降3dB，可以是下降其他分贝值，例如1dB等，这是与巴特沃思滤波器不同之处。,(3)在通带内，即当1，s的右半平面映射为z平面的单位圆外,2020/5/28,90,2消除频率混叠的原因,第一步转换ss1,为了说明问题，增加一个过渡平面s1，将sz的转换分成2步，即ss1z。设,则由式(6-60)得,6-62,6-63,将s=j，s1=j1代入(6-63),6-64,2020/5/28,91,式中T仍是采样间隔，当1从-/T经过0变化到/T时，则由-经过0变化到+，实现了s平面上整个虚轴完全压缩到s1平面上虚轴的/T之间的转换。,第二步转换s1z,将s1=1+j1，z=rej代入(6-62),6-65,当1从经过0变化到时，则由-经过0变化到，突现了s1平面的之间水平带的左半部分映射z平面的单位圆内部，虚轴映射单位圆。图6-20示出从ss1z的映射情况如。,2020/5/28,92,图6-20ss1z的映射情况,3模拟频率和数字频率之间的关系由式(6-64)和(6-65)得,6-66,上式说明：s平面上与z平面的成非线性正切关系，如图6-21所示。,2020/5/28,93,在=0附近接近线性关系；当增加时，增加得愈来愈快；当趋近时，趋近于。正是因为这种非线性关系，消除了频率混叠现象。,图6-21双线性变换法的频率变换关系,2020/5/28,94,与之间的非线性关系是双线性变化换法的缺点，直接影响数字滤波器频响逼真的模仿模拟滤波器的频响，幅度特性和相位特性失真的情况如图6-22所示。这种非线性影响的实质是：如果的刻度是均匀的，则映射到z平面的刻度不是均匀的，而是随增加愈来愈密。,图6-22双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射,2020/5/28,95,例6-7试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法将,的模拟滤波器转换成数字滤波器。解：极点s=-利用脉冲响应不变法，数字滤波器的系统函数H1(z)为,利用双线性变换法，数字滤波器的系统函数H2(z)为,2020/5/28,96,设a=1000，T0.001和0.002，H1(z)和H2(z)的归一化幅频率性分别如图6-23所示。,图6-23数字滤波器H1(z)和H2(z)的幅频特性,2020/5/28,97,6.5数字低通滤波器的设计,无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计方法是先设计一个合适的模拟滤波器，然后采用脉冲响应不变法或双线性变换法将其变成数字滤波器。依据6.26.4节的讨论，下面总结利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤。(1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率p、通带衰减p、阻带截止频率s、阻带衰减s。,2020/5/28,98,(2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。这里主要是将边界频率p和s转换成模拟的边界频率p和s。对p和s指标不作变化。如果采用脉冲响应不变法，边界频率的转换关系为,如果采用双线性变换法，边界频率要先预畸变，转换关系为,(3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。设计方法及设计步骤参考本章6.2节。,2020/5/28,99,(4)将模拟滤波器Ha(s)，从s平面转换到z平面，得到数字低通滤波器系统函数H(z)。如果采用脉冲响应不变法,如果采用双线性变换法,(5)画出频率响应H(ej)=H(z),校核是否满足设计指标。,2020/5/28,100,T的选择,如采用脉冲响应不变法，为避免产生频率混叠现象，要求所设计的模拟低通带限于/T之间，由于实际滤波器都有一定宽度过滤带，可选择T满足公式|s|/T,即认为混叠现象较小，可达到要求。可见此时T选择较小值有利。,例6-8设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2rad时，容许幅度误差在1dB以内；在频率0.3到之间的阻带衰减大于15dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。,2020/5/28,101,解：用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。数字低通的技术指标为p=0.2rad,p=1dBs=0.3rad,s=15dB模拟低通的技术指标为(设T=1s)p=0.2rad/s，p=1dB，s=0.3rad/s，s=15dB设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数N及3dB截止频率c。,2020/5/28,102,取N=6。为求3dB截止频率c，将p和p代入(6-24)式，得到c=0.7032rad/s，显然此值满足通带技术要求，同时给阻带衰减留一定余量，这对防止频率混叠有一定好处。根据阶数N=6,查表6.3，得到归一化传输函数为,2020/5/28,103,去归一化，将p=s/c代入Ha(p)中，得到实际的传输函数Ha(s),用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z)。,验证设计的数字滤波器是否达到设计指标。将z=ej代入系统函数H(z)表示式，计算幅度响应|H(ej)|和相位响应arg|H(ej)|,如图6-24所示。,2020/5/28,104,图6-24脉冲响应不变法设计的6阶数字巴特沃斯滤波器的频率响应,2020/5/28,105,用双线性变换法设计数字低通滤波器。数字低通技术指标仍不变模拟低通的技术指标为(设T=1)p=2tan0.1=0.65rad/s，p=1dBs=2tan0.15=1.019rad/s，s=15dB设计巴特沃斯低通滤波器。阶数N计算如下,取N=6。为求c，将s和s代入(6-25)式中，得到c=0.7662rad/s。这样阻带技术指标满足要求，通带指标已经超过。,2020/5/28,106,查表6.3得到的归一化传输函数Ha(p)与脉冲响应不变法得到的相同。去归一化，得实际的Ha(s)。,用双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器H(z),检验所设计的数字滤波器是否达标。如图6-25示。此图表明数字滤波器满足技术指标要求。,2020/5/28,107,图6-25用双线性变换设计的数字巴特沃斯滤波器的频率响应,2020/5/28,108,6.6数字高通、带通和带阻滤波器的设计,高通、带通和带阻滤波器的设计要通过对低通原型的设计来转换。低通原型必须与待求滤波器具有相同的特性。一旦得到低通模拟滤波器的传输函数，就可以变换成高通、带通或带阻滤波器。常用的变换方法有2种：先把一个归一化原型模拟低通滤波器经模拟频带变换成所需要类型(包括高通、带通、带阻或另一截止频率的低通)的滤波器，然后再通过脉冲响应不变法或双线性变换法数字化，如图6-27(a)所示。,2020/5/28,109,图6-27设计IIR数字滤波器的频率变换法,2020/5/28,110,实际上可把这一方法中的两步合成一步来实现，如图6-27(b)所示。这里只讨论双线性变换法，因为脉冲响应不变法只对设计严格能限带的数字低通、高通滤波器才能应用，对于数字高通、带阻滤波器，不能直接应用。由模拟低通原型先利用脉冲响应不变法或双线性变换法数字化成数字低通滤波器，然后利用频带变换法，将它变换成所需要的各型数字滤波器，如图6-27(c)所示。本节只讨论第一种方法，第二种方法可阅读参考文献,2020/5/28,111,模拟低通滤波器变换成数字高通滤波器,1由模拟低通到模拟高通的变换设低通滤波器G(j)和高通滤波器H(j)的幅度特性如图6-28所示。图中p、s分别称为低通的归一化通带截止频率和归一化阻带截止频率，p和s分别称为高通的归一化通带下限频率和归一化阻带上限频率。,图6-28低通与高通滤波器的幅度特性,2020/5/28,112,低通到高通的频率变换公式,6-67,如果已知低通G(j)，高通H(j)则用下式转换,6-68,通常先设计归一化的模拟低通G(p)，由归一化低通直接转换成模拟高通的转换公式,6-69,2020/5/28,113,2由模拟高通到数字高通的变换,利用双经线性变换，数字高通的系统函数,6-70,3直接从归一化模拟低通变换成数字高通将(6-69)和(6-70)两个变换式结合起来，也就是直接联系p和z之间的变换公式,由此得到数字高通系统函数为,6-71,6-72,2020/5/28,114,具体设计步骤如下：,确定所需类型数字滤波器的技术指标。将所需类型数字滤波器的技术指标转换成所需类型模拟滤波器的技术指标，因采用双经线性变换法，转换公式为,将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标。注意边界频率转换时应为归一化频率设计归一化模拟低通滤波器G(p)将G(p)直接转换成所需类型的数字滤波器。,2020/5/28,115,模拟低通滤波器变换成数字带通滤波器,1由模拟低通到模拟带通的频率变换低通与带通滤波器的幅度特性如图6-29所示。图中u和l分别称为带通滤波器的通带上限频率和通带下限频率；令B=u-l，称B为通带带宽，一般用B作为归一化参考频率。s1和s2分别称为下阻带上限频率和上阻带的下限频率。另外定义，称0为通带中心频率，归一化边界频率用下式计算,l=l/B，u=u/B，s1=s1/B，s2=s2/B,2020/5/28,116,(a)(b)图6-29带通与低通滤波器的幅度特性,将带通和低通的幅度特性对应起来，得到和的对应关系,6-73,由图6-29知p对应u，代入上式中，有,2020/5/28,117,式(6-73)称为低通到带通的频率变换公式。,归一化低通直接转换成模拟带通的转换公式,2由模拟带通到数字带通的变换仍利用双线性变换法，数字带通的系统函数,6-75,3.直接从归一化模拟低通变换成数字带通将(6-75)和(6-76)两个变换公式结合起来，也就是直接联系p和z之间的变换公式(设T=1),6-76,2020/5/28,118,由此得到数字带通系统函数,6-77,从模拟低通变换到数字带通滤波的设计步骤可参照数字高通。,2020/5/28,119,模拟低通滤波器变换成数字带阻滤波器,1由模拟低通到模拟带阻的频率变换低通与带阻滤波器的幅频特性如图6-30所示。,(a)(b)图6-30低通与带阻滤波器的幅频特性,2020/5/28,120,和的对应关系,6-78,且u-l=1，p=1(6-78)式称为低通到带阻的频率变换公式。将(6-78)式代入p=j，并去归一化，可得,2由模拟带阻到数字带阻的变换仍利用双线性变换法，数字带阻的系统函数为,6-79,直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式,6-80,6-81,2020/5/28,121,3直接从归一化模拟低通变换成数字带阻,将(6-80)和(6-81)两个变换公式结合起来，即直接联系p和z之间的变换公式(设T1),由此得到数字带阻的系统函数,数字带阻滤波器的设计步骤可参照数字高通。,6