解题策略 河南大学PPT模板.ppt

,解题策略河南大学,一、化生为熟,二、以退为进,三、反面入手,四、分类讨论,五、试验分析调整,解题策略就是在发现和运用数学知识、方法，解决数学问题的过程中寻找解题思路的指导思想，它是为了实现解题目标而采取的指导方针。运用它，能提高解题的效率，增强解题的艺术，培养创新能力。,一、技巧转化-化生为熟,转化是解题的万能钥匙，在数学思想方法中又称为“化归”。传颂千古的司马光砸缸、曹冲称象等故事都成功的运用了“转化”策略。人们在解决问题遇到障碍时，常常把原来复杂的、生疏的、难解的问题转化为另一个简单的、熟悉的、易解的问题进行思考，使解题思路畅通。,例1、计算6666610001+666666666分析：原式运用乘法分配率可以转化为6666616667，而166676=100002进行计算解：原式=66666166667=11111100002=11111（100000+2）=1111100000+22222=1111122222,在大数目的计算题中，往往将原式变形转化，又如下式：=,例2、妈妈去商店买布，带的钱刚好够买甲布2米，或者买乙布3米，或者买丙布6米，她决定三种布买的一样多，问最多能各买几米？分析：这道题既不知道单价又不知道总钱数，从何入手呢？我们先来看一道熟悉的题目：一项工程，甲干2天完成，乙干3天完成，丙干6天完成，甲乙丙一起干几天完成？解：我们把这项工程总量看作“1”，则甲乙丙合作的工作效率是，甲乙丙一起干需要可以完成。,原问题与这道工程问题没有实质性的差别，把妈妈带的钱数看作整体“1”，则买甲、乙、丙布各1米共需钱数为，妈妈买三种布各多少米，就在于“1”中有多少个，即1=1（米），即各买1米。评：善于把一个生疏的问题转化为熟悉的问题，将给快捷解题带来方便,例3、求两圆阴影部分面积的差。分析：无论是阴影甲的面积a，还是阴影乙的面积b，都不能直接求出，要先计算a、b，则ab将陷入困境，但是如果给a和b都增加相交的阴影面积c，则可得出,例4、6127309=93.36确定算式中的数字。分析：首先将算式转化为不含余数36的形式：（61237-36）09=93再转化为乘：61237=0993，将61237分解为两个三位数相乘，利用分解质因数的方法可以做到。但是，61237较大，注意到09和93都与整数较接近，启发借助估算来解答。6123760000，a09a00，b93b+100，转化为6=a(b+1)，而6=16=23=32=61.由于b+11，淘汰61，只需检验109593，209293，309193，经检验知，只有209293=61237利用估算化繁为简，化难为易！,例5、甲乙两个小朋友各有一袋糖，每袋都不到20粒，如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖是乙的2倍。如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖数量是乙的3倍，那么甲、乙各有多少糖？解：把甲乙两人共有的糖的粒数看作单位”1“那么”甲给乙的粒数“就是如果甲给乙a粒，那么甲乙两人共有的粒数是,但共有粒数小于202=40，所以a=1可见甲乙共有24粒，甲17粒，乙7粒评：将问题转化为一个图形，把问题中的条件和结论直观的，整体的表露出来，是一个十分重要的解题方法！,二、善于退以退求进,对于一些比较复杂的数学问题，可以先研究它的简单情况，以解决简单问题的过程中受的启发，看透问题的本质，发现规律，找到解决问题的金钥匙！已故著名数学家华罗庚教授说过：善于“退”，足够的“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。这里的“退”是减小问题的“坡度”的战略退却，它包括了从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，退到保持特征的最简单情形。,例2、计算666.66333.33的积中各位数字之和20122012分析：先考虑简单情况，从2012位退到1位，63=18，1+8=9=91从2012位退到2位，6633=2178，2+1+7+8=18=92从2012位退到3位，666333=221778，2+2+1+7+7+8=27=93由此可以看出乘积的各位数之和恰好是9的倍数，这个倍数就是因数的位数，所以结果为20129=18108,例3、已知，并且a、b、c都不等于零。把a、b、c三个数按照从大到小的顺序排列并说明理由。解：取a=，b=，c=1符合条件，所以bca注：数值化总是从一般退到特殊，从抽象退到具体的一个重要手段。,例4、小明从家到学校有两条一样长的路。一条路是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路。小明上学走的两条路所用的时间一样多。已知下坡的速度是平路的倍，那么上坡的速度是平路的多少倍？解：取平路长为1000米，小明用1000秒的时间走完，即每秒1米，故小明走下坡路的速度是每秒米，走下坡路500米用时，那么小明用走上坡路500米，速度为，故为倍.,例5、在古代印度相传着一道数学名题。有个农夫到街上去卖鸡蛋，第一个人买去了全部鸡蛋的一半还多一个，第二个人买去了剩下的鸡蛋的一半还多一个，第三个人买去了剩下的鸡蛋的一半还多一个，这时筐里的鸡蛋正好剩下10个，问这个农夫总共有多少个鸡蛋？解：（10+1）2=22（22+1）2=46（46+1）2=94,例6、自然数n减去它的，再减去余下的，再减去余下的，依此类推，一直到最后减去余下的，那么最后剩下的数是分析：先从n退到2，则再退到3，则注：退到最简情况是解决数学问题的非常重要的思考方法。,三、反面入手,司马光砸缸救人的故事：让人离开水不可能，那就让水离开人，这正是从反面入手的成功案例。当一个问题从条件出发正面入手难以解决或头绪太多时，可以反面思考；当一个问题直接解决有困难时可以考虑间接方法；当探索一个问题的结论成立不能奏效时，可探索此结论不成立.总之，反面入手要求与习惯思维方向相反的探索方式，即转向问题的反面求解。,例1、一个正方体的六个面分别写着16，如图摆放的三种情况，试判断对面上的数字是几？分析：首先判断3对面是几，可从3对面不是几入手，得知3对6，同理可得1对5，2对4。,3,2,1,4,5,3,1,6,4,例2、除了本身外，3477859的最大约数是多少？分析：要直接求3477859的最大约数比较困难，从反面入手，先找3477859除1外的最小约数，那么可得最大公约数。解：3477859=7496837例3、已知五位数3966能被17整除，商是,被除数是。分析：已知17整除3966，但3966的最高位上的数字不知道。如何求？列除法算式直接除，商不能从最高位商起，一反常态这时，从个位商起,例4、根据算式中数的变化，填写运算符号和括号200100501680=30080080=30010=290分析：一般习惯从左到右，从上到下依次脱式计算，但对这道题想从上到下填符号及括号较困难，正面入手难，可从反面入手，即从下到上确定运算符号和括号。,例5、设1、3、9、27、81、243是六个给定的数，从这六个数中每次取一个或几个不同的数求和（每一个数每次只能取一次）可以得到一个新数，这样共得到了63个新数，如果把它们从小到大依次排列起来是1、3、4、9、10、12.,那么第60个数是多少？分析：如果考虑“从小到大”依次排列，第60个数比较麻烦，可以从反面入手，考虑从大到小依次排列的第63(601)=4个数,解：找这63个新数从大到小排列的第4个数1+3+9+27+81+243最大3+9+27+81+243第二1+9+27+81+243第三9+27+81+243=360第四所以排列第60个新数是360,例6、一颗石榴树上结有石榴，石榴数目减去6，乘以6，加上6，除以6，结果等于6，请算一算，石榴树上一共有多少个？分析：根据题意，列出下面的流程图66,石榴数目,6,6,+6,6,石榴数目,+6,6,6,6,解：（66-6）6+6=11（个）评：用递推法分析数学题目，关键是掌握加法、减法、乘法、除法之间的关系能用递推法解的数学问题应满足下列三个条件：（1）已知最后的结果（2）已知在到达最终结果时每一步的具体过程或具体做法（3）未知的是最初的数据,例7、将一个棱长为10厘米的正方体的六个面都涂上红色，然后将这个正方体切成1000个棱长为1厘米的小正方体，问至少有一个面是红色的小正方体有多少个？解：从反面出发，看没有涂色的小正方体有多少个，共有888=512（个）所以至少有一个面是红色的小正方体有1000-512=488（个）,四、分类讨论数（sh）几何图形的个数，很容易出现重复或遗漏，解决这个问题的有效措施是，先分析图形是怎样组成的，然后根据图形的组成特征设计一种算法或是分类计算（加法原理）或是分步计算（乘法原理）。,例1、如图有多少条线段？分析1：两点确定一条直线得法1：按照左端点分4类（1）以O为端点时，右端点为A、B、C、D得4条（2）以A为端点时，右端点为B、C、D得3条（3）以B为端点时，右端点为C、D得2条（4）以C为端点时，右端点为D得1条共1+2+3+4=10（条）,评：分类后条理清楚，各类之间不重不漏，每类计算简单易行，有化难为易，化繁为简的作用。法2：把线段“取”出来看有多少条（1）取线段的一个点，有5种取法（2）取线段的另一个点，有4种取法由于（1）中的每一种取法都对应（2）中的4种取法，共有54=20（条），但在上述计算中，每条线段都计算了两次，所以还要除以2，即202=10（条）评：乘法运算要比加法运算简便，但要防止重复,法3、先易后难，可先找出互不交叠的基本线段，然后分类计算。（1）互不交叠：OA、AB、BC、CD共4条（2）由两条基本线段组成的：OB、AC、BD共3条（3）由三条基本线段组成的：OC、AD共2条（4）由四条基本线段组成的：OD共1条共4+3+2+1=10（条）注：三种解法体现了处理问题的不同角度，但有共性，即分解大问题为小问题，逐一完成，在具体完成中用到了两个重要的计数原理。,例2、如图，、互相平行，问图中有多少个三角形？分析：三角形由不共线的三点确定，观察图形中的三角形可以看到，它们有一个共同的定点E，而E的对边分别在三条平行线上，结果类似，因而问题可归结为求图中三角形个数的问题,解：在图中，因为上有10条线段，每条线段与E点都可以构成一个三角形，共有10个三角形，同理可得有103=30（个）三角形,例3、如图有多少个三角形？解：设最大的三角形边长为4，则三角形的边长分别为1、2、3、4则,例4、右图有多少个三角形？法1、按照三角形的形状与大小分为6类与ABC相同的有5个与AGF相同的有5个与ABF相同的有10个与AFE相同的有5个与ACJ相同的有5个与ACD相同的有5个共35个,注：这种方法类别较多，对于分6类为什么就不重不漏还不够明显，其实所有三角形的顶点取自两类点，一类是“顶点”，一类是“交点”，在组成三角形时，“顶点”可以取3个，2个，1个,因而可以分为三类计算。,法2、分三类计算:(1)三角形的三个顶点都取自它的”顶点“.这相当于从5个点中去掉2个点（如图去掉B、E),有10种去法，得10个三角形.（2）三角形的三个顶点有2个取自“顶点”，1个取自“交点”。这样的三角形适宜于整体计算，因为每一个“交点”都是4个“顶点”连对角线的交点，并且得出4个这样的三角形。,A,D,C,问题转化为从5个顶点中取4个顶点有多少种取法。也可理解为：5个顶点中去掉1个顶点，共有5种去法；每去掉1点，就产生一个四边形，每个四边形连对角线就产生4个三角形，共5x4=20个三角形。（3）三角形的三个顶点有1个取自“顶点”，2个取自“交点”。每一个这样的三角形中，2个“交点”都是3条对角线的交点，这三条对角线恰好用完了5个“顶点”，而每一个“顶点”都可以作为这样三角形的顶点，从而得出5个这样的三角形。共计10+20+5=35（个）,例5、如图共有多少个长方形？解：长方形由长和宽两个因素确定，长度上的任一线段与宽度上的任一线段结合就构成一个长方形，因此，长度上线段的总数与宽度上线段的总数的乘积就是长方形的个数（乘法原理）。每个边上有10条线段，共有1010=100个长方形。,例6、如图有多少个正方形？解：看边长边长为1的有84=32个；边长为2的有73=21个边长为3的有62=12个边长为4的有51=5个共有70个。,五、“试验分析调整”解题策略试验，分析调整是解决某些比较复杂问题的有效方法之一。这里所说的试验不是盲目的乱试，而是按照一定方向的试验，也就是朝着目标方向的试验。解决“鸡兔同笼”问题的假定法是试验分析调整的一个固定模式。,例1、鸡兔被关在同一个笼子里，若有43个头，122只脚，问鸡兔各有多少只？分析1：假如我们砍掉每只鸡和每只兔子各两只脚，那么还剩下122-432=36（只）脚，这时所有的鸡已无脚，每只兔子还有两只脚，所以有362=18只兔子，43-18=25只鸡。,分析2、假如给每只鸡安装上4-2=2只假脚，这时每只鸡与每只兔子都各有4只脚，一共有434=172只脚，共安装了172-122=50只假脚，故知鸡有502=25只，兔子有43-25=18只（443-122）（4-2）=25（只）,例2、有一个六位数，能被11整除，首位数字是7，各位数字都不相同，这个六位数最大是多少？分析：首位数字是7且个位数字都不相同的最大的六位数是798654，如果它是11的倍数，则符合条件，但是79865411=72604.10，说明798654-11=798644是11的倍数，但有两个4，也不符合条件。逐次减去11直到各位数字都不相同为止。798644-1110=798534符合条件。,例3、8=3+5是两个不同的素数之和，求最小的自然数，使它能有两种不同形式写成两个不同素数之和。分析：素数从小到大依次为2、3、5、7、11、13、17、19、23.把一个自然数拆成两种不同形式的两个不同素数之和，这就要用到四个素数，从小到大前四个素数之和为2+3+5+7=17，所以这个自然数最小也要不小于172=8.5，而且必须是偶数。从10开始，依次试验。,解：小于10的素数2、3、5、7。10=3+7不符合条件小于12的素数2、3、5、7、11。12=5+7不符合条件小于14的素数2、3、5、7、11、13。14=11+3不符合小于16的素数2、3、5、7、11、13。16=3+13=5+11。符合条件。所以16即为所求。,例4、学校早晨6：00开校门，晚上6：40关校门，下