3.1多项式的因式分解

因式分解,第3章,多项式的因式分解,3.1,1.21等于3乘哪个整数？,21=37,2.x2-1等于x+1乘哪个多项式？,因为(x+1)(x-1)=x2-1,所以x2-1=(x+1)(x-1).,对于整数21与3，有整数7使得21=37，我们把3叫做21的一个因数,类似地，对于多项式x2-1与x+1，由整式的乘法有多项式x-1使得x2-1=(x+1)(x-1)成立，我们把多项式x+1叫做x2-1的一个因式.,同理，7也是21的一个因数,同理，x-1也是x2-1的一个因式.,一般地，对于两个多项式f与g，如果有多项式h使得f=gh，那么我们把g叫做f的一个因式.,此时，h也是f的一个因式.,把x2-1写成(x+1)(x-1)的形式叫做把这个多项式因式分解.,一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解.,x2-1=(x+1)(x-1),为什么要把一个多项式因式分解呢？,每一个大于1的正整数都能表示成若干个素（质）数的乘积的形式,例如,12=223，30=235.,有了式和式，就容易求出12和30的最大公因数为,23=6，,进而很容易把分数约分：分子与分母同除以6，得,12=223，30=235.,同样地，每一个多项式可以表示成若干个最基本的多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁,例如，以后我们要学习的分式的约分，解一元二次方程等，常常需要把多项式进行因式分解.,举例,例1下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？,（1）a2+2ab+b2=(a+b)2；（2）m2+m-4=(m+3)(m-2)+2.,解：是.因为从左边到右边是把多项式a2+2ab+b2表示成了多项式a+b与a+b的乘积的形式.,解：不是.因为(m+3)(m-2)+2不是几个多项式乘积的形式.,例2检验下列因式分解是否正确.（1）x2+xy=x(x+y)；（2）a2-5a+6=(a-2)(a-3)；（3）2m2-n2=(2m-n)(2m+n).,分析检验因式分解是否正确，只要看等式右边的几个多项式的乘积与左边的多项式是否相等.,解因为(a-2)(a-3)=a2-5a+6，所以因式分解a2-5a+6=(a-2)(a-3)正确.,（1）x2+xy=x(x+y),解因为x(x+y)=x2+xy，所以因式分解x2+xy=x(x+y)正确.,（2）a2-5a+6=(a-2)(a-3),（3）2m2-n2=(2m-n)(2m+n).,解因为(2m-n)(2m+n)=4m2-n22m2-n2，所以因式分解2m2-n2=(2m-n)(2m+n)不正确.,1.求4，6，14的最大公因数.,答：因为4=226=2314=27,所以最大公因数是2.,2.下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？,（1）(x+1)(x+2)=x2+3x+2；,（2）2x2y+4xy2=2xy(x+2y)；,答：是因式分解.,（3）x2-2=(x+1)(x-1)-1；,（4）4a2-4a+1=(2a-1)2.,答：是因式分解.,解不是.因为x2+3x+2不是几个多项式乘积的形式.,解不是.因为(x+1)(x-1)-1不是几个多项式乘积的形式.,3.检验下列因式分解是否正确.,（1）-2a2+4a=-2a(a+2)；,（2）x3+x2+x=x(x2+x)；,解因为-2a(a+2)=-4a2-4a-2a2+4a，所以因式分解-2a2+4a=-2a(a+2)不正确.,（3）m2+3m+2=(m+1)(m+2).,解因为x(x2+x)=x3+x2x3+x2+x，