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文档简介
第一课时,3.4基本不等式,1,问题提出,1.不等式有许多基本性质,同时还有一些显而易见的结论,如a20,|a|0,|a|a等,这些性质都是研究不等式问题的理论依据.在实际应用中,我们还需要有相应的不等式原理.,2,2.如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客.在这个图案中既有一些相等关系,也有一些不等关系,对这些等与不等的关系,我们作些相应研究.,3,基本不等式原理及其变通,4,探究(一):基本不等式的原理,|ab|,5,思考2:图中正方形ABCD的面积与4个直角三角形的面积之和有什么不等关系?由此可得到一个什么不等式?,a2b22ab,思考3:从图形分析,上述不等式在什么情况下取等号?,当直角三角形为等腰直角三角形,即ab时,a2b22ab.,6,思考4:在上面的图形背景中,a,b都是正数,那么当a,bR时,不等式a2b22ab成立吗?为什么?,一般地,对于任意实数a,b,有:a2b22ab,当且仅当ab时等号成立.,7,思考5:特别地,如果a0,b0,我们用、分别代替a、b,可得什么不等式?,当且仅当ab时等号成立.,8,思考6:不等式称为基本不等式,它沟通了两个正数的和与积的不等关系,在实际问题中有广泛的应用,你能用分析法证明吗?,9,思考7:我们称和分别为a,b的算术平均数和几何平均数,如何用文字语言表述基本不等式?,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.,10,思考8:如图,在直角三角形ABC中,CD为斜边上的高,CO为斜边上中线,你能利用这个图形对基本不等式作出几何解释吗?,11,探究(二):基本不等式的变通,思考1:将基本不等式两边平方可得什么结论?它与不等式a2b22ab有什么内在联系?,12,思考2:在不等式a2b22ab两边同加上a2b2可得什么结论?所得不等式有什么特色?,它反映了两个实数的平方和与它们的和的平方的不等关系,称为平方平均不等式,其数学意义是:两个实数的平方的算术平均数不小于它们的算术平均数的平方.,13,思考3:将不等式两边同乘以,可变通出一些什么结论?,14,理论迁移,例1已知x、y都是正数,求证:(xy)(x2y2)(x3y3)x3y3,例2已知a2b2c21,求证:(abc)33.,15,小结作业,2.基本不等式有多种形式,应用时具有很大的灵活性,既可直接应用也可变式应用.一般地,遇到和与积,平方和与积,平方和与和的平方等不等式问题时,常利用基本不等式处理,1.不等式a2b22ab与都是基本不等式,它们成立的条件不同,前者a、b可为任意实数,后者要求a、b都是正数,但二者等号成立的条件相同.,16,3.当a、b都是正数时,有不等式链,作业:P100习题3.4A组:1,2.,17,第二课时,3.4基本不等式,18,问题提出,1.基本不等式有哪几种基本形式?,(1)a2b22ab(a,bR),当且仅当ab时等号成立;,(3)(a0,b0),当且仅当ab时等号成立;,19,2.函数的最大值和最小值的含义分别是什么?,3.在一定条件下,利用基本不等式可以求出变量的极端值,因此,利用基本不等式求最值就成为一种重要的数学方法.,最大值:f(x)M,且等号成立;,最小值:f(x)m,且等号成立.,20,基本不等式与最值,21,探究(一):基本不等式与最值原理,思考1:在基本不等式(a0,b0)中,如果abP为定值,能得到什么原理?,原理一:若两个正数的积为定值,则当这两个正数相等时它们的和取最小值.,22,思考2:在基本不等式(a0,b0)中,如果abS为定值,又能得到什么原理?,原理二:若两个正数的和为定值,则当这两个正数相等时它们的积取最大值.,23,思考3:能否由得函数的最小值是2吗?,思考4:当x4时,能否由得函数的最小值是4吗?,24,思考6:利用基本不等式求两个变量的和的最小值(或积的最大值),应具备哪些基本条件?,一正二定三相等,思考5:当x(0,)时,能否由,得函数的最小值是吗?,25,探究(二)基本不等式求最值的实际应用,26,思考1:如果用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,所用篱笆的总长度是定值?还是变量?,思考2:如何设计这个矩形菜园的长和宽,才能使所用篱笆最短,最短的篱笆是多少?,矩形的长、宽都为10m时,所用篱笆最短,最短的篱笆是40m.,27,思考3:用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,所围成的矩形菜园的面积是定值?还是变量?,思考4:如何设计这个矩形菜园的长和宽,才能使菜园的面积最大,最大面积是多少?,矩形的长、宽都为9m时,菜园的面积最大,最大面积是81m2.,.,.,28,思考5:若矩形菜园的一边靠墙,另外三边用一段长为36m的篱笆围成,如何设计这个矩形菜园的长和宽,才能使菜园的面积最大,最大面积是多少?,.,.,矩形的长为18m,宽为9m时,菜园的面积最大,最大面积是162m2.,29,理论迁移,例1某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?,当水池底面是边长为40m的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价是297600元.,30,例2某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需要购买面粉6吨,每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管费等其他费用为平均每吨每天3元,购买面粉每次需支付运输费900元.问该厂每隔多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的费用最少?最少费用是多少?,每隔10天购买一次面粉,能使平均每天所支付的费用最少,最少费用是10989元.,31,1.用基本不等式求函数的最值,是一种很重要的方法,应用时要注意下列三个条件:(1)函数解析式中各变量均为正数;(2)含变量的两项的和或积为定值;(3)含变量的两项可以相等,即“一正二定三相等”.,小结作业,32,2.在实际问题中求最值时,一般先要设定字母表示相关变量,再建立变量之间的函数关系,然后求最值.对形如:xy,xy,x2y2,等结构的最值问题,常用基本不等式求解.,33,作业:P100练习:3,4.P101习题3.4A组:3,4.,34,第三课时,3.4基本不等式,35,1.基本不等式:,(1)a2b22ab(a,bR),当且仅当ab时等号成立;,一般形式:,(2)(a0,b0),当且仅当ab时等号成立;,(3)(a0,b0),当且仅当ab时等号成立,知识整理,36,2.最值原理:,(1)若两个正数的积为定值,则当这两个正数相等时它们的和取最小值.,(2)若两个正数的和为定值,则当这两个正数相等时它们的积取最大值.,(3)环境条件:一正二定三相等.,37,利用基本不等式求最值,38,应用举例,例1求函数的最小值.,当x4时,y取最小值5.,例2求函数的最小值.,当x4时,y取最小值8.,已知,39,例3已知,求函数的最大值.
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