2005年全国卷2高考文科数学试题

20052005 年普通高等学校全国统一招生（全国卷年普通高等学校全国统一招生（全国卷 2 2） 数学（文科）数学（文科） 一、选择题一、选择题: :本题共本题共 1212 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中, ,只有一只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1.函数的最小正周期是( ) |sincos|f xxx A. B. C. D.2 4 2 2.正方体中,分别是的中点.那么正方体 1111 ABCDABC DPQR、 11 ABADBC、 的过的截面图形是PQR、 A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 3.函数的反函数是)0( 1 2 xxy A. B.) 1(1xxy) 1(1xxy C. D.)0(1xxy)0(1xxy 4.已知函数在内是减函数，则tanyx(,) 2 2 A. B. C. D.0110 11 5.抛物线上一点的纵坐标为 4，则点与抛物线焦点的距离为yx4 2 AA A.2B.3C.4D.5 6.双曲线的渐近线方程是1 94 22 yx A. B. xy 3 2 xy 9 4 C. D. xy 2 3 xy 4 9 7.如果数列是等差数列，则 n a A.B. 5481 aaaa 5481 aaaa C.D. 5481 aaaa 5481 aaaa 8.的展开式中项的系数是 10 )2(yx 46 yx A.840 B.840 C.210D.210 9.已知点.设的平分线与相交于,那么有( 3,1),(0,0),( 3,0)ABCBACAEBCE ,其中等于BCCE A.2 B. C.-3 D. 2 11 3 10.已知集合 2 | 47, |60,MxxNx xxMN 则为 A. B.7324|xxx或7324|xxx或 C. D. |23x xx 或 |23x xx 或 11.点在平面上作匀速直线运动,速度向量（即点的运动方向与相同,P(4, 3)v Pv 且每秒移动的距离为个单位）.设开始时点的坐标为,则 5 秒后点的|v P( 10,10)P 坐标为 A.（-2，4） B.（-30，25） C.（10，-5） D.（5，-10） 12.的顶点在平面内，在的同一侧，与所成的角分别ABCBAC、ABBC、 是和.若，则与所成的角为30453,4 2,5ABBCACAC A.60 B.45 C.30 D.15 第第 IIII 卷卷 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中横线上. 13.在之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 . 2 27 3 8 和 14.圆心为（1，2）且与直线相切的圆的方程为 .51270 xy 15.在由数字 0，1，2，3，4，5 所组成的没有重复数字的四位数中，不能被 5 整除的数 共有 个. 16.下面是关于三棱锥的四个命题: 底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. 底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. 底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥. 侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱 锥. 其中,真命题的编号是_.（写出所有真命题的编号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 12 分） 已知为第二象限的角，为第一象限的角，的值. , 5 3 sin 5 costan(2) 13 . 求 18.（本小题满分 12 分） 甲、乙两队进行一场排球比赛,根据以往经验,单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6 .本场 比赛采用五局三胜制：即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响. 前三局比赛甲队领先的概率； 本场比赛乙队以 3:2 取胜的概率. 19.（本小题满分 12 分） 已知是各项均为正数的等差数列,成等差数列.又 n a 124 lglglgaaa、 2 1 ,1,2,3,. n n bn a 证明:为等比数列; n b 如果数列前 3 项的和等于,求数列的首项和公差. n b 7 24 n a 1 ad 20.（本小题满分 12 分） 如图,四棱锥中,底面为矩形,底面PABCDABCDPD .,分别为的中点. ABCDADPDEF、CDPB、 （1）求证:;EFPAB 平面 （2）设,求与平面所成的角的大小.2ABBCACAEF 21.（本小题满分 12 分） 设为实数，函数.aaxxxxf 23 )( 求的极值；)(xf 当在什么范围内取值时，曲线轴仅有一个交axxfy与)( 点. 22.（本小题满分 14 分） 四点都在椭圆上,为椭圆在轴正半轴上的焦点.已知PQMN、1 2 2 2 y xFy 与共线,与共线,且.求四边形的面积的最小值和PFPQMFFN0PF MF PMQN 最大值. 参考答案参考答案 一. 选择题： 1. C2. D3. B4. B5. D6. C 7. B8. A9. C10. A11. C12. C 二. 填空题： 13. 21614. 4)2() 1( 22 yx 15. 19216. ， 三. 解答题： 17. 本小题主要考查有关角的和、差、倍的三角函数的基本知识，以及分析能力和计 算能力。满分 12 分。 解法一： tan2tan1 tan2tan )2tan( 为第二象限的角，所以 5 3 sin 5 4 sin1cos 2 4 3 cos sin tan 所以 7 24 tan1 tan2 2tan 2 为第一象限的角，所以 13 5 cos 5 12 tan, 13 12 cos1sin 2 所以 253 204 5 12 ) 7 24 (1 5 12 7 24 )2tan( 解法二：为第二象限角，所以 5 3 sin 5 4 sin1cos 2 为第一象限角，所以 13 5 cos 13 12 cos1sin 2 故 25 24 cossin22sin 25 7 sin212cos 2 325 204 sin2coscos2sin)2sin( 325 253 sin2sincos2cos)2cos( 所以 253 204 )2cos( )2sin( )2tan( 18. 本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用概率知识解决实际问题的能力， 满分 12 分。 解：单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6，乙队胜甲队的概率为 10.60.4 （I）记“甲队胜三局”为事件 A，“甲队胜二局”为事件 B，则 216 . 0 6 . 0)( 3 AP 432 . 0 4 . 06 . 0)( 22 3 CBP 所以，前三局比赛甲队领先的概率为648. 0)()(BPAP （II）若本场比赛乙队 3：2 取胜，则前四局双方应以 2：2 战平，且第五局乙队胜， 所以，所求事件的概率为138 . 0 4 . 06 . 04 . 0 222 4 C 19. 本小题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以及运用这些知识的能力。满分 12 分。 （1）证明： 成等差数列 421 lglglgaaa、 ，即 412 lglglg2aaa 41 2 2 aaa 又设等差数列的公差为 d，则 n a )3()( 11 2 1 daada 这样dad 1 2 从而 0)( 1 add 0 0 1 ad d n n nn da b ddaa n n 2 111 2) 12( 2 1 2 这时是首项，公比为的等比数列 n b d b 2 1 1 2 1 （II）解： 24 7 ) 4 1 2 1 1 ( 2 1 321 d bbb 3d 所以 3 1 da 20. 本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识，及思维能力和 空间想象能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。满分 12 分。 方法一： （I）证明：连结 EP DE 在平面 ABCD 内ABCD，PD底面 ，又 CEED，PDADBCDEPD BEPE PDERtBCERt 为 PB 中点F PBEF 由三垂线定理得ABPA 在中，又PABRtAFPF EABEPE FAEF EFAEFP PB、FA 为平面 PAB 内的相交直线 平面 PABEF （II）解：不妨设 BC1，则 ADPD1 3,22AC，PAAB 为等腰直角三角形，且 PB2，F 为其斜边中点，BF1，且PABPBAF 与平面 AEF 内两条相交直线 EF、AF 都垂直PB 平面 AEFPB 连结 BE 交 AC 于 G，作 GH/BP 交 EF 于 H，则平面 AEFGH 为 AC 与平面 AEF 所成的角GAH 由可知BGAEGC 3 32 3 2 , 3 1 , 2 1 ACAGEBEGGBEG 由可知EBFEGH 3 1 3 1 BFGH 6 3 sin AG GH GAH 与平面 AEF 所成的角为AC 6 3 arcsin 方法二： 以 D 为坐标原点，DA 的长为单位，建立如图所示的直角坐标系 （1）证明： 设 E（a，0，0），其中，则 C（2a，0，0），A（0，1，0），B（2a，1，0），0a P（0，0，1），F（a，） 2 1 2 1 )0 , 0 ,2() 1, 1 ,2() 2 1 , 2 1 , 0(aABaPBEF PBEFPBEF 0 ABEFEFAB 0 又平面 PAB，平面 PAB，PBABBABPB 平面 PAB EF （II）解：由，得BCAB2 2 2 a 可知) 1, 1 ,2(),0 , 1,2( PBAC 6 3 | ,cos PBAC PBAC PBAC 异面直线 AC、PB 所成的角为 6 3 arccos ) 2 1 , 2 1 , 2 2 ( AF AFPBPBAF 0 又，EF、AF 为平面 AEF 内两条相交直线EFPB 平面 AEFPB 与平面 AEF 所成的角为AC) 6 3 arcsin( 6 3 arccos 2 即 AC 与平面 AEF 所成的角为 21. 本小题主要考查导数的概念和计算， 6 3 arcsin 应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力，满分 12 分。 解：（I）f xxx( ) 321 2 若，则f x( ) 0 x 1 3 1， 当 x 变化时，变化情况如下表：)(),( xfxf x ()， 1 3 1 3 () 1 3 1， 1 ()1， fx( ) 0 0 f x( ) 极大值极小值 所以 f(x)的极大值是，极小值是fa() 1 3 5 27 fa( ) 11 （II）函数f xxxxaxxa( )() () 322 111 由此可知 x 取足够大的正数时，有，x 取足够小的负数时有，所f x( ) 0f x( ) 0 以曲线与 x 轴至少有一个交点。yf x ( ) 结合 f(x)的单调性可知： 当 f(x)的极大值，即时，它的极小值也小于 0，因此 5 27 0aa ()， 5 27 曲线与 x 轴仅有一个交点，它在上；yf x ( )()1， 当 f(x)的极小值，即时，它的极大值也大于 0，因此曲线a 10a ()1， 与 x 轴仅有一个交点，它在上yf x ( )()， 1 3 所以当时，曲线与 x 轴仅有一个交点。a ()()， 5 27 1yf x ( ) 22. 本小题主要考查椭圆和直线的方程与性质，两条直线垂直的条件，两点间的距离， 不等式的性质等基本知识及综合分析能力。满分 14 分。 解：如图，由条件知 MN 和 PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点 F（0，1）且 ，直线 PQ、MN 中至少有一条存在斜率，不妨设 PQ 的斜率为 k。又 PQ 过点MNPQ F（0，1），故 PQ 方程为 ykx1 将此式代入椭圆方程得 012)2( 22 kxxk 设 P、Q 两点的坐标分别为，则),(),( 2211 yxyx 2 2 2 2 2 1 2 22 , 2 22 k kk x k kk x 从而 22 22 2 21 2 21 2 )2( )1 (8 )()(| k k yyxxPQ 亦即 2 2 2 )1 (22 | k k PQ （i）当时，MN 的斜率为，同上可推得0k k 1 2 2 ) 1 (2 ) 1 (1 (22 | k k MN 故四边