_先二后一_法计算三重积分的实例解析

来稿日期： 基金项目：河南省教育科学规划课题 （ ） ；安阳工学院 年校科研基金项目立项资助 （ ） 作者简介：郭高荣（ ） ，女，河南汝南人，安阳工学院数理学院讲师，硕士。 “ 先二后一”法计算三重积分的实例解析 郭高荣，燕艳菊 （ 安阳工学院数理学院，河南 安阳 ） 摘要：针对几种不同版本的 高等数学教材用 “ 先二后一”法计算三重积分，很难让学生理解并掌握的 现状，给出了只有当被积函数满足一定条件，且平面闭区域、 平面闭区域或平面闭区域的面积容易计 算时，用 “ 先二后一”法计算三重积分比较简便。 关键词：先二后一法；三重积分；实例 中图分类号： 文献标识码： ： “ ” ， （ ， ， ， ， ） ： ，“ ” ， ， ， “ ” ： ； ； 引 言 在直角坐标下计算三重积分，可以分为 “ 先一后二”法和 “ 先二后一”法，其中用 “ 先二后一”法 （ 截面法） 计算三重积分例题相对较少。同济大学数学系编写的 高等数学 （ 第版，高等教育出版社出 版） ，还有其他大学的数学教材上很少看到有关用 “ 先二后一”法计算三重积分比较好的例题。有关这方 面的论文 ，涉及一些例题，但是笔者认为没有提到学生在学习 “ 先二后一”法（ 截面法） 的难点。对于理 工本科的学生而言，高等数学三重积分的计算既是一个重点，又是一个难点，特别是用 “ 先二后一”法 （ 截面法） 计算三重积分更是难上加难。其实这种方法在一些特殊情形下非常简便。本文主要介绍怎样用 “ 先二后一”法计算三重积分。 实例解析 所谓 “ 先二后一”法，就是先计算一个二重积分，再计算一个定积分。 设空间闭区域 （， ，）（，）， ， 以为底， 为高的柱形薄片， 质量为 （ （，）。 该物体的质量为 （，） （ （，） （，），其中是竖 坐标为的平面截空间闭区域所得到的一个平面闭区域。同理可以设空间闭区域 （， ，）（，） 第 卷第期 年月 （ 自然科学版） （ ） ， ， 或者 （，）（，）， 。 什么情况下用 “ 先二后一”法计算三重积分比较简便呢？必须满足以下个条件： ）平面闭区域、 平面闭区域或平面闭区域的面积容易计算，比如是圆形或椭圆等规则图形。 ）被积函数（，） 是一元函数， 例如（，）（） ； 或者函数（，） 可以拆开分为几个一 元函数（， ，）（）（）（） ， 例如（，） 。根据被积函数和三重积分的 积分区域特点确定是否可以用 “ 先二后一”法计算三重积分。 例 计算三重积分 ， 其中为个坐标面及平面所围成的闭区域。 解：题中被积函数（， ，）（）， 可以考虑用“ 先二后一” 法计算。 由于被积函数（，） （）， 所以必须做垂直于轴的平面截区域， 得到截面。 空间区域介于和之间， 在 ，内任意取一点， 做垂直于轴的平面， 截区域得到一个截面 （，） ， 截面 是一个直角三角形， 两条直角边长均为， 截面的面积为 （，） （ ） （） ， （ ） 。 说明：（ ）如果题中被积函数（，）， 所以必须做垂直于轴的平面截区域， 得到截面。 （ ）此题用 “ 先一后二”法和 “ 先二后一”法计算都比较适宜。 例 计算三重积分 ， 其中由 （） ， 所围成。 解：本题可以有多种解法。但是用 “ 先二后一”法计算最简单。先求两曲面交线，解方程组 （） ， 得到。 空间区域可以写成： （ ，） ， ， （，） （ ） ， 。 做垂直于轴的平面， 截区域得到一个圆形截面， 由于 ， 所以 ， 截区域 得到截面， 由于 （） ， 所以 （） 。 （） 例 计算三重积分 （） ， 其中是椭圆 。 解：本题也是用 “ 先二后一”法计算最简单。由于被积函数（， ，） ， 所以可以把 （） 分成个三重积分来计算： 其中 ， 此时被积函数（，） ， 所以必须做垂直于轴的平面截 区域， 得到椭圆截面， 这里表示椭圆面： 。 因为椭圆 的面积为 ， 所以截面的面积为 槡 槡 （） 。 （ 下转第 页） 年月 河北北方学院学报 （ 自然科学版） 第期 例 例中方程组 不相容的几何意义与最小二乘解的几何意义，其中 ， 。 解 因为 ， ， ， 则 （，） ， 故此方程组不相容。 到（ ， ，）的正射影， 因为 ， ， 线性相关， 所以的表示法有无数多种， 方程组 有无穷多解。 故此方程组 最小二乘解有无穷多组。 参考文献： 周琳广义逆矩阵及其计算方法本溪冶金高等专科学校学报， ，（ ） ： 马秀珍， 韩静关于几种广义逆矩阵及其应用沈阳航空工业学院学报， ， （ ） ： 郭文彬， 魏木生奇异值分解及其在广义逆理论中的应用北京： 科学出版社， ： 高珍珍广义逆矩阵及其应用伊犁师范学院学报， ， （ ） ： 程云鹏矩阵论 版西安： 西北工业大学出版社， ： 张凯院， 徐仲， 陆全矩阵论典型题解析西安： 西北工业大学出版社， ： 张禾瑞， 郝柄新高等代数 版北京： 高等教育出版社， ： 责任编辑：刘守义 英文编辑：刘彦哲 櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴櫴 （ 上接第 页） 于是 （） 。 同理可得： ， 。 所以： （） 。 由上可知，在计算三重积分时熟练掌握 “ 先二后一”法能大大简化运算过程。 参考文献： 贾建文三重积分的计算方法高等数学研究， ， （ ） ： 金云娟三重积分坐标面投影法积分区域的确定丽水学院学报， ， （ ） ： 同济大学数学系高等数学（ 下） 北京： 高等教育出版社， ： 安阳工学院数理系 高等数学（ 下） 北京： 中国人民大学出版社， ： 隋英， 孙常春利用极坐标计算一个三重积分赤峰学院学报， ， （ ） ： 林谦再论“ 在直角坐标系下三重积分的计