平行四边形存在性问题的解题策略

平行四边形存在性问题的解题策略 浙江省桐庐县分水初中教育集团玉泉校区311519胡柳青 平行四边形作为特殊的四边形， 一直是中考试题 中的主角尤其是在综合了函数知识后动态研究它的 存在性问题， 对学生分析问题和解决问题的要求较 高此类题目主要考查平行四边形的判定与性质、 函 数解析式的确定与性质， 考查识图作图、 运算求解、 数 学表达等能力， 数形结合、 分类讨论、 函数与方程等数 学思想学生在处理问题的时候， 往往不能正确分类， 导致漏解此外， 在解题时一般需要添设辅助线， 利用 平行四边形的性质， 转化为全等进行计算， 学生顺利 完成的难度就更大如何才能让他们有目的的进行分 类、 简单明了的给出解答， 从而减轻学习负担呢借助 平行四边形的对角线性质， 来探究平行四边形的存在 性问题就是一个很好的途径 1平行四边形对角线互相平分的坐标探究 11线段中点坐标的公式探索 如图 1， 在平面直角坐标系中， 若 A 点坐标为( x1， 0) ， B 点坐标为( x2， 0) ， M 为 AB 中点， 则 M 的坐标为 () 若 C 点坐标为( 0， y1) ， D 点坐标为( 0， y2) ， N 为 CD 中点， 则 N 的坐标为() 图 1 图 2 解析设 M 的坐标为( x， 0) ， 由 M 是 AB 的中点， 可得 x x1 = x 2 x， 解得x = x1 + x 2 2 ， 同理可求得N的 坐标( 0， y1 + y 2 2 ) 进一步可得结论: 如图 2， 在平面直角 坐标系中， 若 A 点坐标为( x1， y1) ， B 点坐标为( x2， y2) ， M 为 AB 中点， 则 M 的坐标为( x1 + x 2 2 ， y1 + y 2 2 ) 简证如 下: 过 M、 A 分别作 x 轴的平行线， 过 A、 B 作 y 轴的平行 线， 可得: C 点坐标( x2， y1)， D 为 BC 中点， 所以 D 点坐 标( x2， y1 + y 2 2 ) ， E 点坐标( x1， y1 + y 2 2 ) ， 又 M 为 ED 中 点， 所以M的坐标为( x1 + x 2 2 ， y1 + y 2 2 ) 这个结论也可以 利用 AEM BDM 来求解那么这个中点公式对平 行四边形的存在性的解决有什么帮助呢? 12平行四边形对角线互相平分的妙用 我们知道平行四边形的对角线互相平分， 即对角 线的中点互相重合如果平行四边形 ABCD 的四个顶 点的坐标为 A( x1， y1) ， B( x2， y2) ， C( x3， y3) ， D( x4， y4) 可得: x1 + x 3 2 = x2 + x 4 2 ， y1 + y 3 2 = y2 + y 4 2 ， 即x1 + x 3 =x 2 + x 4， y1 + y 3 = y 2 + y 4， 即平行四边形每条对角线上两 个顶点的横坐标之和相等， 纵坐标之和也相等根据这 个结论就可简洁地解决平面直角坐标系中平行四边 形存在性问题 例 1如图 3， A、 B、 C 是平面上不在同一直线上 的三个点 画出以 A、 B、 C 为顶点的平行四边形; 若 A、 B、 C 三点的坐标分别为( 1， 5) 、 ( 5， 1) 、 ( 2， 2) ， 请写出这个平行四边形第四个顶点 D 的坐标 图 3 图 4 解析此题是解决平行四边形存在性问题的基 础题， 由于有三个点已经确定， 在作图时， 一般会分别 选择 AB、 AC、 BC 为对角线来进行画图， 但这样的前提 是要有三个定点然而很多灵活复杂的此类问题却往 往只有两个定点， 所以可以把其中的以 BC 为对角线 转换成以 AD 为对角线， 这样就可以以不变应万变了， 只要取定已知点比如 A， 然后按 AB、 AC、 AD 分别为对 角线来进行分类这样能够比较明确的得到所有情况， 而且可以避免遗漏 如图 4， 以 AB 为对角线的平行四边形 AD1BC; 以 AC 为对角线的平行四边形 ABCD2; 以 BC 为对角线的 平行四边形 ABD3C设 D1坐标为( x， y) 在平行四边形 AD1BC 中， 对角线 AB 与 CD1互相平分， 也就是 AB 的 中点与CD1的中点重合， A、 B、 C三点的坐标分别为( 1， 5) 、 (5， 1) 、 ( 2， 2) ， 所 以 可 得 方 程 组: 1 5 = x + 2， 5 + 1 = y + 2 解得 D1的坐标为( 8， 4) ; 同理 04 ZHONGXUESHUXUEZAZHI中学数学杂志2015 年第 12 期 可得 D2( 1 2 ， 7 2 ) ， D3 ( 3 2 ， 3 2 ) 归纳在解答平面直角坐标系中平行四边形存 在性问题时， 首先可将四个点的坐标表示出来， 然后 利用与其中一点有关的三条线段分别为对角线进行 分类， 最后根据对角线互相平分时中点重合， 构造方 程组进行求解 2巧用对角线探究平行四边形的存在性 利用对角线进行分类讨论， 再利用对角线互相平 分构造等量关系， 是否也能处理比较复杂的存在性问 题呢?下面以 2015 年的一道中考题为例， 作一说明 图 5 例 2( 2015 年湖北) 如图 5， 边长为 2 的正方形 OABC在平面直角坐标系中 的位置如图所示， 点 D 是边 OA 的中点， 连接 CD， 点 E 在第一象限， 且 DE DC， DE = DC以直线 AB 为对称 轴的抛物线过 C， E 两点( 1)求抛物线的解析式; ( 2)点P 从点C 出发， 沿射线CB 每秒1个单位长 度的速度运动， 运动时间为 t 秒过点 P 作 PF CD 于 点 F， 当 t 为何值时， 以点 P， F， D 为顶点的三角形与 COD 相似? ( 3) 点M为直线AB上一动点， 点N为抛物线上一 动点， 是否存在点 M， N， 使得以点 M， N， D， E 为顶点的 四边形是平行四边形?若存在， 请直接写出满足条件 的点的坐标; 若不存在， 请说明理由 解析( 1) 可求得E的坐标为( 3， 1) 抛物线的对 称轴为直线x = 2， 抛物线的解析式为y = 1 3 x2 4 3 x + 2; ( 2)略; ( 3)存在， 已知 D( 1， 0) ， E( 3， 1) 点 M 为直 线 AB 上一动点， 所以设 M( 2， b) ， 点 N 为抛物线上一 动点， 所以设 N( a， 1 3 a2 4 3 a + 2) ， 若四边形 MNDE 是平行四边形时， MD， NE 为对 角线， 所以可得方程组: 2 + 1 = 3 + a， b + 0 = 1 3 a2 4 3 a + 2 + 1， 解得: a = 0， b = 3， 所以 M( 2， 3) ， N( 0， 2) ; 若四边形 MDEN 是平行四边形时， ME， DN 为对 角线， 所以可得方程组: 2 + 3 = 1 + a， b + 1 = 1 3 a2 4 3 a + 2 + 0， 解得: a = 4， b = 1， 所以 M( 2， 1) ， N( 4， 2) ; 若四边形 MEND 是平行四边形时， MN， ED 为对 角线， 所以可得方程组: 2 + a = 1 + 3， 0 + 1 = 1 3 a2 4 3 a + 2 + b， 解得: a = 2， b = 1 3 ， 所以 M( 2， 1 3 ) ， N( 2， 2 3 ) 3巧用对角线探究平行四边形的适度拓展 在一些问题中， 还常常会要求学生讨论菱形、 矩 形的存在性此时我们可在上述基础上增加相应条件， 如增加两条对角线互相垂直、 邻边相等得到菱形， 增 加邻边互相垂直、 对角线相等得到矩形， 利用点坐标 求得相应线段的长度从而求解事实上利用坐标求解 的思路还适用于等腰三角形、 直角三角形、 圆的存在 性问题有时， 我们甚至还可以通过构造平面直角坐标 系来求解 例 3如图6， 已知正方形ABCD， 点E 是BC 上一 点， 以 AE 为边作正方形 AEFG ( 1)连接 GD， 求证: ADG ABE; ( 2)连接 FC， 求证: FCN = 45; ( 3)请问在 AB 边上是否存在 一点Q， 使得四边形DQEF是平行四边形?若存在， 请 证明; 若不存在， 请说明理由 图 6 图 7 解析( 1) 略; ( 2) 略; ( 3) 如图7， 以B为坐标原 点， BA 为 y 轴， BC 为 x 轴， 设 BE = a， BC = 1， BQ = b， 过 F 作 FH x 轴， 可得 ABE EFH， 所以 E 点坐 标( a， 0) ， F点坐标( 1 + a， a) ， D点坐标( 1， 1) ， Q点坐 标( 0， b) ， 又因为四边形 DQEF 是平行四边形只能 DE， QF 为对角线 所以可得方程组: 1 + a = 1 + a + 0， 0 + 1 = b + a， 解得: a + b = 1， 所以当AQ =BE时， 四边形DQEF是平 行四边形所以在 AB 边上存在一点 Q， 使得四边形 DQEF 是平行四边形 图 8 我们不妨再深入思考， 若点 Q 在直线 AB 上移动， 如图 8， 若 四边形 DQEF 是平行四边形 DQ， EF 为对角线可得方程组: 1 + 0 = 1 + 2a， b + 1 = a， 解得: a = 0， b = 1，此时 G 与 D 重合， E与B重合， F与C重合， Q 14 中学数学杂志2015 年第 12 期ZHONGXUESHUXUEZAZHI 与 A 关于 X 轴对称， 此时四边形 DQEF 是平行四边形 若四边形 DEFQ 是平行四边形 DF， EQ 为对角线可 得方程组: 2 + a = 0 + a， a + 1 = b + a， 方程组无解， 此时四边形 DEFQ 不可能是平行四边形 4对角线处理平行四边形存在性问题的教学思考 利用对角线解决平行四边形的存在性问题， 实际 上是分两次使用对角线首先利用对角线进行分类， 例如以 A、 B 两个定点， C、 D 两个动点为顶点， 构造以 A、 B、 C、 D 为顶点的平行四边形， 那么就可以选定定点 A 为起始点， 分别以 AB、 AC、 AD 为对角线进行讨论; 然后根据中点公式， 利用对角线中点相同构造方程 组， 从而求解如果是一个动点的问题， 则不需要构造 两个方程就可以解决; 如果是两个动点的问题， 在求 解的过程中需设两个未知数， 再利用中点公式， 构造 方程组求解基本的步骤可归纳为第一步设坐标， 第 二步按对角线分类， 第三步求解方程组， 若有解则存 在， 否则不存在 利用对角线进行讨论求解， 实质就是用代数方法 研究几何问题， 加强数形之间的联系， 突出数形结合 的思想其优点是非常明显的: 1不会漏解， 因为它借 助了概率中的列举法， 不遗漏， 不重复的给出不同情 况， 而且分类较为简便; 2不需画图证明， 此类问题一 般出现在比较复杂的综合题中， 中点公式的运用一般 不需要对已经很复杂的图像上再 “锦上添花” ， 它跨越 了复杂的推理过程和艰难的探索发现以及证明过程， 让学生的思路清晰明了; 3不受图像限制， 中点公式的 运用范围很广， 无论有几个定点， 无论在什么函数图 像上， 只要坚持利用对角线互相平分， 就可以不变应 万变当然， 对于一些特殊的情况也需灵活变通应用 总之， 利用对角线解决平行四边形的存在性问 题， 综合应用了几何代数的知识， 最大限度地体现了 数形结合的思想， 减轻了学生负担， 对提高学生的思 维空间、 解题能力有着积极的意义 “ 揭密” 圆弧中点背后的等腰三角形 山东省东营市垦利县胜坨中学257506张振中 弧的中点是圆知识中的基本概念， 如图 1， M 是 AB ) 的中点， 由弧、 弦、 圆心角、 圆周角的知识得出如 下直观的结论 图 1 图 2 图 3 1如图 2， 连接 OM、 AB， 则线段 OM 垂直平分线 段 AB; 2如图 3， 连接 AM、 BM， 则 AM = MB; 3 如 图 4，连 接 OA、 OB、 OM，则 AOM = BOM; 4如图5， 点 C 是AB ) 外圆上的任一点， 则 ACM =BCM 图 4 图 5 上面弧的中点涉及的知识与等腰三角形有什么 样的内在联系呢?我们以下面的例题进行说明， 理 解它们之间的必然联系 例题如图6， 已知半圆O的直径为10， 弦AC = 6， AD 平分 BAC， 则 AD 的长为 解法1分析 条件中 AD 平分BAC， 可知点 D 为BC ) 的中点， 连接 OD、 BC( 如图 7) ， 由知识点 1， 可 知 OD 垂直平分线段 BC 图 6 图 7 图 8 因为 AB 是直径， 所以 ABC、 ABD 是直角三