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文档简介

1,曲线和曲面上的积分,Gauss公式,2,内容提要,Gauss公式：Rn中n-1维双侧闭曲面S的(第二型)曲面积分和S所围区域上的积分之间的关系及其对有界区域的推广,3,Gauss定理,设WRn中的有界闭区域其边界W由有限多个分片光滑双侧曲面组成.F是定义在W上的光滑向量场.W的方向指向区域外侧,则下列Gauss公式成立其中称作向量场F的散度.,4,Gauss定理示意图,5,Gauss定理的证明,Gauss定理的一般证明与Green定理的证明类似,将W分成满足下列形式的小区域Wk:的并,先在每一个Wk上证明定理,然后将结果加起来.,6,Gauss定理的证明(续),这里仅对上面特殊区域证明定理.设由公式右端出发,对每个,7,Green定理证明(续1),有微积分基本定理和第二型曲面积分的定义,8,Gauss定理证明(续2),对i由1到n求和,就得到Gauss公式,9,Gauss公式例1,设S为Rn中的球面|x|=r,向量场F(x)=x,计算F关于S外侧的第二型曲面积分.解:divF=n,因此,10,Gauss公式例2,计算：其中S为四面体:x+y+z1,x0,y0,z0表面的外侧.解:向量场F=(x+1,y,1)的散度divF=2,及四面体为W.由Gauss公式,11,Green公式是Gauss公式,平面上逆时针方向的简单闭曲线的切向量T=(T1,T2)与外法向量N=(N1,N2)的关系:N1=-T2,N2=-T1(P,Q)T=(Q,-P)N,12,n维分部积分公式,设W是Rn中的有界分片光滑闭区域(即W分片光滑),F是W上的光滑向量场,g是W上的光滑实值函数,则其中n(x)是W的单位外法向量场.,
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