数学北师大版高中一年级必修2 《棱柱、棱锥和棱台》

棱柱棱锥和棱台,罗维,学习目标：,1.初步理解棱柱棱锥棱台的概念,掌握它们的形成.2.了解棱柱棱锥棱台中一些常用名称的含义.3.了解棱柱棱锥棱台所具有的特点,初步掌握这几种几何体的简单作图方法.4.通过对日常生活中简单几何体实物模型的观察,初步体会从感性到理性认识事物的过程.,课前三题：,1.棱柱:有两个面_,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都_,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.2.棱锥:有一个面是_,其余各面都是有一个公共顶点的_,由这些面所围成的多面体叫做棱锥.3.棱台:用一个_棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台.,互相平行,互相平行,多边形,三角形,平行于,重要讲解：,1.棱柱的概念与分类多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体.棱柱就是一个多面体,它是由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体,它的形成使之具备如下几个特点:(1)平移起止位置的两个面(称为底面)互相平行且全等;(2)多边形的各边平移所形成的面(称为侧面)都是平行四边形.,注意:这里强调沿某一方向平移不可忽视.棱柱按底面多边形的边数可分为:三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱n棱柱(nN*,n3).,2.棱锥棱台的形成与分类每一个棱柱都有两个互相平行且全等的底面,当棱柱的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做棱锥.而棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后,截面和底面之间的部分.由于棱锥棱台的形成都与棱柱有关,故棱锥棱台也与棱柱一样,根据底面多边形的形状分为三棱锥(台)四棱锥(台)n棱锥(台)(nN*,n3).,3.棱柱棱锥的本质特征棱柱有三个本质特征:(1)有两个面互相平行;(2)其余各面都是平行四边形;(3)这些平行四边形中,每相邻两个面的公共边都互相平行.因此,棱柱有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形.但是要注意“有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形”的几何体未必就是棱柱.如下图所示的几何体有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形,但这个几何体不是棱柱而是两个棱柱的组合体.其原因是不具备条件(3).,棱锥也有三个本质特征:(1)有一个面是多边形;(2)其余的各面是三角形;(3)这些三角形有一个公共顶点.三者缺一不可,因此棱锥有一个面是多边形,其余各面都是三角形.但是也要注意“有一个面是多边形,其余各面都是三角形”的几何体未必就是棱锥.如右图所示的几何体满足各面都是三角形,但这个几何体不是棱锥,因为它不满足条件(3).,典例剖析,题型一几何体的概念,例1:设有三个命题:甲:有两个面平行,其余各面都是平行四边形所围成的几何体一定是棱柱;乙:有一个面是四边形,其余各面都是三角形所围成的几何体是棱锥;丙:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到的几何体叫棱台.以上命题中,真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3,分析:要判断几何体的类型,首先应熟练掌握各类几何体的结构特征.,解析:对于甲,满足两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体并不一定是棱柱.如图1所示的几何体,平面ABC与平面ABC是对应边分别平行的全等三角形,其他面都是平行四边形,但不是棱柱,故甲不是真命题.,对于乙,如图2,底面是四边形ABCD,且各侧面都是三角形但不是一个公共顶点时就不是棱锥,所以乙也不是真命题.对于丙,用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,将得到两个几何体,其中一个仍然是棱锥,而另一个为棱台,而丙命题说得很含糊,故不是真命题.综上可知,应选A.,答案:A,规律技巧:解此例关键在于正确掌握棱锥棱柱棱台的几何特征,熟悉它们概念的形成,并掌握与概念相匹配的等价命题.,变式训练1:下列说法正确的是()A.棱柱的面中,至少有两个互相平行B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱中各条棱长都相等D.棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形,答案:A,题型二几何体的几何特征,例2:如图所示,长方体ABCDA1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为什么?(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分,各部分形成的几何体还是棱柱吗?如果是,是几棱柱,并用符号表示;如果不是,请说明理由.,解:(1)是棱柱,并且是四棱柱,因为以长方体相对的两个面作底面,是互相平行的,其余各面都是矩形,且四条侧棱互相平行.符合棱柱的定义.(2)截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1MCC1N,左下方部分是四棱柱ABMA1DCND1.,规律技巧:判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义,首先看“面”,观察这个多面体是否有两个互相平行的面,其余各面都是四边形;再看“线”,即观察每相邻两个面的公共边是否平行.,变式训练2:如图,四边形ABCD是一个正方形,EF分别是AB和BC的中点,沿折痕DEEFFD折起得到一个空间几何体,请你动手折一折,看看这个空间几何体是什么几何体.,解:折起后是一个三棱锥,如下图所示.,题型三组合体问题,例3:如右图中的几何体(中间割去的为四棱柱)是由哪些简单几何体构成的?,解:图中的几何体可以看作是一个长方体割去一个四棱柱所得的几何体,也可以看成是一个长方体与两个四棱柱组合而成的几何体.如下图所示:,规律技巧:一些复杂的几何体是由简单几何体组合而成的,因而解决本题的关键是要熟悉几种简单几何体的形状.另外,观察几何体的角度不同,得到几何体的构成可能就不一样.,变式训练3:下列各立体图形表示的是柱体或由柱体构成的几何体是()A.B.C.D.,答案:C,易错探究,例4:在下面4个平面图形中,哪几个是下面各侧棱都相等的四面体的展开图?其序号是_.(把你认为正确的序号都填上),错解:错因分析:正确,不正确.思维想象能力较差,可动手制作几何体,观察其展开图,提高识图能力.正解:,1.判断题(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体,是棱柱.()(2)一个棱柱至少有五个面.()(3)用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台.()(4)棱台的各侧棱延长后交于一点.()(5)棱台的侧面是等腰梯形.(),答案:(1)(2)(3)(4)(5),基础强化,2.下列命题中正确的是()A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.有一个面是多边形,其余各面都是梯形的几何体叫棱台D.有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥,答案:D,3.将梯形沿某一方向平移形成的几何体是()A.四棱柱B.四棱锥C.四棱台D.五棱柱,答案:A,4.如图,在长方体ABCD-ABCD中,P是对角线AC与BD的交点,若P为四棱锥的顶点,棱锥的底面为长方体的一个面,则这样的四棱锥有()A.3个B.4个C.5个D.6个,解析:以P为顶点,底面分别是长方体的四个侧面和下底面,共5个.,答案:C,5.如下图几何体中是棱柱的有()A.1个B.2个C.3个D.4个,解析:由图知,是棱柱.,答案:C,6.六棱台是由一个几何体被平行于底面的一个平面截得而成,这个几何体是()A.六棱柱B.六棱锥C.长方体D.正方体,答案:B,7.一个棱柱至少有_个面,面数最少的棱柱,有_条棱,有_条侧棱,有_个顶点.解析:面数最少的棱柱是三棱柱.,5,9,3,6,8.明矾晶体的形状如右图所示.它共有_个顶点,_个面,它可以看作是由_个_(几何体)组成.,6,8,两,四棱锥,能力提升,9.一个棱锥的各条棱长都相等,那么这个棱锥一定不是()A.三棱锥B.四棱锥C.五棱锥D.六棱锥,解析:六棱锥的侧棱长一定与底面边长不相等,若相等,则顶点在底面内.,答案:D,10.我们将侧棱和底面的边统称为棱,则三棱锥有4个面,6条棱,4个顶点,如果面数记作F,棱数记作E,顶点数记作V,那么F,E,V之间有什么关系?再用三棱柱,四棱台检验你得到的关系,你知道这是个什么公式吗?,答案:V+F-E=2欧拉公式,11.如题图,模块均由4个棱长为1的小正方体构成,模块由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块中选出三个放到模块上,使得模块成为一个棱长为3