加权余量法ppt课件

修正1.3变分原理、利兹法、1.3.1自然变分原理、1.3.2泛函的变分原理，如果1微分方程具有线性、自伴随性质，则不仅可以建立其等效积分形式，而且可以利用加权馀数法求出近似解，建立与其等效的变分原理，并基于此建立另一个近似解法3333 1、线性、自伴随微分算子、1.3.1自然变分原理、2、微分算子、线性、自伴随微分方程式的定义：1.3.1自然变分原理、3、对上式支部进行积分，直到u的导数消失为止，考虑到得：边界项、积分，任意函数或的伴随算子。 如果是这样，运算符就称为自伴随运算符。 1.3.1自然变分原理，4，2 .泛函的结构，Galerkin (伽马辽金)格式，由于算子是线性的、自伴随的：1.3.1自然变分原理，5，1.3.1自然变分原理，6，整理得到：1.3.1自然变分原理，微分方程的等效积分形式：7，某些问题的物理本质常常是例如，弹性力学中的最小能量原理、粘性流体中的最小能量耗散原理称为自然变分原理。 3 .自然变分原理，1.3.1自然变分原理，8，对于这样的问题，是未知场函数，特定的算子。 的双曲馀弦值。 连续介质问题的解：使泛函成为极值(或驻定值)。 存在泛函，其为标量，1.3.1自然变量原理，9，例如最小势能原理，1.3.1自然变量原理，10，1.3.1自然变量原理，其中：近似解：11，1.3.1自然变量原理，其中：未定参数向量(未知)，启发式函数矩阵(预选定)，三维问题：12 1.3.1自然变分原理，泛函：变分：相互独立，13，得到的矩阵形式中有3个方程式，如果是完整的函数序列，则收敛于精确解，如果n是有限项，则为近似解。 上述方法满足Ritz法、1.3.1自然变分原理、14，2 )代入、基于Ritz (利兹)法变分原理的近似解法、1 .求解步骤：1 )假定近似解：保留参数、强制边界条件. 另外，将泛函的极值问题(函数u求出)变换成多变量()函数的极值问题。 1.3.1自然变分原理，15，3 )求解线性代数方程式，u的近似解，1.3.1自然变分原理，16，2 .解的收敛性，1 )连续性要求为阶段连续性，2 )完整性要求为完整的函数序列，1.3.1自然变分原理，17，1.3.1自然变分原理，3 .特征，1 )近似解为全域，2 )启发式函数3 )保留系数是任意的，没有表明特定的物理意义。 4 )如果我们熟悉问题，就能找到合适的试函数，可以说是工作的一半，但缺乏一般性。 18，4 .讨论：1 )古典意义上的泛函变分理论只适应线性自伴随微分方程式。 2 )收敛性有严格的理论基础(泛函分析)。 3 )如果预先满足强制边界条件，则解具有明确的上下边界的性质。 如果事先不满足，则需要处理(制约变分原理)。 1.3.1自然变分原理，19，但是未知函数往往需要遵循一些附加条件，我们将这些变分原理称为“具有附加条件的变分原理”。 1 .修正(约束)变分原理，建立自然变分原理后，问题的解由泛函取值。 1.3.2可将泛函的变分原理、约束条件、20、附加条件引入泛函中，重新构建“泛函修正”，将问题转化为求泛函修正的定值问题。 常用方法： Lagrange乘法、罚函数法。 1.3.2修正泛函变分原理，21，原泛函的约束变分问题，修正泛函*的无约束变分，修正泛函添加未知函数。 2.Lagrange乘法(乘法)，修正泛函*:1.3.2修正泛函变分原理，22，1.5变分原理，近似解：线性，1.3.2修正泛函变分原理，修正泛函变分：23，1.3.2修正泛函变分原理，其中：可：24，即系数阵列为0。方程不包括项，因此修正了1.3.2泛函变分原理，对线性问题得到线性方程的原因：修正了25，1.3.2泛函变分原理，讨论(减缓约束条件的代价):1 )增加了明显的方程次数。 2 )方程式系数矩阵的主要要素(对角要素)出现零要素，解方程式的困难增加了。 (一般的消元法不能使用)3)一般的物理问题中得到的自然变分问题是极值问题。 由于附加项的积分性质不清楚，所以修正的泛函一般是驻定值问题。 (消除了极值性质)4)利用乘法，弹性力学的各种变分原理的转换。 修正26，1.3.2泛函变分原理，3 .修正惩罚函数法，泛函，其中称为惩罚数，正定，对极小值问题取正数的值越大，约束越满足。 (近似性越好)该方法的优点越明显，不添加未知函数。 修改了(预先给出的)、27、1.3.2泛函变分原理，如：极值问题(函数极值问题)、因约束：解方程式、增益：28、1.3.2泛函变分原理，上述方程式可写为矩阵形式，分析方程式：来自原始泛函、约束条件。 29、而且要得到非零解，必须奇怪。 1.3.2修改泛函变分原理，讨论：1 )该方法的优点在于：不增加最后线性方程的阶数；2 )在奇异阵列中相对可忽略； 30，1.3.2修改泛函变分的原理，如实施例所显示，很奇怪。 应在实例计算中证明的奇异性。 修正了31，1.3.2泛函变分原理，3 )取法问题太小，不能满足约束条件。 过大，系数矩阵接近奇异，方程病态。 取值得适当。 原则上取的值不满足制约条件的误差，最好是和前面计算中的误差相同程度。 一般采取10121015。 4 )有限元法常用于位移边界条件的引入。 32、第1章有限元法的理论基础加权馀数法和变分原理，本章要重点把握的内容微分方程式的等价积分形式及其“弱”形式的本质和构造方法，任意函数和场函数应满足的条件。 不同形式的加权馀数法中加权函数的形式和近似解的求解顺序，以及Galerkin法的特征。 33、线性自伴随微分方程变分原理的构造方法和泛函性质，以及自然边界条件和强制边界条件的差异。 经典Ritz方法的求解步骤、收敛条件和极限、34、两种形式的虚功原理(虚位移原理和虚应力原理)的本质和构造方法。从虚功能原理导出最小位能原理和最小馀能原理的路径，各自的性质和场函数应预先满足的条件，35，等价积分形式的等价积分“弱”形式，泛函和变分原理强制边界条件，第1章关键概念，加权馀数法Galerkin方法线性自伴随算子， 了解自然边界条件泛函的驻值和极值、Ritz方法虚位移原理虚应力原理、最小能量原理最小馀能原理、36，1 .数学微分方程，如何建立等效积分形式？ 如何证明两者是等价的？ 第1章复习题，3 .不同形式的加权馀数法的区别是什么？除了本书列举的几种方法之外，可以提出其他形式的加权馀数法吗？ 如果可能的话，分析新方法有什么特点。 2 .等价积分形式和等价积分“弱”形式的区别是什么？ 为什么后者在数值分析中应用得更多？ 37，4 .加权馀量法的Galerkin法是指，有什么样的特征，5 .如何识别微分算子是线性伴随的？ 如何识别它的意思？ 6 .如何建立与自伴随微分方程等效的泛函和变分原理？ 如何证明加权馀量Galerkin方法之间的等效性？ 38，7 .自然边界条件和强制边界条件的区别是什么？为什么这么命名？ 对于给定的微分方程，如何区分这两类边界条件？ 8 .泛函在什么条件下具有极值性？ 什么是Ritz方法，了解泛函是否具有极值意义？ 根据那个制作出来的解决方法有什么特征？ Ritz方法收敛性的定义是什么？ 收敛条件是什么，39，10.ritz方法的优缺点是什么？11 .虚功原理有哪两种不同的形式？ 各弹性力学和哪个方程式相等？ 你能正确表达吗？ 12 .什么是最小能量原理，它是如何推导出来的？ 字段函数是什么？应该满足什么条件？对字段函数的启发式函数有什么要求？ 40，13 .如何利用最小势能原理建立数值解的求解方程，解的收敛性和极值性条件是什么，14 .什么是最小馀能原理？ 是怎样导出的呢？ 字段函数是什么？应该满足什么条件？对字段函数的启发式函数有什么要求？ 41，15 .如何利用最小能量原理建立数值解的求解方程？ 方程的特征是什么？解的收敛性和极值性条件是什么？16 .为什么最小能量原理的近似解的变形能够脱离边界，即整个解偏向于“刚刚”？ 最小馀能原理的近似解的应变能取界，也就是说解整体偏向“柔软”吗？ 你能在力学意义上进一步说明吗？ 42、1.4.3变量的一些基本概念；1 .函数的定义和泛函的定义：函数的定义：对于每个参数x字段的值，有一种关系，其中，y对应于一个值，或者x对应于一个参数y。 变量y称为变量x的函数，即y=y(x )。 另外，对于43，1.4.3变量的一些基本概念，泛函的定义：某一类函数y(x)的各个函数y(x )，某一值对应于某一函数y(x )，或者整数对应于函数y(x )的关系成立。 变量为函数y(x )的泛函，即=(y(x ) )。 44、1.4.3变量的一些基本概念；2 .微分和变量微分：x的增量x用dx表示某二值之差x=x-x1的微分，其中dx也是增量之一，在该增量小的情况下，dx=x。 45 .一种变量：y(x )的增量，在其小时候被称为变量，并以y(x )或y来表示，其中，y(x )为y(x )与y(x )附近的y1(x )之间的差，即y(x)=y(x)-y1(x )，其中，y(x )也为x的函数，但y(x )为指定的x域(假设y(x )在接近y1(x )的函数中任意地变化)。 1.4.3变量的一些基本概念、46、1.4.3变量的一些基本概念、3 .函数的微分和泛函的变量函数的微分1:函数的增量y=y(x x)-y(x )可以展开为线性项和非线性项y=a (x ) -x (x，x)x。 其中，A(x )与x无关，(x，x )与x有关，在x 0的情况下，(x，x)0、y(x )微小，即dy=a(x)x=y(x)x。a (x )=y(x )是函数的导数，并且是47，1.4.3变量的基本概念，将函数的微分2:设定为小参数，当获得导数的y(x -x )对时，在接近0处y (x -x )构成对的导数等于y (x )在x处的微分。 这个定义和拉格朗日处理变量的定义相似。 48、1.4.3变量的一些基本概念，泛函变量1:类似于函数的微分，还有两个泛函变量的定义。=y(x)y(x)-【y(x)=Ly(x )，y(x)上式中的ly(x )，y(x)称为泛函的变量，用表示。 泛函的变分是泛函增量的主要部分，且其主要部分关于y(x )是线性的。 此外，49，1.4.3变量的一些基本概念，泛函变量2:在y(x)y(x)对导数为=0时的值，拉格朗日的泛函变量为：50，1.4.3变量的一些基本概念，4 .极小问题函数y(x )在x=x0附近的任何点上若不大(不小)，即dy=y(x)-y(x0)0(0)，则x=x0达到最大(最小)，x=x 0，51，函数的最大极小泛函y(x)也可以定义。 如果泛函y(x)不大于在y=y0(x )附近的曲线上的值，即=y(x)-【y0(x)0(或0 )，则泛函y(x)在曲线y=y0(x )上达到极大值(或极小值)，且在y=y0(x )上达到：1.4 52 1.4.3变分的一些基本概念从泛函的极大(或极小)值，主要是泛函的相对极大(或极小)值，即彼此接近的若干曲线研究最大(或最小)泛函值，但是曲线的靠近具有不同的接近度。 因此，在泛函的极大极小定义中，应该说明这些曲线有几次接近度。 对于53，1.4.3变量的一些基本概念，54，1.4.3变量的一些基本概念，对于与y=y0(x )的接近度为零的所有曲线，强变量和强变量都没有规定y(x)-y0(x )是否很小，但是y(x )-y0 (x )是否很小将这样达到的极大(或极小)的值称为强极大(强极小)或者强变分的极大(或者极小)。关于55，1.4.3变分的基本概念，弱变分和弱极大仅仅是对y=y0(x )具有一次性接近度的曲线y=y(x )，或者不仅是纵轴间接近切线方向间的曲线，泛函也是曲线将这样实现的极大值(或极小值)称为弱极大值(弱极小值)或弱变分的极大值(或极小值).56，1.4.3变分的几个基本概念，5 .变分法的基本预备定理变分法的基本预备定理函数F(x )为线段(x1， x2)对于上述连续且仅满足一般条件的任意选定的函数y(x )，求出： 假设存在57个，对于1.4.3个变量的一些基本概念，5 .变量法的基本预备定理变量法的基本预备定理函数F(x )在线段(x1，x2)上是连续的，并且对于仅满足一般条件的任意选定的函数y(x )，如果存在：个，则在线段(x1，x2)， f (x )=0360 (