数学人教版高中二年级数学 第八章 第1讲

第1讲空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积,最新考纲1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图；3.会用平行投影的方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；4.了解球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式.,知识梳理,1.空间几何体的结构特征,平行且相等,全等,相似,矩形,直角边,直角腰,直径,2.空间几何体的三视图,空间几何体的三视图是用得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是的，三视图包括、.,正投影,完全相同,正视图,侧视图,俯视图,3.空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45(或135)，z轴与x轴、y轴所在平面垂直.,4.柱、锥、台和球的侧面积和体积,2rh,rl,Sh,(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.,Ch,Sh,4R2,5.几何体的表面积,(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是、；它们的表面积等于与底面面积之和.,各面面积之和,矩形,扇形,扇环,侧面积,诊断自测,1.判断正误(在括号内打“”或“”),(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()(3)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.()(4)锥体的体积等于底面面积与高之积.()(5)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S.(),2.(2014新课标全国卷)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是(),A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱,解析由题知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B.,答案B,3.某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是(),A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm2,解析由三视图画出几何体的直观图，如图所示，长方体的长、宽、高分别为6cm，4cm，3cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3cm，4cm，5cm，所以表面积S(463634)2333424353138(cm2)，选D.,答案D,答案D,5.(2015江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_.,考点一空间几何体的三视图与直观图,【例1】(1)(2016南阳联考)已知一个三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为(),(2)已知正AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是_.,解析(1)由已知条件得直观图如图所示，PC底面ABC，正视图是直角三角形，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线，故选C.,规律方法(1)三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.即“长对正，宽相等，高平齐”.(2)解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.,【训练1】(1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是(),A.棱柱B.棱台C.圆柱D.圆台,(2)如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6cm，CD2cm，则原图形是()A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形,解析(1)(排除法)由正视图和侧视图可知，该几何体不可能是圆柱，排除选项C；又由俯视图可知，该几何体不可能是棱柱或棱台，排除选项A，B，故选D.,答案(1)D(2)C,考点二空间几何体的表面积,【例2】(1)(2015安徽卷)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是(),答案(1)C(2)A,规律方法(1)已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式求其表面积.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理.,【训练2】(1)(2015全国卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为1620，则r(),A.1B.2C.4D.8,(2)(2015北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(),答案(1)B(2)C,考点三空间几何体的体积,微题型1以三视图为载体求几何体的体积,【例31】(1)(2015重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(),(2)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为(),答案(1)A(2)B,规律方法求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.,微题型2以空间几何体为载体求体积,解析(1)法一连接A1C1，B1D1交于点O1，连接B1D，EF，过O1作O1HB1D于H.EFA1C1，且A1C1平面B1EDF，EF平面B1EDF.A1C1平面B1EDF.C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离.平面B1D1D平面B1EDF，且平面B1D1D平面B1EDFB1D，O1H平面B1EDF，即O1H为棱锥的高.,规律方法(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解，其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积.(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.,【训练3】(1)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为(),答案(1)A(2)B,思想方法1.棱柱主要是理解、掌握基本概念和性质，并能灵活应用.2.正棱锥问题归结到它的高、侧棱、斜高、底面正多边形的内切圆半径或外接圆半径、底面边长的一半构成的直角三角形中解决.3.求空间几何体的侧面积、体积的思想与方法(1)转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.,(2)求体积的两种方法：割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.,易错防范1.台体可