实验二：迭代法、初始值与收敛性

实验二：迭代法、初始值与收敛性一：实验要求考虑一个简单的代数方程针对上述方程，可以构造多种迭代法，如等。在实轴上取初值，分别用以上迭代做实验，记录各算法的迭代过程。二：实验要求及实验结果（1） 取定某个初始值，按如上迭代格式进行计算，它们的收敛性如何？重复选取不同放入初始值，反复实验。请读者自行设计一种比较形象的记录方式（如何利用Matlab的图形功能），分析三种迭代法的收敛性与初值的选取关系。（2） 对三个迭代法中的某一个，取不同的初值进行迭代，结果如何？试分析对不同的初值是否有差异？实验内容：）对进行迭代运算，选取迭代次数n=20；分别选择初值-0.6， 1.6进行实验，并画出迭代结果的趋势图。编写MATLAB运算程序如下：%迭代法求解 %令x=x2-1clearn=30; x=-0.5; x1=x2-1; for i=1:n x1=x12-1; xx(i)=x1;endm=linspace(0,29,n); plot(m,xx)title(x=-0.5)如上图所示，选取初值分别为-0.6、1.6时，结果都是不收敛的。分析：，要想在某一邻域上但是，所以不存在某个邻域使得该迭代公式收敛。即迭代公式对任何初值都是发散的。）对进行迭代运算，选取迭代次数n=30；分别选择初值=-0.7， 2.1进行实验，并画出迭代结果的趋势图。编写MATLAB运算程序如下：%迭代法求解 %令x=x2-1clearn=20; x=-0.5; x1=1+1./x; for i=1:n x1=1+1./x1; xx(i)=x1;endm=linspace(0,29,n); plot(m,xx,b)title(x=-0.5)如上图所示，选取初值分别为-0.7、2.1时，结果都是收敛。分析：设 在上有界，且则由迭代式对任意初始值产生的序列都收敛。同时由可以看到，在选取初值，在进行n次迭代后，都会存在一个，此时相当于是在范围内的初始值，迭代公式产生的序列收敛。所以初值的选取对数列的收敛性没有影响。）对进行迭代运算，选取迭代次数n=20；分别选择初值=-0.6，2.1进行实验，并画出迭代结果的趋势图。编写MATLAB运算程序如下：%迭代法求解 %令x=sqrt(1+x)clearn=20; x=-0.5; x1= sqrt(1.+x); for i=1:n x1= sqrt(1+x1); xx(i)=x1;endm=linspace(0,29,n); plot(m,xx,b)title(x=-0.5)如上图所示，选取初值分别为-0.6、2.1时，结果都是收敛。分析：设 在实数域上有界，且则由迭代式对任意初始值产生的序列都收敛。同时由可以看到，在选取初值，对迭代结果所产生的虚数的实部和虚部也是收敛的。如初值选取x=-3，得到20次的迭代结果如下：实部收敛于1.618，虚部收敛于0， Columns 1 through 5 1.1688 + 0.6050i 1.4867 + 0.2035i 1.5782 + 0.0645i 1.6058 + 0.0201i 1.6143 + 0.0062i Columns 6 through 10 1.6169 + 0.0019i 1.6177 + 0.0006i 1.6179 + 0.0002i 1.6180 + 0.0001i 1.6180 + 0.0000i Columns 11 through 15 1.6180 + 0.0000i 1.6180 + 0.0000i 1.6180 + 0.0000i 1.6180 + 0.0000i 1.6180 + 0.0000i Columns 16 through 20 1.6180 + 0.0000i 1.6180 + 0.0000i 1.6180 + 0.0000i 1.6180 + 0.0000i 1.6180 + 0.0000i上图是初值选取为-3的迭代结果趋势图，可以看出，当迭代结果为虚数时，迭代结果最终还是收敛的。在进行n次迭代后，实部都会存在一个，此时相当于是在范围内的初始值，迭代公式产生的序列收敛。所以初值的选取对数列的收敛性没有影响。（3） 线性方程组迭代法的收敛性是不依赖初值的选取的。比较线性与非线性问题迭代的差异，有何结论和问题。）对线性方程，设，则。若线性方程的迭代是收敛的，则有对而言，在上，都有，所以，对任何初值，方程的迭代都是收敛的，不受初值的影响。若线性方程的迭代是发散的，则对任何初值都发散，方程迭代的收敛性也不受初值的影响。）对非线性方程的迭代，就复杂的多。