【专升本高数】导数的概念习题课PPT幻灯片

1导数的定义2求导法则3微分与应用,一、本章要点,1导数的定义,1)导数,左导数,右导数,函数可导左导数=右导数,可导与连续的关系：函数在一点可导，则在该点连续,导数的几何意义：函数在一点的导数为函数曲线在该点,曲线的切线方程及法线方程：,切线,法线,的切线斜率,2)求导法则设为可导函数，则,反函数的求导法则设函数为的反,函数，直接函数在区间上连续、单调，可导且,其导函数，则,对于具有更多中间变量的复合函数，则相应的导数为,复合函数的导数设函数均为可导,函数，则函数为可导函数，且,3)高阶导数若函数是阶可导，则递归定义,，或，,其中，记,阶导数的Leibniz公式设为两个阶可导的函数，,则函数也阶可导，且有,由隐函数求导法，得到对数求导法,4)隐函数的导数设函数由方程,确定，在一定的条件下，可以求出函数的导数,注意，一般情况下，其导函数的表达式仍然以隐式方程的,形式给出,5)由参数方程确定的函数的导数设函数由参,数方程,确定，则当时，可确定为的函数(或,为的函数)，相应的导数为,由此方法，可得到更高阶的导数,若令，则,3微分,1)微分的定义若函数的增量具有表达式,则函数可微，相应的微分为,2)可微的条件函数在点处可微的充要条件,是在点可导，且有,3)微分应用近似计算公式,二、例题选讲,例1设求,解当时，,当时，,当时，,即不存在因此,例2设且存在，,求,解因存在，故在处连续，所以,即得,又因存在，而,因此,例3设在的某个邻域内有定义，又,，讨论下列函数在的可导性：,；,解设，则，,即,设，则，,故极限存在的充分必要条件为，此时,例4设,其中，且，证明,证，,故，因此,即得,例5可导函数的图形与相切于原,点，试求,解由条件得，,例6证明可导的周期函数的导函数为周期函数,因此有,证设为周期函数，为其周期，即,即为周期函数,例7设，求,解法一因，因此,解法二因，,其中为一多项式，故,例8设，求,解,故切线方程与法线方程分别为,例9曲线上哪一点的切线与直线,平行，并求过该点的切线与法线方程,解设切点为，则切线的斜率为,例10试求垂直于直线且与曲线,相切的直线方程,解设切线的斜率为，切点为，因切线与已知,直线垂直，得又由,得，从而切点为故切线方程为,例11设，其中为可导函数，求,解,解两边取对数，得,例12设由确定，求,两边对求导，得,两边继续求导，得,即,所以,将代入上式并整理，得,例13设，求,解，因此,即,例14求由参数方程所确定的函数,的二阶导数,解,解将极坐标转化为参数方程，得,切线方程,例15求由三叶玫瑰线在对应处的,则当时，切线斜率,故切线方程为,直的方向航行，求经过5s后，人与小船分离的速度,例16某人以2m/s的速度通过一座桥，桥面高出水面,20m，在此人的正下方有一条小船以m/s的速度在与桥垂,解设经过秒后，船与人的距离为m，人行走距离,船的距离为,为m，船行走距离为m，则人与,当时，代入上式，得,已知，方程两边对求导，得,例17求的近似值,解,三、练习,1求下列函数的导数：,1)；2)；,