第七节　函数的图象

第七节函数的图象,【知识梳理】1.利用描点法作函数图象的基本步骤及流程(1)基本步骤:列表、_、连线.,描点,(2)流程:确定函数的定义域;化简函数解析式;讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等).列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线.,2.平移变换,右移,左移,上移,下移,f(x)+b,3.伸缩变换,伸长,缩短,f(x),伸长,缩短,A,A,4.对称变换y=f(x)y=_;y=f(x)y=_;y=f(x)y=_.,-f(x),f(-x),-f(-x),5.翻折变换y=f(x)y=_;y=f(x)y=_.,f(|x|),|f(x)|,【特别提醒】1.函数对称的重要结论(1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称.(2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)中心对称.,(3)若函数y=f(x)对定义域内任意自变量x满足:f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.,2.函数图象平移变换八字方针(1)“左加右减”,要注意加减指的是自变量.(2)“上加下减”,要注意加减指的是函数值.,【小题快练】链接教材练一练1.(必修1P112A组T4改编)小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是(),【解析】选C.距学校的距离应逐渐减小,由于小明先是匀速运动,故第一段是直线段,途中停留时距离不变,最后一段加速,最后的直线段比第一段下降得快,故应选C.,2.(必修1P113B组T2改编)如图,在不规则图形ABCD中,AB和CD是线段,AD和BC是圆弧,直线lAB于E,当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时,把四边形ABCD分成两部分,设AE=x,左侧部分面积为y,则y关于x的大致图象为(),【解析】选D.因为左侧部分面积为y,随x的变化而变化,最初面积增加得快,后来均匀增加,最后缓慢增加,只有D选项适合.,感悟考题试一试3.(2016青岛模拟)已知函数则f(x)的图象为(),【解析】选A.由题意知函数f(x)在R上是增函数,当x=1时,f(x)=1,当x=0时,f(x)=0,故选A.,4.(2016青岛模拟)为了得到函数y=log2的图象,可将函数y=log2x的图象上所有的点()A.纵坐标缩短到原来的倍,横坐标不变,再向右平移1个单位长度B.纵坐标缩短到原来的倍,横坐标不变,再向左平移1个单位长度,C.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移1个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向右平移1个单位长度,【解析】选A.y=log2=log2(x-1),所以可将y=log2x的图象上所有的点纵坐标缩短到原来的倍,横坐标不变,得到y=log2x的图象,再向右平移1个单位长度,得到y=log2(x-1)的图象.,5.(2016烟台模拟)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)=()A.ex+1B.ex-1C.e-x+1D.e-x-1,【解析】选D.与曲线y=ex关于y轴对称的图象对应的函数为y=e-x,将函数y=e-x的图象向左平移1个单位长度即得y=f(x)的图象,所以y=f(x)=e-(x+1)=e-x-1.,考向一作函数的图象【典例1】作出下列函数的图象:(1)y=|x-2|(x+1).(2)y=(3)y=|log2(x+1)|.,【解题导引】(1)先对绝对值分类讨论,将原函数化简成分段函数的形式,再分段作图即可.(2)先化简解析式,分离常数,再利用图象变换画出图象.(3)将y=log2x的图象向左平移1个单位y=log2(x+1)的图象将y=log2(x+1)的图象位于x轴下方的部分向上翻折y=|log2(x+1)|的图象.,【规范解答】(1)先化简,再作图.图象如图实线所示.,(2)因为y=先作出y=的图象,将其图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位,即得y=的图象,如图所示.,(3)利用函数y=log2x的图象进行平移和翻折变换,图象如图实线所示.,【规律方法】函数图象的画法(1)直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.(2)转化法:含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数来画图象.,(3)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,可利用图象变换作出.,易错提醒:(1)画函数的图象一定要注意定义域.(2)利用图象变换法时要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.,【变式训练】作出下列函数的图象.(1)y=2x+2.(2)y=elnx.(3)y=log2|x-1|.,【解析】(1)将y=2x的图象向左平移2个单位.图象如图所示.,(2)因为函数的定义域为x|x0且y=elnx=x(x0),所以其图象如图所示.,(3)作y=log2|x|的图象,再将图象向右平移一个单位,如图,即得到y=log2|x-1|的图象.,【加固训练】1.作出下列函数的图象.(1)y=a|x|(0a1).(2)y=(3)y=sin|x|.,【解析】(1)因为y=所以只需作出0a1时函数y=ax(x0)和y=(x0)的图象,合起来即得函数y=a|x|(01或-10,可排除选项B;当x=2时,y=1,当x=4时,y=,但从选项D的函数图象可以看出函数在(0,+)上单调递增,两者矛盾,可排除选项D.,3.(2016菏泽模拟)在同一个坐标系中画出函数y=ax,y=sinax的部分图象,其中a0且a1,则下列所给图象中可能正确的是(),【解析】选D.正弦函数的周期公式T=,所以y=sinax的最小正周期T=;对于A:T2,故a1,所以函数y=ax是增函数,故错;对于C:T=2,故a=1,故错;对于D:T2,故a1,所以y=ax是减函数,正确.,4.(2016聊城模拟)如图,点P是以O为圆心,AB为直径的半圆上的动点,AB=2,设弦AP的长为x,APO的面积为y,则下列选项中,能表示y与x的函数关系的大致图象是(),【解析】选A.如图,因为根据三角形面积公式,当一边OA固定时,它边上的高最大时,三角形面积最大,所以当POAO,即PO为APO中OA边上的高时,APO的面积y最大,此时,由AB=2,根据勾股定理,得弦AP=x=,所以当x=时,APO的面积y最大,最大面积为y=,从而可排除B,D选项.又因为当AP=x=1时,APO为等边三角形,它的面积y=所以此时,点应在y=的一半的上方,从而可排除C选项.,【加固训练】(2016遵义模拟)已知定义在区间0,2上的函数y=f(x)的图象如图所示,则y=-f(2-x)的图象为(),【解析】选B.方法一:由y=f(x)的图象知,当x0,2时,2-x0,2,方法二:当x=0时,-f(2-x)=-f(2)=-1;当x=1时,-f(2-x)=-f(1)=-1.观察各选项,可知应选B.,考向三函数图象的应用【典例4】(1)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是()A.(0,)B.(,1)C.(1,2)D.(2,+),(2)(2015江苏高考)已知函数f(x)=|lnx|,g(x)=则方程|f(x)+g(x)|=1实数根的个数为.,【解题导引】(1)画出函数f(x)的图象,结合函数图象确定实数k的取值范围.(2)将|f(x)+g(x)|=1变为f(x)=1-g(x),交点的个数即为y=f(x)与y=-1-g(x)和y=1-g(x)图象的公共点的个数之和,结合图象进行判断.,【规范解答】(1)选B.f(x)=如图,作出y=f(x)的图象,其中A(2,1),则kOA=.要使方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点,由图可知,k1.,又因为|f(x)+g(x)|=1实数根的个数即为y=f(x)与y=1-g(x)的图象交点的个数和y=f(x)与y=-1-g(x)的图象交点的个数之和,而y=f(x)与y=1-g(x)的图象有两个交点,y=f(x)与y=-1-g(x)的图象也有两个交点,所以|f(x)+g(x)|=1实数根的个数为4.答案:4,【一题多解】解答本题还有以下解法:当0x1时,f(x)=|lnx|=-lnx,g(x)=0,原方程即为-lnx=1,解得x=,所以当0x1时原方程有一个实数根.当1x2时,f(x)=lnx,g(x)=2-x2,原方程即为|lnx+2-x2|=1.设F(x)=lnx+2-x2(1x2),因为F(x)=-2x0,所以F(x)在(1,2上单调递减,得F(x)的值域为ln2-2,1).又ln2-22时原方程有两个实数根.综上,方程|f(x)+g(x)|=1的实数根个数为4.答案:4,【易错警示】解决本例(2)易出现以下错误(1)对方程|f(x)+g(x)|=1有实数根的意义不明确.(2)画函数图象时,忽略了函数的定义域.,【母题变式】1.本例(1)中“有两个不相等的实根”改为“有一个实根”,其他条件不变,求实数k的取值范围.,【解析】由题意得f(x)=其图象如图所示.由图象可知,要使方程f(x)=g(x)有一个实根,则k1时,y=x+1,当-1x1时,y=-x-1,当x-1时,y=x+1,图象如图所示,由图象可知当0k2且k1时两函数恰有两个交点,所以实数k的取值范围为(0,1)(1,2).,【规律方法】1.利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程f(x)=0的根就是函数f(x)图象与x轴交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标.,2.利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.,【变式训练】1.函数f(x)=lnx的图象与函数g(x)=x2-4x+4的图象的交点个数为()A.0B.1C.2D.3,【解析】选C.g(x)=x2-4x+4=(x-2)2,在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)=lnx与g(x)=(x-2)2的图象(如图).由图可得两个函数的图象有2个交点.,2.直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,则a的取值范围是.【解析】y=作出图象,如图所示.,此曲线与y轴交于(0,a)点,最小值为a-,要使y=1与其有四个交点,只需a-1a,所以11.因此结合图象及数据特点知y=f(x)与y=|lgx|的图象交点共有10个.,2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若xR,f(x-1)f(x),则实数a的取值范围为(),【解析】选B.当x0时,f(x)=因为f(x)是定义在R上的奇函数,故可作出函数f(x)的图象,如图所示.,那么对xR,f