《线性代数》电子教程之三.ppt

1,线性代数电子教案之三,2,主要内容,第三讲矩阵及其运算,矩阵的概念；,零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、对称矩阵等特殊矩阵；,矩阵的线性运算（矩阵的加法及矩阵与数的乘法）、矩阵与矩阵的乘法、矩阵的转置、方阵的行列式以及他们的运算规律.,基本要求,理解矩阵的概念，知道零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、对称矩阵等特殊矩阵；,熟练掌握矩阵的运算及其运算规律.,3,一、矩阵的定义与记号,第一节矩阵,1.定义,称为行列矩阵，简称矩阵.,为表示这个数表是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，记作,4,这个数称为矩阵的元素，简称为元，数位于矩阵的第行第列，称为矩阵的元.,矩阵也记作,注意,（1）矩阵的记号是在数表外加上括弧，与行列式的记号（在数表外加上双竖线）是不同的，这是两个不同的概念，注意区别.,（2）矩阵的行数和列数不一定相等.,5,2.有关概念,实矩阵与复矩阵：,元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵；除特别说明外，都指实矩阵.,行矩阵（行向量）：,只有一行的矩阵，记作,列矩阵（列向量）：,只有一列的矩阵，记作,矩阵,矩阵,6,方阵：,行数与列数都等于的矩阵称为阶矩阵或阶方阵.,阶矩阵也记作,同型矩阵:,两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵.,矩阵相等：,如果与是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即,那么就称矩阵与矩阵相等，记作,7,二、矩阵举例,例2,某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵,其中为工厂向第店发送第种产品的数量.,这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵,其中为第种产品的单价，为第种产品单件重量.,说明从两个矩阵可以清楚看出这个厂的产品的信息.,8,例3,四个城市间的单向航线如下图所示，,若令,则这个图可以用矩阵表示为,说明用矩阵表示这个图后，就可以用计算机对这个图进行分析和计算.,9,例4,个变量与个变量之间的关系式,称为从变量到变量的线性变换.,线性变换的系数构成矩阵,称为线性变换的系数矩阵，线性变换与矩阵是一一对应的.,10,三、几个特殊矩阵,单位矩阵（单位阵）：从左上角到右下角的直线,单位矩阵对应线性变换为恒等变换,（叫做（主）对角线）上的元素都是1，其它元素都是0，这种矩阵称为单位矩阵，简称单位阵，用表示，即,11,对角矩阵：,对角矩阵对应的线性变换为,12,零矩阵：,元素都是零的矩阵，记作0.,注意不同型的零矩阵是不同的，例如,13,数量矩阵（纯量矩阵）：,不在对角线上的元素都是0，对角线上的元素相同，这种矩阵称为数量矩阵，又称纯量矩阵，用表示，即,14,四、小结,在线性代数里，矩阵是一个主要工具，也是一个主要的研究对象.,1850年由西尔维斯特（Sylvester）首先提出矩阵的概念,矩阵的应用十分广泛：自然科学、工程技术、社会科学等许多领域。如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别，以及计算机层析X射线照相术等方面，都有广泛的应用,1858年卡莱（A.Cayley）建立了矩阵运算规则,15,西尔维斯特（Sylvester,1814-1897），他是犹太人，故他在取得剑桥大学数学荣誉会考第二名的优异成绩时，仍被禁止在剑桥大学任教。从1841年起他接受过一些较低的教授职位，也担任过书记官和律师。经过一些年的努力，他终于成为霍布金斯大学的教授，并于1884年70岁时重返英格兰成为牛津大学的教授。他开创了美国纯数学研究，并创办了美国数学杂志。在长达50多年的时间内，他是行列式和矩阵论始终不渝的作者之一。,16,卡莱（Cayley1821-1895）生于一个古老而有才能的英国家庭，在学校中他就显示了数学才能.他的老师说服他的父亲送他到剑桥，而不要让他做家务.在剑桥它是数学荣誉会考的一等第一名，并获得Smith奖，他当选为剑桥的三一学院的研究员和助理导师，但3年后由于必须担任圣职而离开。他转向法律并在这个职业上花费了后来的15年.这期间他用了大量的时间搞数学，并发表了近200篇文章.也是在这时，他和Sylvester开始了长期的友谊和合作.1863年，他被任命为剑桥新创立的Sadler数学教授。除去1882年受Sylvester的聘请在霍普金斯大学以外，他一直在剑桥，直到逝世,17,一、矩阵的加减法,第二节矩阵的运算,1.定义,两个同为的矩阵相加（减）后得一矩阵，其元素为两矩阵对应元素的和（差）.,特别注意,只有两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加（减）法.,18,例如,19,2.矩阵的加减法_运算规则,交换律：,结合律：,设矩阵记,称为矩阵的负矩阵.,20,二、矩阵与数的乘法（矩阵的数乘）,1.定义,说明,21,例如,22,2.矩阵的数乘_运算规则,说明,矩阵的加法与矩阵的数乘合起来，统称为矩阵的线性运算.,23,三、矩阵与矩阵的乘法（矩阵的乘法）,1.概念的引入,某家电公司向三个商店发送四种产品的数量如下表,24,这四种产品的售价（单位：百元）及重量（单位：千克）如下,问：该公司向每个商店出售产品的总售价及总重量分别是多少？,25,26,2.定义,定义如下：,若,则,其中,说明：的元就是的第行元素与的第列元素对应乘积之和.,27,特别注意_乘积不可交换,可乘的前提是的列数等于的行数.,乘积一般不可以交换，,3）,28,例题,解,析：是矩阵，是矩阵，的列数等于的行数，所以矩阵与可以相乘.,29,例题,例5,求矩阵,与,的乘积,解,析：是矩阵，是矩阵，的列数等于的行数，所以矩阵与可以相乘.,30,例题,例5,求矩阵,与,的乘积,解,析：是矩阵，是矩阵，的列数等于的行数，所以矩阵与可以相乘.,31,例题,例5,求矩阵,与,的乘积,解,析：是矩阵，是矩阵，的列数等于的行数，所以矩阵与可以相乘.,32,解,说明,此例不仅表明矩阵的乘法不满足交换律，而且还表明矩阵的乘法不满足消去律，即,33,矩阵的乘法_运算规则,或简写成,说明第五条规则表明，纯量矩阵与方阵都是可交换的,34,方阵的幂,设是阶方阵，定义,说明此定义表明，就是个连乘，并且显然，只有方阵，它的幂才有意义.,35,方阵的多项式,设,称为方阵的次多项式.,为数的次多项式，记,同一个方阵的两个矩阵多项式是可交换的：,设是的两个多项式，则,由此可知，方阵的多项式可以像数的多项式一样分解因式.如,36,说明当与可交换时，有类似与数的乘法公式.,与为同阶方阵：,37,5.行矩阵与列矩阵的乘积,设,则,38,例7,下图示明了d国三个城市，e国三个城市，f国两个城市相互间之道路.,交通网络模型,在d国和e国间城市通路情况可用下列形式表示：,在e国和f国间城市通路情况可用下列形式表示：,其中：0,1指城市间的通路数,39,求：d国和f国城市通路形式？,40,四、矩阵的转置,1.定义,把矩阵的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.即,若,则,其中,例如,则的转置矩阵为,设矩阵,41,2.对称矩阵,设为阶方阵，如果满足，即,那么称为对称矩阵，简称对称阵.,例如,对称阵的特点是：它的元素以对角线为对称轴，对应相等.,42,3.矩阵的转置_运算规则,43,求,解法1,解法2,此例验证了矩阵的转置运算规则4,44,例9设列矩阵满足，,证,析：要证明一个方阵是不是对称阵，就是验证它是否满足对称阵的条件,所以是对称阵.,为阶单位矩阵，证明是对称阵，且,注意和的区别,45,五、方阵的行列式,1.定义,由阶方阵的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵的行列式，记作或,特别注意,方阵与行列式是两个不同的概念，方阵是一个数表，而行列式则是一个数.,方阵与它的行列式又是紧密相关的，行列式是方阵确定的一个数，所以行列式可看作方阵的函数；同时，行列式是方阵特性的重要标志.,46,2.由确定_运算规则,证明,注意,但,但,47,3.伴随矩阵,称为矩阵的伴随矩阵，简称伴随阵.,矩阵的行列式的各元素的代数余子式所构成的如下的矩阵,48,说明,此性质表明与可交换，且其乘积为单位阵的倍；,当时，由此可进一步讨论与的性质（后面介绍）.,伴随矩阵的基本性质,证明,49,例10设,求的伴随矩阵,解,50,所以，所求的伴随阵为,验证,51,六、共轭矩阵,当为复矩